Диференціювання функцій.

Застосування похідної  та диференціала

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту Dх. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

Dу = f(x + Dx) – f(x) (рис. 1).

Означення. Відношення  приросту Dу функції у = f(x) до приросту  незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

                          (1)

Рис.1

Відношення  є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При  січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута a нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f(x) називається диференційовною в точці х = х0, якщо існує границя .

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції
у = f(x) у точці х₀ і позначається

Позначення.  =

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f¢ (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Розглянемо функцію  і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

Рис. 2

· Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2):  .

Похідні основних
елементарних функцій

1. Похідна степеневої функції

.

 Диференціальне відношення (1) має такий вигляд:

.

Маємо :

.

Отже, = ¨

2. Похідна показникової функції

 Диференціальне відношення (1) дорівнює

.

маємо:

.

Отже,

.

У частинному випадку при а = е дістаємо:

.

3. Похідна логарифмічної функції

 Записуємо диференціальне відношення (1):

Користуючись другою визначною границею, дістаємо

.

Отже, при  шукана похідна подається так:

Зокрема, коли а = е, маємо:

.

4. Похідні тригонометричних функцій

 1. Для функції у = sinx диференціальне відношення (1) подається так:

.

Згідно з першою визначною границею маємо:

.

Отже,

.

2. Аналогічно для функції у = cosx дістаємо:

3. Для функції у = tgх диференціальне відношення (1) набуває вигляду:

Згідно з наслідком 1  .

Отже,

.

4. Аналогічно для функції у = ctgx записуємо:

Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві

(сonst)¢ = 0.

 (рис. 3).

Рис. 3

(7)¢ = 0; (– 100)¢ = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu¢.

¨

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:

.

Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції:

.

 Нехай у = u + v. Якщо Du і Dv — прирости функцій u та v відносно приросту Dх аргументу х, то приріст функції у такий:

.

Остаточно маємо:

    Знайти похідну функції .

·.

Правило 4. Добуток двох диференційовних функцій u та v є диференційовною функцією

.

Нехай у = uv, де u і v — диференційовні функції від х; ∆х — приріст аргументу х; Du і Dv — прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:

 (рис. 4).

Рис. 4

Отже,

.

Коли Dх прямує до нуля, маємо:

.

Тоді

Похідна добутку n функцій:

(3)

Знайти у¢, якщо у = (х² +1) lnx.

.

Правило 5. У точках, в яких , відношення  двох диференційовних функцій є функція диференційовна, причому

.

 Розглянемо точки, в яких виконуються умови: ; u i v — диференційовні.

Нехай х набуває приросту Dх; Dу, Du, Dv — відповідні прирости функцій у, u і v.

Якщо  в точці х, , коли Dх близьке до нуля. Тоді виконується рівність

.

Віднімаючи від неї вираз , дістаємо:

,

або

.

Якщо Dх прямує до 0, маємо:

.

Знайти у¢, якщо .

.

Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

.                                                                  (4)

Доведення. Нехай Dу — приріст змінної у, а Dх — відповідний приріст змінної х. Тоді

.

Звідси

.

Оскільки обернена функція також неперервна, дістаємо

.

Отже,

.

Похідні обернених тригонометричних функцій:

 Якщо , то для функцій  оберненими є відповідно такі:

За теоремою 1 маємо:

;

;

;

.

Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції :  — правило ланцюга.

Доведення. Позначимо u = j(х). Тоді у = f(u). Знайдемо прирости функцій у = f(u), u = j(x):

Далі запишемо диференціальне відношення (1):

Коли то й . Тому

.

Задана функція у = f(x). Знайти у¢.

1) ;    2) ;    3) .

 1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції  і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай  і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx³ і  обчислюємо за формулою (5):

;

Логарифмічна похідна

Нехай у = f(x) диференційовна функція. Тоді можемо записати

                          (6)

 При f(x) > 0, безпосередньо маємо (6); при f(x) < 0 дістаємо .

Отже,

.

Означення. Похідна функції , обчислена за формулою (6), називається логарифмічною похідною f  у точці х.

