ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В науке и технике часто приходится встречаться с одновременным, совместным изменением нескольких переменных, связанных между собой некоторыми условиями. Так площадь прямоугольника изменяется с изменением длин его сторон и , объем цилиндра изменяется с изменением радиуса основания и высоты цилиндра .

Пусть дано некоторое множество пар чисел .

Функцией двух переменных называется соответствие, при котором каждой паре чисел соответствует единственное число .

При этом и называются независимыми переменными (или аргументами), - зависимой переменной (или функцией), множество - областью определения функции, а - множеством значений функции.

Обозначения функции двух переменных аналогичны обозначениям функции одной переменной: , , и т.д.

При нахождении частного значения функции , которое она принимает при заданных численных значениях аргументов и , пишут или . Например, если , то .

Так как каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости и обратно, каждой точке соответствует единственная пара чисел , то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки . Поэтому вместо записи пишут . в этом случае областью определения функции является некоторое множество точек плоскости .

В основном мы будем рассматривать функции двух переменных, однако все сказанное целиком переносится и на функции любого числа переменных, которые определяются аналогичным образом.

Функцией трех переменных называют соответствие, при котором каждой тройке соответствует единственное число .

При этом , и называют независимыми переменными (или аргументами), - зависимой переменной (или функцией), множество - областью определения функции, а - множеством значений функции.

Функцию трех переменных обозначаются так же, как и функции одной или двух переменных: , и т.д.

Функцию трех переменных можно рассматривать как функцию точки , имеющей координаты , , в пространственной системе координат .

Область определения функции есть некоторое множество точек в пространстве.

Аналогично можно ввести понятие функции четырех, пять и вообще переменных.

Функцию переменных также рассматривают как функцию точки - мерного пространства и пишут .

Если функция задана аналитическим выражением, причем область определения функции заранее не указана, то в качестве области определения принимают совокупность всех тех точек , для которых данное аналитическое выражение имеет конечное действительное значение.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Областью определения этой функции является множество всех точек, для которых выражение определено, т.е. множество точек, для которых , или , т.е. внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 1).

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения этой функции является множество точек, удовлетворяющих условию , или , т.е. все точки плоскости за исключением точек прямой (рис. 2).

Пример 3. Найти область определения функции

Решение. Функция будет принимать действительные значения при условии, что , или . То есть область определения функции является шар радиуса 2 с центром в начале координат. Точки граничной шаровой поверхности относятся к области определения функции.

Пусть функция определена в некоторой области на плоскости . Тогда каждой точке будет соответствовать точка трехмерного пространства.

Множество всех таких точек , , называется графиком функции . В общем случае графиком функции является поверхность в пространстве.

В аналитической геометрии уже рассматривались некоторые поверхности, которые являются графиками функций двух переменных.

Например, эллиптический параболоид является графиком функции .

Линией уровня называется множество точек на плоскости , в которых функция принимает данное постоянное значение . Эту линию можно также получить, пересекая график функции плоскостью , параллельной плоскости , и проектируя линию пересечения ортогонально на плоскость (рис. 3).

Система линий уровня , где , позволяет судить о ходе изменения функции. Там, где линии уровня располагаются густо, функция изменяется быстро, а где линии уровня расположены редко, функция изменяется медленно.

Пример 4. Найти линии уровня функции .

Решение. Рассмотрим

Т.е. линиями уровня является семейство парабол.

Для функции трех переменных рассматривают поверхности уровня – множество точек пространства, в которых функция принимает данное постоянное значение.

Предел функции двух переменных. Непрерывность

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки принимался интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела функции двух переменных будем рассматривать окрестность точки в плоскости .

Окрестностью точки Называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус круга равен , то говорят о -окрестности точки . Очевидно, что любая точка , принадлежащая -окрестности точки , находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

Число называется пределом функции двух переменных при , если для любого числа найдется такая -окрестность точки , что для любой точки этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство , или .

При этом пишут или , так как при , очевидно, , .

Заметим, что если число есть предел функции , то как это следует из определения предела, разность является бесконечно-малой, когда точка произвольным образом (по любому направлению) неограниченно приближается к точке .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Предел функции вычисляется при .

