Неопределённый интеграл. Определённый интеграл.

Первообразная функция.

Опр.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

          Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Первообразная определена неоднозначно: для функции  первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим

          Свойства первообразной.

Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для  f(x) на  этом интервале. (Док-во: ).

Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) .

1.     Для любой первообразной  F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то

, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение  f(x) dx - подынтегральным выражением.

          Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1.     .

2.      (или ).

3. Таблица неопределённых интегралов.

1

.

11

.

2

.

12

.

3

 ().

13

.

4

.

14

.

 

5

; .

15

.

6

.

16

7

.

17

.

8

.

18

.

9

.

19

.

10

.

20

; .

          В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4:

если x > 0, то ; если x < 0, то .

          Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:

- интеграл Пуассона; ,  - интегралы Френеля; , ,  - интегральные синус, косинус, логарифм.

Простейшие правила интегрирования.

 ();

;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .

          Примеры применения правил 1,2:

.

и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

1.                 Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то .(Док-во: если , то ). Пример: .

2.                 Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .

(Док-во: если , то ). Пример:  .

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то . Пример:  .

Замена переменной в неопределённом интеграле

(интегрирование подстановкой).

         Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.

          Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

          При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя  под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например,  (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от );  (задача сведена к вычислению , где t = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:  (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg4 x2) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x2 и x2 по своим аргументам)   

.

2.               Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в  имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате   (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:

. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:  =  .

   Рассмотрим  (интеграл №19 из табл. 3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену:  (или , ):

. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие  и  через косинус двойного угла: .

Поэтому

.

          Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы 3.неопределённых интегралов:


17. .

15.

.

20.

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):

.

Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ():

.

 Примеры:

.

.

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде :

.

    Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:

         1. Интегралы вида , , , где Pn(x) - многочлен n-ой степени. Так, для  имеем ,  , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.

          2. Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x).  В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле  участвовала не f(x), а её производная. Пример:

.

      3. Для некоторых функций применяется приём «сведения интеграла к самому себе». С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:

Найти   (это интеграл №19 из табл. 3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.

В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,

решая которое, получаем  (константа С появилась вследствие того, что интегралы  в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и  (константа  переобозначена через С). Аналогично выводится интеграл №20 из табл. 3.неопределённых интегралов.

Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида   и  (). Например,

. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .

       При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

             Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры:

          . Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n  на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

.

Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

 и т.д.

    В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: :

.

Теперь, начиная с , можем найти

 и т.д.

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен .

Интегралы вида  () приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене:  

.  Смысл этих преобразований: слагаемое  в числителе превращаем в производную получившегося знаменателя; второе слагаемое в числителе от  не зависит. Теперь относительно переменной  интеграл свёлся к , где , . Первый интеграл , второй - один из табличных интегралов 14, 15.

          Пример:

.

                                                                                           Тот же результат можно получить формальной заменой переменной t = 2ax + b  (производная знаменателя), или , или :

 (после всех преобразований) 

.

    Интегралы вида  () с помощью той же операции (выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов 18,19 (в зависимости от знака ). Примеры:

.

.

Интегралы вида  (), как и в пункте 7.1, приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене: ; первое слагаемое в числителе даст интеграл от степенной функции с показателем степени -1/2, второе - в зависимости от знака - табличный интеграл №16 или №17:

.

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники. После приведения подынтегральной функции к виду  (см. 7.1)  относительно переменной  интеграл сводится к . Первый интеграл , второй может быть найден по рекуррентной формуле, выведенной в 6.4.

          Пример:

(первый интеграл - интеграл от степенной функции; второй - полученный в 6.4 по рекуррентной формуле интеграл I3, в котором надо заменить x на )

.

 Интегралы вида  подстановкой  сводятся к интегралам, рассмотренным в разделе 7.3. Пример:

 .

Интегрирование рациональных функций.