Якщо  і , дістаємо такі формули для обчислення логарифмічних похідних функцій F(x) i G(x):

 (7)

Знайти логарифмічну похідну функції

.

· Маємо:

.

Далі обчислюємо за формулами:

Похідна неявної функції

Розглянемо диференціювання неявної функції, заданої рівнянням .

Для знаходження похідної функції у, заданої неявно, достатньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як функцію від х, а потім зі здобутого рівняння знайти похідну у¢.

Знайти похідну функції у, задану рівнянням

.

· Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що у є функцією від х, дістаємо:

.

Похідна функції, заданої параметрично

Диференціювання параметрично заданої функції грунтується на такій теоремі.

Теорема 3. Нехай виконуються такі умови:

1) функції  визначені та неперервні на деякому проміжку І;

2) диференційовні в точці t₀ Î І;

3) функція х = j(t) є строго монотонною на проміжку І, j¢(t₀) ¹ 0;

4) t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t). Тоді функція ,  диференційовна в точці х₀ = j¢(t₀) і

   або    .        (8)

Доведення. Оскільки функція  є складеною і t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t), то за теоремами 1 і 2 про диференціювання складеної та оберненої функцій дістаємо:

Замінюємо х₀ на х:

.

де .

Очевидно, похідна параметрично заданої функції є також параметрично заданою функцією, причому її рівняння набирає вигляду

Аналогічно знаходимо похідні вищих порядків:

 і т. д.

Наприклад:

.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

1)   2)

· За формулою (8) дістаємо:

1) ; ;

2) ,

.

Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Знайти у¢, якщо .

 Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

Похідна показниково-степеневої функції

Означення. Функція  називається показниково-степеневою функцією.

Прологарифмуємо рівняння

.

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

           (9)

Правило диференціювання
показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати додати

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = a.

Тоді

Знайти у¢, якщо у = (х² + 1)^sinx.

 1) .

2) .

3)

.

Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f (2). Якщо f (2) диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  (2) називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f (2).

Аналогічно, похідною n-го порядку f (n) функції f (х) за індукцією називається похідна функції f (n-1), якщо вона існує і диференційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ  або Dⁿy, Dⁿf(x).

Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

f ¢(x) = 4х³ + 6х² + 1, f ²(x) = 12х² + 12х, f ⁽³⁾(x) = 24х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n ³ 5.

Правила знаходження
похідних n-го порядку

На похідні n-го порядку легко поширюються правила, розглянуті в підрозд. 5.1.3.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n-го порядку від добутку двох функцій u(x) та v(x). Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому:

Вираз (u + v)n потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені
(u0 = v0), що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

.

Це є формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Задано функцію . Знайти її похідну у⁽ⁿ⁾.

,

або

.

Неперервність та диференційовність функції.
Похідні зліва та справа

Твердження. Функція у = f(x), неперервна в точці х₀, може не бути диференційовною в цій точці.

Пояснення. Розглянемо похідну зліва та справа в точці х₀:

За означенням:

Функція буде диференційовною в точці x0, якщо обидві похідні зліва та справа у зазначеній точці існують і дорівнюють одна одній. Геометрично, умова  означає, що графік функції в точці х0 має дотичну. Якщо , то в точці х0 існують дві різні дотичні, тобто графік у точці х0 має вигляд кута. Наприклад, таким є графік функції : у початку координат він являє собою кут, утворений прямими у = х і у = – х. Функція  є неперервною в точці х0 = 0, але, оскільки , , вона в цій точці х0 = 0 не диференційовна.

Рис. 5

1. Функція  в точці х₀ = 0 неперервна та диференційовна.

2.

у точці х₀ = 0 неперервна, але не диференційовна.

3. Функція

для кожного а в точці х = 0 не диференційовна й не неперервна.

Механічний та геометричний
зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f ¢(x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань S і час t — фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + Dt тіло пройшло шлях s + Ds = f(t + Dt).

Тоді Ds = f(t + Dt) – f(t).

Означення.

Середня швидкість Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою .

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення  при :

.

Означення.

Миттєва швидкість Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t: .

Нехай  — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

 За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

.