Следует обратить внимание на то, что функция не определена в точке , но имеет предел при .

Функция двух переменных называется бесконечно-малой при , , если ее предел равен нулю, т.е. .

Понятие непрерывности функции нескольких переменных устанавливается с помощью понятия предела.

Функция нескольких переменных называется непрерывной в точке , если .

Заметим, что функция , непрерывная в точке , должна быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка , в которой функция нескольких переменных непрерывна, называется точкой непрерывности функции.

Для непрерывных в точке функций справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и их сумма , разность и произведение ; если, кроме того, , то частное также есть непрерывная функция в точке .

Если условие непрерывности нарушено (или функция не определена, или не существует предел, или не выполняется равенство), точка называется точкой разрыва. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии разрыва.

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

ограничена: ;

имеет наименьшее и наибольшее значения:

;

принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между и .

Частные и полное приращение. Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных и ее геометрический образ (рис. 4).

Рассмотрим точку и значение функции в этой точке .

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , а переменной зададим приращение . Получим точку .

Тогда функция , очевидно, получит приращение

(см. рис. 4).

Если существует , то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается одним из символов

Разность называется частным приращением по функции в точке .

Учитывая обозначения, можно записать

Теперь зафиксируем значение переменной , а зададим приращение. Получим точку и приращение функции

(см. рис. 4).

Имеем

где - частное приращение по переменной функции в точке .

А теперь рассмотрим приращение обоих аргументов и : и . Получим точку .

Тогда - называют полным приращением функции в точке (см. рис. 4).

Значение производной в фиксированной точке обозначается тем же символом с указанием точки.

Например,

или

, .

Любой из этих символов следует понимать как результат подстановки координат точки в выражения для или .

Из определения частной производной и рис. 4 следует ее механический смысл, как скорость изменения функции при изменении соответствующего аргумента, и геометрический смысл, как тангенса угла, образованного касательной к линии

или

в точке с положительным направлением соответствующей оси.

Частные производные и вычисляются по правилам и формулам, справедливым для функции одной переменной, при условии, что в момент дифференцирования по одной из переменных вторая переменная рассматривается как постоянная величина.

Пример 6. Найти частные производные функции

Решение.

Пример 7. Найти частные производные функции

Решение.

Пример 8. Найти частные производные функции

Решение.

Дифференциал функции

Рассмотрим частное приращение по переменной :

Если существует , то на основании теории функции одной переменной это приращение равно

, где .

Линейная относительно часть этого приращения называется частным дифференциалом функции по переменной и обозначается символом .

Если , то он будет главной частью приращения, эквивалентной самому приращению. Таким образом,

, где .

Как следует из геометрического смысла дифференциала функции одной переменной, геометрически частный дифференциал есть приращение аппликаты касательной в точке к линии , , лежащей на поверхности (см. рис. 4).

Аналогично определяется частное приращение и частный дифференциал по переменной :

, где и .

Его геометрический смысл аналогичен смыслу (см. рис. 4).

Рассмотрим точки и .

Разность называется полным приращением функции в точке .

Более кратко будем записывать его в виде .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где и - некоторые выражения, не содержащие и , т.е. постоянные относительно и , а является бесконечно малой более высокого порядка, чем

, т.е. .

Здесь - расстояние между точками и .

Линейная относительно и часть полного приращения дифференцируемой в точке функции называется полным дифференциалом этой функции в точке и обозначается символом .

Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то

причем

и .

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Всякая функция , дифференцируемая в точке , непрерывна в этой точке.

Существование частных производных

Теорема 2. Ели функция в точке дифференцируема (т.е. имеет дифференциал ), то она имеет в этой точке и частные производные и , причем

, .

Доказательство. По условию , где . Полагая , получим и , откуда , т.е. .

Аналогично .

Как и в случае одной переменной, приращение аргумента равно его дифференциалу, т.е. , , поэтому полный дифференциал имеет вид

или

Сформулированные теоремы выражают только необходимый признак дифференцируемости функции и ни одна из них не содержит достаточного признака дифференцируемости.

Так, из существования частных производных не всегда следует дифференцируемость функции. Более того, даже наличие в точке производной по любому направлению еще не влечет дифференцируемости функции в этой точке.