          Интегрирование простых дробей. Напомним определение раздела 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. , ;

IV.  , .

Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы:

интегрирование дробей III и IV типов рассмотрено в 7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

Интегрирование рациональных функций. Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, т.е. интегралов вида

заключается в следующем (см. раздел 9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей):

1. Если дробь  неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Для этого она представляется в виде , n1<m; нахождение целой части Ln-m(x) и остатка Pn1(x) может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.

          2. Знаменатель Qm(x) правильной дроби представляется в виде произведения

, где  x1, x2, …,xs - попарно различные действительные корни этого многочлена, k1, k2, …,ks - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней   кратностей l1, l2, …,lr)   с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), k1+ k2+ …+ks +2(l1+ l2+ …+lr) = n.

          3. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

.

      Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. Применяются два способа:

                   4.1. Способ частных значений. В равенство подставляются различные значения  и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Qm(x); если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты.

                   4.2. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях  многочленов слева и справа от знака равенства. При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов.

          4.3 Комбинированный способ. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.2.

          5. Выполняется интегрирование простых дробей.

          Примеры. 1. . Дробь неправильна, поэтому выделяем целую часть:

. Правильную дробь представляем в виде . Приводим сумму слева к общему знаменателю:

. Равенство числителей:

. Подставив в это равенство x = 1, получим 4A= 7 – 6 = 1,  A=1/4; при

x = –3  получим –4B= –21 – 6 = –27,  B = 27/4. Если сравнивать коэффициенты при степенях , получим систему , т.е. тот же результат. Итак, .

          2. . Разложение имеет вид . Приводим к общему знаменателю: . Условие равенства числителей:  

. Применяем комбинированный метод:

Отсюда

. Здесь мы воспользовались значением для I2, полученным в 6.4 (выражение в квадратных скобках).

          3. . Представление подынтегральной функции в виде суммы простых дробей: . При x = –4: . Коэффициент при x2 : A = 6. Коэффициент при  x :  8A + B = 46,

B = 46 – 48 = – 2. Поэтому .

9. Интегрирование функций, рационально зависящих от .

     В этом разделе мы рассмотрим интегралы , где рационально зависящая от sin x, cos x  функция R(sin x, cos x) - отношение двух многочленов относительно этих функций (пример - ).

Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной  преобразует R(sin x, cos x) в функцию, рационально зависящую от t; методы интегрирования таких функций рассмотрены в предыдущем разделе. Выразим sin x, cos x,  dx через t:  (делим на ) ;  (делим на ) . В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от t. Пример:

.

          Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида  (a, b, c - постоянные); однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Частные тригонометрические подстановки.

               Подынтегральная функция нечётна относительно sin x, т.е. R(-sin x, cos x) =

= - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = cos x.

    Подынтегральная функция нечётна относительно cos x, т.е. R(sin x, -cos x) =  

= - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = sin x.

                  Подынтегральная функция чётна относительно sin x и cos x, т.е.

R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = tg x (или t = ctg x, причём ответить на вопрос, что лучше, может только проба). Выражения sin x, cos x и dx через tg x: .

          Примеры: 1. . Подынтегральная функция нечётна относительно sin x: , поэтому

.

(можно перейти к  более просто:  и т.д.

          2.  (Подынтегральная функция нечётна относительно cos x) = .

          3.  (подынтегральная функция не меняется при одновременном изменении знака у sin x и cos x, поэтому t = tg x)

.

          При нахождении таких интегралов для понижения степеней иногда целесообразно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

.

           Интегрирование степеней tg x и ctg x попадает под пункт

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x. При вычислении интегралов  следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: . Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами 9.2.1 или 9.2.2. Пример:

.

          Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг.

 При нахождении интегралов вида , ,  с помощью школьных тригонометрических формул 

, ,  задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций (с другими аргументами). Пример:

.

 Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.

    Интегралы вида , где  - натуральное число,  - функция, рационально зависящая от своих аргументов.