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на
рис. 5.1. Диференціальне відношення  дорівнює тангенсу кута b, утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та х + Dх, із додатним напрямом вісі Ох.

Якщо приріст Dх ® 0, то точка В прямує до точки А, а кут b —до кута a, утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

.                      (10)

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х² у точках М₁(½; ¼), М₂(–1; 1) (рис. 6).

Рис. 6

· Згідно з (10) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо: .

Отже,

Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і  проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 7

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці
М (х₁, у₁):

Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

 Оскільки у¢ = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або  (рис. 5.8).

Рис. 8

 Економічний зміст похідної.
Еластичність

Означення. Еластичністю функції у = f(x) називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу х при Dх ® 0.

Позначення:

Інтерпретація еластичності.

Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція у = f(x) у разі зміни незалежної змінної х на 1%:

.

1) Якщо , то функція називається нееластичною (відносний її приріст спадає).

2) Якщо , то функція називається еластичною (відносний приріст її зростає).

Геометрична ілюстрація

               Рис. 9                                                      Рис.10

Функція нееластична  (рис. 9).

Функція еластична (рис. 10).

Властивості.

1. .

2. .

3. .

Еластичність елементарних функцій.

1. Еластичність степеневої функції  стала і дорівнює показнику степеня a: .

Справді:    .

2. Еластичність показникової функції  пропорційна до х: . Справді,

.

3. Еластичність лінійної функції :

.

Справді,

.

Якщо графік лінійної функції має від’ємний нахил (а < 0), то еластичність функції змінюється від нуля в точці y_m перетину графіком осі y до мінус нескінченності (– ¥) у точці перетину осі х, проходячи через значення (– 1) у середній точці. Отже, хоча пряма має сталий нахил, її еластичність залежить не лише від нахилу, а й від того, в якій точці х ми цю еластичність визначаємо (рис. 11).

Рис. 11

Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається цілком еластичною, а з нульовою еластичністю в усіх точках — цілком нееластичною.

Поняття диференціала

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

                      (1)

де функція  при  задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:                                                               

Геометрична інтерпретація:

Диференціал  є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 11).

Рис. 12

Нехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст Df(x) для  і  і порівняємо їх.

Рис. 13

1) ;

 (рис. 13).

2)

.

. 

Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

 за правилом 3 маємо:

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція  має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

 Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

.                                (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

,                             (2)

або

.                  (3)

Вираз  є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Формула для знаходження диференціала

справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.

Таблиця диференціалів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Знайти диференціал функції .

Знайти dy з виразу .

 До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:

Звідси

.

Знайти .

.

Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал  і т. д. до диференціала n-го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

                             (1)

Знайти третій диференціал функції

.

· Згідно з (1) дістаємо:

Зауваження. Формули (1) при  будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .

 Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:

.

Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = j(t), то dx вже залежить від t, і dx = j¢(t)dt, тому при x = j(t) дістаємо:

      (2)

Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ
ПРО ДИФЕРЕНЦІЙОВНІ ФУНКЦІЇ
(«Французькі» теореми)

Теорема Ферма

Теорема Ферма. Нехай функція y = f(x) визначена на проміжку (a, b) і в деякій точці С цього проміжку (a, b) набуває найбільшого або найменшого значення. Якщо в точці х = С існує похідна, то f¢(С) = 0.

Доведення. Припустимо, що в точці СÎ(a, b) набуває найбільшого значення:

Обчислимо в точці С ліву та праву похідну:

Границі зліва та справа рівні між собою, тому

.

Геометрична інтерпретація теореми Ферма. Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де функція набуває найбільшого та найменшого значень, дотичні є горизонтальними (рис. 15).

Рис. 15

Зауваження. Якщо найбільше значення досягається на кінцях відрізка [a, b], то похідна в цій точці не повинна перетворюватися на нуль. У цій точці не повинно бути горизонтальної дотичної (рис. 16).

Рис.16

Теорема Ролля

Теорема Ролля. Нехай задано функцію f(x), неперервну на відрізку [a, b] і диференційовну на інтервалі (а, b). Тоді якщо f(a) = f(b), то всередині відрізка [a, b] знайдеться точка x (а < x < b), така що

                                                 f¢(x) = 0.