Достаточный признак дифференцируемости

Оказывается, чтобы из существования частных производных следовала дифференцируемость функции в данной точке, достаточно потребовать их непрерывность в этой точке.

Теорема 3. Ели функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой точке , то она дифференцируема в этой точке.

Все сказанное легко распространяется на функции трех и большего числа переменных. Так, например, для дифференцируемой функции трех переменных полное приращение выражается формулой

при условии (),

а ее полный дифференциал имеет вид

Приложение полного дифференциала

Ограничиваясь дифференциалом функции как главной части приращения, получим приближенное равенство , полезное в приближенных вычислениях. В развернутой форме оно будет:

или

Для вычисления значения функции в некоторой точке записывают , в виде суммы , , стараясь подобрать , возможно меньшими, но так, чтобы в полученной точке легко вычислялись значения функции и ее производных.

Пример 9. Дана функция и две точки , .

Требуется: 1) Вычислить значения в точке ;

2) Вычислить приближенное значение функции в точке , исходя из значения функции в точке , заменяя приращение функции при переходе от точки к точке дифференциалом;

3) Оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение.

По условию , , следовательно

; ; ; ;

; .

Тогда 1) .

2) ,

, ,

, .

Тогда

3)относительная погрешность вычисляется по формуле

Производная сложной функции

Пусть , причем , , т.е. зависит от и через посредство двух других функций и .

В этом случае функция называется сложной функцией переменных и . Подставляя и в выражение для , получим непосредственную зависимость от переменных и

(1)

Однако и в теории, и в приложениях важно уметь находить частные производные и , не пользуясь равенством (1).

Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем

(2)

Формулы (2) обобщаются на случай любого числа независимых переменных. В частности, если и , то функция будет сложной функцией одной переменной и ее полная производная по этой переменной будет

(3)

Если здесь положить , т.е. , то получим

(4)

Пример 10.

1. , , . Найти и .

По формуле (2) имеем

2. . Найти .

Пусть , . Тогда .

По формуле (2) имеем .

3. , , . Найти .

По формуле (2) имеем

4. , , . Найти .

По формуле (3) имеем

5. . Найти .

, где , .

6. , . Найти .

По формуле (4) имеем

Производная функции, заданной неявно

Будем говорить, что функция задана неявно, если она определяется некоторым уравнением вида , т.е. уравнением, не разрешенным относительно .

Обе части уравнения продифференцируем по переменной , получим

(5)

откуда

(6)

Аналогично

(7)

В частности, если дана неявная функция одной переменной уравнением , то из тождества получим

откуда

(8)

Аналогично находятся частные производные от неявной функции любого числа переменных.

Пример 11.

, , ,

откуда и .

Инвариантность формы первого дифференциала

В том случае, когда и являются независимыми аргументами функции , была установлена следующая форма ее дифференциала:

(9)

В случае, если зависим от и сложным образом, т.е. через посредство некоторых функций и или , то частные производные, входящие в выражение (9), будут выражаться по формулам (2):

При этом оказывается, что форма дифференциала (9) не изменится, если мы его выразим только через и и их дифференциалы, т.к. имеет место теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции многих переменных:

Теорема. Дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы и независимыми переменными или функциями от независимых переменных.

Доказательство. В случае независимых переменных и по теореме 2 п. 2.3:

Если же и , то, подставляя и из (2) в (9) после группировки выражений, содержащих и , получим

и так как здесь в скобках стоят полные дифференциалы от и , то окончательно получим

Замечание. Как и в случае функции одной переменной, для дифференциалов более высокого порядка, о которых речь будет ниже, эта теорема не верна – их величина и форма в случае независимых переменных и отлична от величины и формы в случае, если и будут функциями других независимых переменных.

Частные производные высших порядков

Если функция имеет непрерывные частные производные

, ,

То они снова являются функциями переменных и , и если эти функции дифференцируемы в точке , то от каждой из них можно снова находить частные производные по и . В результате получим вторые частные производные, которые обозначаются так:

;

Производные и называются смешанными – они получаются последовательным дифференцированием функции сначала по , затем по или наоборот.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать, получим частные производные третьего порядка. Из будет уже восемь:

; ; ; ; ; ; ; .