Пример такой функции - . Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида  , где p, q, r, … - рациональные числа, так как, если n - общий знаменатель чисел p, q, r, …, то подынтегральная функция рационально зависит от x и . Подстановка x = t n рационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменной t. Пример:

. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановку x = t 6:

.

           Интегралы вида , где a, b, c, d - постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой . Пример:

.

           Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

     Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен, мы уже рассматривали некоторые методы интегрирования таких функций. Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральнуюфункцию к функции, рационально зависящей от  и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков  и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , . Далее:

1.      рационализируется подстановкой x = a sin t  (или  x = a cos t). Мы применяли эту подстановку в разделе 5. Замена переменной в неопределённом интеграле.

2.      рационализируется подстановкой  (или , или ).

3.                   рационализируется подстановкой x = a tg t  (или x = a ctg t, или

x = a sh t).

          Примеры: 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t  ( это можно установить только пробой!). , поэтому

. Ответ можно записать поизящнее. По школьным формулам  , поэтому .

2.

.

Определенный интеграл.

1. Определение.

   1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке   задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь  трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .


                                                                                           Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание  фигуры точками  на  частей символом  будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника  с основанием  и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

 равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована.  не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество  отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при  (слева) и при  (справа)). При  разница между  и  будет тоже стремиться к нулю, т.е. 

 .

            Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку   и составим сумму

Сумма  называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а  этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

          Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

          В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

          Если  , то ; если , то .

       Теорема существования определённого интеграла. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

                                                                                           Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число ,  что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Геометрический смысл определённого интеграла.

Как следует из пункта 1, если  на отрезке , то  равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

Свойства определённого интеграла.

     Линейность. Если функции ,  интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

          2. Аддитивность. Если  интегрируема по отрезку  и точка  принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если  удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам  и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка  являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и  интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

                                                                                           При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

                                                                                           3. Интеграл от единичной функции (). Если , то .

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

          4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции  ,  интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  при  . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

         5. Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

                                                                                           Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и  правое неравенство.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

          6. Теорема о среднем. Если  непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее  и наибольшее  значения. Тогда . Число  заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между  и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника с основанием   и высотой (на рисунке выделен цветом).

11.3. Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой  обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что  - переменная, в результате интеграл будет функцией  своего верхнего предела: . Легко доказать, что если  интегрируема, то  непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

                                                                                           Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция  непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция  дифференцируема, и .

                                                                                           Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Док-во. Дадим верхнему пределу  приращение . Тогда

, где  - точка, лежащая между  и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим  . При этом  ( - точка, расположенная между  и ). Так как  непрерывна в точке , то  . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

          Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция  имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница. Если  непрерывна на отрезке , и - некоторая первообразная функции , то .

          Док-во. Мы установили, что функция  - первообразная непрерывной . Так как  - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве  переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел  обозначим . Окончательно, .

          Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:  (здесь  читается как "подстановка от  до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

          Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Если  - непрерывно дифференцируемые функции, то .

          Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

          Пример: .

    Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция  непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть  - первообразная для функции , т.е. , тогда  - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

          При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

 

 

Несобственные интегралы.

          При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла  необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

 Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до  и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл  называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

          Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно, интеграл сходится и равен .

          Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от  до b :  

и в пределах от  до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела.  Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c. Примеры:

3. . Интеграл сходится.

4.  

 следовательно, интеграл сходится и равен .

     Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:  сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл  (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и  от b не зависит, то конечный предел при  для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

           Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом  будем обозначать ; символом  - соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто:   - интеграл сходится;  - интеграл расходится.

          Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть    ,   ;  если , то ;  если  то ;   Поэтому    (это уже собственный интеграл) = .

      Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.

                  Признак сравнения. Пусть функции  f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при   удовлетворяют неравенствам . Тогда:

                                                                                           если сходится интеграл , то сходится интеграл ;

                                                                                           если расходится интеграл , то расходится интеграл

(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

          Док-во: если , , то функции  и  - монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть   сходится. G(b) ограничена  , F(b) ограничена, т.е.  сходится. Пусть  расходится  F(b) неограничена  G(b) неограничена, т.е.  расходится.