Вообще, частное производной -ого порядка называется частная производная от какой-либо частной производной -ого порядка.

Например, есть производная -ого порядка.

Здесь дифференцируется сначала раз по , потом - по . Для функций большего числа переменных частные производные высшиш порядков определяются аналогично.

Пример 12. .

Решение.

, , ,

, , .

Замечаем, что результат дифференцирования в подчеркнутых производных не зависит от порядка, в котором происходит это дифференцирование. И это не случайно, о чем говорит следующая теорема.

Теорема. Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то в этой точке вторые смешанные производные равны между собой, т.е.

(10)

Следствие. При непрерывности соответствующих частных производные результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных не зависит от порядка дифференцирования.

Например, .

Пример 13. Дана функция .

Найти частные производные первого и второго порядка. Убедиться, что смешанные производные равны.

Решение.

- производная по найдена в предположении, что - постоянная величина в момент дифференцирования.

- производная по найдена в предположении, что - постоянная величина.

, ,

. Действительно, .

Пример 14. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение.

(, - постоянные),

(, - постоянные).

Суммируем найденные производные:

что и требовалось доказать.

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом -ого порядка функции называется дифференциал от дифференциала -ого порядка, как от функции независимых переменных и .

Таким образом, и рассматриваются при этом как величины, не зависящие от и .

Поэтому

или, при условии непрерывности смешанных производных:

Аналогично

Рассмотрим сложную функцию , где , .

Тогда на основании теоремы об инвариантности формы первого дифференциала получим

Таким образом, в случае, если аргументы и являются функциями независимых переменных, форма второго дифференциала изменяется на величину .

Это объясняется тем, что теперь, вообще говоря, и отличны от нуля. Если же и будут независимыми переменными, то и не будут зависеть от и , поэтому

Аналогично, , и мы получим уже известную форму второго дифференциала.

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Если в каждой точке определено значение скалярной величины , то говорят, что в области задано скалярное поле.

Обозначают для .

Например, неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, можно рассматривать как скалярное поле.

Если в пространстве ввести систему координат , то точка в этой системе координат будет иметь определенные координаты , и , и скалярная величина станет функцией этих координат:

Обратно, всякая функция трех переменных задает некоторое скалярное поле. Наряду со скалярными полями в пространстве рассматриваются также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных: .

Пусть отрезок длины направлен по вектору

, ,

Тогда его проекция на оси координат будет:

, , .

Если существует предел отношения , то он называется производной функции в точке по направлению и обозначается символом , т.е.

или .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

Доказательство. Функция дифференцируема, поэтому

(т.к. , , и ).

В частности, если , то и .

Аналогично при , и при .

В случае функции двух переменных вектор будет лежать в плоскости , поэтому формула для производной по направлению будет иметь следующий вид:

Так как в плоскости , , то справедлива также формула

Если частные производные и представляют собой скорость изменения функции вдоль соответствующей оси координат, то производная по направлению выражает скорость изменения функции по отношению к величине перемещения точки в направлении вектора .

В частности, если , то плоскость, проходящая через точку и вектор параллельно оси , пересечет поверхность по некоторой кривой . В этом случае скорость изменения функции в направлении вектора будет численно равна тангенсу угла , образованного касательной к кривой в точке , соответствующей точке , и вектором . При она будет выражать крутизну возрастания функции в направлении вектора , а при - крутизну убывания.

Таким образом, производная по направлению оказывается весьма полезной при исследовании поведения функции в окрестности заданной точки.

Пример 15. Найти производную функции в точке по направлению от точки в точке .

Решение. Найдем вектор и соответствующий ему единичный вектор :

Таким образом, вектор имеет следующие направляющие косинусы , .

Теперь найдем частные производные функции :

и их значения в точке :

Подставляя в формулу найденные значения частных производных и направляющих косинусов, получим искомую производную функции по направлению вектора :

Градиент функции

При изучении скалярных полей наряду с функций рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, - градиент скалярного поля.

Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор .

Между градиентом функции в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Проекция вектора на единичный вектор равна производной функции по направлению :

Доказательство. Пусть . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на другой вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Так как , , то

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора .

Обозначим через угол между единичным вектором и . Тогда .

Поэтому .

Если направления векторов и совпадают (), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .

Таким образом, есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль равный скорости этого возрастания.

Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности уровня и проходящую через точку . Градиент функции в точке обладает следующими свойствами: перпендикулярен к вектору , направленному по касательной к кривой в точке .

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению выражается равенством

где - угол между единичным вектором и . Вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Пример 16. Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Найдем градиент функции :

В точке имеем .

Тогда наибольшая скорость возрастания функции равна

Пример 17. Найти скорость изменения скалярного поля, определяемого функцией в точке в направлении касательной, проведенной к параболе в этой точке в сторону возрастания координаты , и наибольшую скорость изменения поля в этой точке.

Решение. Скорость изменения скалярного поля в заданном направлении есть производная скалярного поля по направлению вектора , задающего направление.

где ; - направляющие косинусы вектора , . Вектор возьмем на касательной к параболе в , для чего составим уравнение касательной

- уравнение касательной.

На найденной касательной возьмем точку с любой координатой (), например . Тогда

Найдем значения производной по направлению в точке :

Тогда .

Наибольшая скорость изменения поля в точке есть .

Так как , то

Величина наибольшей скорости

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

Левая часть которого является функцией, дифференцируемой в некоторой области.

Все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, которую называют касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке (рис.5).

так как касательная плоскость перпендикулярна (см. п.3.2), то вектор направлен вдоль нормали и, поэтому может быть принят в качестве ее направляющего вектора.

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

Канонические управления нормали к поверхности в точке :

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке запишется в виде

а каноническое уравнение нормали – в виде

Пример 18. составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Найдем частные производные функции и вычислим их значения в указанной точке:

, ,

, .

Значение .

Запишем управление касательной плоскости к данной поверхности в точке :

Запишем уравнение нормали к поверхности в точке :

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функции имеет в точке дифференциал

или

(*)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

или

(**)

Правые части (*) и (**) совпадают, следовательно, и левые части этих равенств равны , где - дифференциал функции в точке , а - соответствующее приращение аппликаты (координаты ) касательной плоскости.

Таким образом получаем, что дифференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости (рис. 6.).

Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Пусть функция двух переменных задана в некоторой области .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство (рис. 7).

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство (рис. 8).

Как и в случае функции одной переменной, точка максимума (или минимума) не следует смешивать с точкой, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение в области .

Значение функции в точке максимума (точке минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом.

Теорема (необходимый признак существования экстремума). Если есть точка экстремума функции , то

В предположении, что указанные частные производные существуют в точке .

Таким образом, обращение в нуль в точке частных производных первого порядка функции (если они существуют) является необходимым условием существования в точке экстремума этой функции.

Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция , очевидно, имеет минимум в точке , но в этой точке частные производные и не существуют.Точки, в которых частные производные первого порядка , обращаются в ноль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из изложенного выше следует, что точка экстремума функции следует искать среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка будет точкой экстремума функции.

Теорема (достаточный признак существования экстремума). Пусть - критическая точка функции .

Обозначим , , и составим .

Тогда, если , то - точка экстремума, причем

- точка максимума в случае ,

- точка минимума в случае ,

если , то в точке - экстремума нет,

если , то требуется дополнительные исследования (сомнительный случай).

Пример 19. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

, .

Приравнивая эти производные к нулю, после элементарных преобразований получим систему уравнений:

Складывая и вычитая почленно уравнения системы, получим:

или или

Решая эту систему уравнений (равносильную данной), находим четыре критические точки: , , , .

Теперь найдем частные производные второго порядка:

, , ,

составим выражение .

Так как

1. - точка минимума;

2. в точке экстремума нет;

3. в точке экстремума нет;

4. - точка максимума.

Итак, данная функция имеет два экстремума:

в точке - минимум ,

в точке - максимум .

Условный экстремум

Экстремум функции, найденный при условии, что изменения ее аргументов ограничены некоторыми дополнительными уравнениями, называется условным экстремумом.