          Примеры: Исследовать на сходимость интегралы  5. . Функция  не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При  имеет место ; интеграл  сходится   сходится.

6. . При  ; интеграл  расходится   расходится   расходится.

          В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1, и расходится, если :

          Примеры:

7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл  сходится;

8.  . Здесь  при ,  расходится (p = 2/3 < 1),поэтому исходный интеграл  расходится;

9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При  ln x  - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому  ограниченная функция, поэтому  , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;

 . На всём промежутке интегрирования  (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл  сходится, поэтому исходный интеграл  сходится.

                                                                                           Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших  выполняются неравенства , поэтому  и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

          Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для  существует такое значение x0, что при x >  x0 выполняется 9.. Дальше рассуждения простые: пусть a1 =  min{a, x0}; если сходится , то сходится 10., тогда, по теореме сравнения, сходится   сходится  сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится   расходится  расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.

Сравнение интеграла   со "стандартным" интегралом  в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при  неотрицательная функция  f(x) - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то  сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:

. При   эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.

. При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

. При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

14. . При   эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

     Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе  рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f(x) к исследованию интеграла от положительной функции | f(x)|? Можно показать, что если сходится интеграл  , то обязательно сходится интеграл  (идея доказательства: разобьем отрезок Xb = [a, b]  на два множества,   и , т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда , . В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла  интеграл  может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.

                                                                                           Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл  называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл  расходится, то интеграл  называется сходящимся условно.

          Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно,  сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

          Приведённые примеры показывают, что переход от  к  и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)|  расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл .

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что  расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно,  расходится.

          Вывод - исходный интеграл сходится условно.

          Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

    Признак сходимости Абеля: пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём 1. f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл  сходится (условно или абсолютно);

                                                                                           2. g(x) монотонна и ограничена: .

          Тогда интеграл   сходится.

          признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):  ;

          2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .

          Тогда интеграл  сходится.

          Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x,

 g(x) = 1/x, , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода).

Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку  называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Примеры:

17.  - интеграл расходится;

18.

 - интеграл сходится.

12.2.1.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то , и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела . Будем писать просто , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится. Примеры:

19.

20.  (интеграл расходится).

В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.

    Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется  . Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.

   Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c1, c2, c3 отрезка [a, b] (a < c1 < c2 < c3 < b)  и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как

. Здесь d1, d2, d3  - произвольные точки,

удовлетворяющие неравенствам  a < c1 < d1 < c2 < d2 < c3 < d3 < b.                              

          Пример: 21.

, и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:  - расходится, так как первообразная  обращается в бесконечность в точке x = -1.

     Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.

        Признак сравнения. Пусть функции  f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку  и при x > a  удовлетворяют неравенствам . Тогда:

          если сходится интеграл , то сходится интеграл ;

          если расходится интеграл , то расходится интеграл .

          В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку  и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Сравнение интеграла   со "стандартным" интегралом  в предельной форме даёт правило: если при  неотрицательная функция f(x) - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с , то  сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится. Примеры:

22. . Так как при  , и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится;

23. . При   ~ , , интеграл расходится;

24. . При   ~ , , интеграл расходится;

25. . При   ~ , интеграл расходится.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( 12.1.4)  , а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл  сходится, а интеграл расходится (если сходится , то  тоже обязательно сходится).  Пример: Исследовать на сходимость интеграл:

26.  Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.

          При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:

   Признак Дирихле.  Интеграл  сходится, если:  1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b]; 2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём.

          Признак Абеля.  Интеграл  сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл  сходится; 2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:.

 

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.

Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром  радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид  . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности  (),  (), ().

1.     Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали  и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали  и .


Гиперболическая спираль . На рисунке изображены спирали  и . Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .

Кардиоида . Три таких кривых изображены на рисунке справа.

Декартово уравнение кардиоиды: ;

Параметрические уравнения кардиоиды:

Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .

2.     Лемниската Бернулли . 

Подкоренное выражение неотрицательно при  и  . Декартово уравнение лемнискаты .

Лемниската - геометрическое место точек  таких, что , где  и  - фокусы лемнискаты.

На рисунке изображена лемниската с .

Четырёхлепестковая роза . Декартово уравнение .

Каждая точка  этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат.

3.     Развёртка (эвольвента) окружности

Каждая точка  этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент   конец нити находится в точке .

4.     Циклоида Эта кривая - траектория точки  окружности радиуса , которая без скольжения катится по оси . В начальный момент   точка находится в точка .


8. Астроида Декартово уравнение . Каждая точка  этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка - вершина прямоугольника, построенного на отрезке  как диагонали. На рисунке приведена астроида с .

 

Площадь плоской области.

Декартовы координаты. В пункте 11.1.4.  мы сформулировали Геометрический смысл определённого интеграла: если  на отрезке , то  равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой , снизу - кривой ,  слева и справа - отрезками прямых  и , то её площадь равна . Пример: Найти площадь области , ограниченной кривыми при условии, что  (дальше мы будем писать так: ).

При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых, уравнение  имеет два корня:  и ;

Подходящий корень - . Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой  , крайняя левая точка - , поэтому           Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части .

       Область задана в полярных координатах. Если область  - сектор, ограниченный лучами ,  и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток  лучами  на  частей; . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  , найдём , тогда  равно площади сектора круга, ограниченного лучами ,  и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область , её площадь .

При  разница между  и  - площадью области  - будет тоже стремиться к нулю, т.е.  .

Примеры: 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

          Решение: точки лемнискаты расположены в секторах  и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе  и учетверим её:

          2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды  вне окружности .

                                                                                    Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности , поэтому  

                                                                                    3. Найти площадь, лежащую внутри окружности  вне лемнискаты .

                                                                                    Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия ,  Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. При изменении  от  до  полярный радиус меняется от   до ; при изменении  от  до  полярный радиус меняется от  0 до ; поэтому   

Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию  (см. 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде  ; то переход в интеграле  к переменной  приводит к формуле .

Пример: найти площадь, ограниченную астроидой  ().

Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка  получается при , точка   - при  , поэтому

Вычисление длин кривых.

   Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая . Разобьём эту кривую точками  на  частей и впишем в кривую ломаную , соединяющую эти точки. Длина  этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

. Устремим теперь количество  точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена   стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных , не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой  .

              Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая  - график функции , имеющей непрерывную производную , . Тогда точка  имеет координаты , звено  имеет длину  . Функция  на отрезке  удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка  такая, что . С учётом этого длина звена  равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением , , определяется формулой .

          Пример: Найти длину отрезка параболы  от точки  до точки .

          Решение: , поэтому

.

          Кривая задана параметрически . Заменим в  переменную  на переменную . Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически,  определяется формулой .

          Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

          Решение:  кривая задаётся уравнениями

.

                                                                                    13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол  как параметр, получим , поэтому

.

          Пример: найти длину кардиоиды .

Решение: ,  поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение:

Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

 Объёмы тел вращения.

   Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело  расположено в пространстве между плоскостями  и , и для  известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

                                                                                     Рассечём это тело плоскостями   на  слоёв (), на каждом из отрезков  возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями  и  приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму , поэтому .

     Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём  получается в результате вращения кривой  , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

          Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса  вокруг оси .

          Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении  от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула  для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .

          Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры  вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности  на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

                                                                                    Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой  и двумя полярными радиусами  и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности  вокруг полярной оси.

Решение:

.

 

Площадь поверхности вращения.

          Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси  дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

(- длина окружности кольца, - его ширина).

          Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности  вокруг оси .

          Решение: .