Уравнения, налагающие ограничения (связи) на аргументы данной функции, называются уравнениями связей. Геометрически это будут уравнения некоторых кривых или поверхностей.

Найти экстремум функции при условии , означает отыскание экстремальных значений аппликат вдоль кривой .

Найти экстремум функции при условии , означает отыскание такой точки на поверхности , в которой имеет наибольшее или наименьшее значение по сравнению с ее значениями в остальных точках поверхности , лежащих в достаточно малой -окрестности точки .

Значение функции в точке называется условным максимумом, если эта точка удовлетворяет дополнительным уравнениям и если существует такая ее -окрестность, для всех точек которой, удовлетворяющих тем же уравнениям , будет выполняться неравенство · Сама точка называется в этом случае точкой условного максимума.

Аналогично определяется условный минимум и точка условного минимума, в которой .

Если уравнения связи разрешены относительно некоторых переменных, то, подставляя эти переменные в уравнение функции, можно уменьшить число связей либо вовсе избавиться от связей и решать задачу о безусловном экстремуме.

Для нахождения экстремума функции двух переменных при условии в уравнение функции, получим задачу на экстремум для функции одной переменной .

Пример 20. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Из уравнения связи находим .

Тогда

, , , .

Так как , то - точка минимума.

Тогда ,

Т.е. при аргументах, удовлетворяющих уравнению связи , (рис. 9).

Если уравнение связи не разрешимо ни относительно ни одной из переменных, то для нахождения условного экстремума используют метод множителей Лагранжа.

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области и дифференцируема внутри этой области.

Тогда она имеет в этой области наименьшее и наибольшее значения, которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе.

Если наибольшее или наименьшее значения функции принимает во внутренних точках области , то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции .

Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее или наименьшее значения, являются либо точками экстремума, либо граничными точками области .

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

1. Находим критические точки функции в области из условий: , . Вычисляем значения функции в этих точках.

2. Находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе области .

3. Сравнивая все полученные в п.п. 1, 2 значения функции , выбираем наибольшее и наименьшее.

В некоторых случаях при нахождении наибольших и наименьших значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области границу этой области удобно разбить на части, каждая из которых задается своим уравнением.

Пример 21. найти наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутом треугольнике , , .

Решение.

1. Найти критические точки функции внутри области :

, , т.е.

Получили критическую точку (см. рис. 10).

Вычислим значения функции .

2. Исследуем функцию на границе области:

I. рассмотрим участок : , , ,

, .

Тогда наибольшее и наименьшее значения функции может принимать на концах отрезка .

Вычислим .

II. рассмотрим участок : , , ,

, .

Получили точку Вычислим значения функции в найденной точке и на концах отрезка :

III. Рассмотрим участок : ,

, .

Получили точку

Вычислим .

Обобщая полученные результаты имеем:

, , ,

, ,

следовательно ; .

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Совместное изменение двух переменных, из которых одна зависит от другой, при этом значение независимой переменной полностью определяет значение зависимой переменной, является идеальным случаем. В науке и на практике обычно оказывается, что независимых переменных бывает несколько, и для определения значения функции необходимо предварительно установить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми переменными.

Так, например, изучая физико-химическое состояние какой-либо системы, часто приходится наблюдать изменение ее свойств от точки к точке, таких как температура, давление, концентрация, плотность и т.п. Все эти величины зависят от координат точки . Если физико-химическое состояние системы меняется во времени, то к этим независимым переменным добавляется еще и время . В этом случае приходится исследовать функцию от четырех переменных. На практике количество независимых переменных обычно ограничивается целесообразной степенью точности используемой модели.

Понятие функции двух переменных.

Говоря об изменении двух независимых переменных и , следует указывать, какие пары значений они могут принимать совместно. Множество этих пар называется областью изменения переменных или областью определения функции.

Переменная (с областью изменения ) называется функцией независимых переменных на множестве , если каждой паре из области ставится в соответствие одно определенное значение из множества . Обозначается как .
Пример 1. Найти и изобразить область определения функции.

Решение. Данная функция определена, если

Следовательно, областью определения функции является пересечение множеств на плоскости:

Изобразим область определения на рисунке

Примеры для самостоятельной работы:

Найти и изобразить на плоскости область определения функции.