Доведення. За умовою теореми функція f(x) на відрізку [a, b] неперервна, тому вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значення. Нехай m — найменше, а М — найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b]. Маємо два відношення: m = М або m ¹ М.

Розглянемо кожний із цих випадків окремо.

1. Нехай m = M. Якщо m = M, то функція f(x) стала, а отже, для будь-якої точки інтервалу (а, b) її похідна дорівнює нулю.

Таким чином, доведено, що існують точки x, такі що

.

2. Нехай m ¹ M. Тоді функція f(х) набуває найбільшого значення М або найменшого значення m у точці x усередині інтервалу
(а, b). У цій точці за теоремою Ферма похідна перетворюється на 0.

.

Отже, доведено, що коли виконуються умови теореми Ролля, на інтервалі (а, b) існує хоча б одна точка x, в якій похідна дорівнює нулю. 

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю (на рис.17 таких точок три).

Рис. 17

У точках x₁, x₂, x₃ дотична завжди горизонтальна, оскільки .

Формулювання теореми Ролля в разі, коли f(a) = f(b) = 0:

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a, b], що визначається її коренями, і диференційовна усередині такого відрізка, то обов’язково між коренями функції знайдеться хоча б один корінь її похідної.

Зауваження. Якщо порушується хоча б одна з умов теореми Ролля, то може не бути точки, в якій похідна функції дорівнює нулю.

Функція f(х) визначена на відрізку [a, b] і в одній із внутрішніх його точок х₁ порушується умова диференційовності функції (рис. 18).

Рис. 18

Тому на інтервалі немає точки, в якій похідна перетворюється на нуль.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію f(х), неперервну на відрізку [a, b] і диференційовну на інтервалі (а і b). Тоді знайдеться точка x
(а < x < b), така що похідна f¢(x) функції в цій точці f¢(x) дорівнюватиме відношенню :

 .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля, тобто неперервна усередині відрізка [a, b] і F(a) = F(b). Подамо функцію F(x) у вигляді

,

де l — деяка (поки що невідома) стала.

Усі умови теореми Ролля виконуватимуться, якщо взяти l таке, що

,

або

.

Звідси

.

Отже,

.

Таким чином, функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля і тому на інтервалі (а, b) знайдеться деяка точка x, така що :

.

Звідси

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. На інтервалі (a, b) знайдеться хоча б одна точка x, в якій дотична є паралельною хорді АВ, що сполучає кінці дуги функції f(x) на відрізку [a, b] (рис. 19).

                                                             Рис. 19.

Теорема Коші

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку [a, b] задано дві функції f(x) і j(x). Якщо ці функції неперервні на відрізку [a, b] і диференційовні на інтервалі (a, b), причому  не перетворюється на нуль, то на інтервалі (a, b) існує точка x (а < x < b), така що

                          (1)

Зауваження. Ця теорема не отримується безпосередньо застосуванням теореми Лагранжа до знаменника і чисельника лівої частини рівності (1).

Якщо безпосередньо застосуємо її до чисельника і знаменника формули (1), дістанемо:

де у загальному випадку

У формулі (1) j(b) ¹ j(a), а отже, .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля. Нехай, наприклад, F(x) подається у вигляді:

де l — не визначена поки що стала.

За властивостями функцій f(x) і j(x), зазначеними в умові теореми Коші, функція F(x) за побудовою буде неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b).

Залишається вимагати, щоб виконувалася умова F(a) = F(b).

Визначимо сталу l за цією умовою:

.

Оскільки , дістанемо

Тоді допоміжна функція

задовольняє всі умови теореми Ролля на відрізку [a, b].

Отже, усередині цього відрізка існує точка x (а < x < b), така що :

або

Геометрична інтерпретація

Нехай рівняння

є рівнянням кривої, де на функції  і  накладено умови теореми Коші     (рис. 20).

Рис. 20

Тоді  є кутовим коефіцієнтом хорди, що сполучає точки  і  кривої, а кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (1) у точці  є відношення . Отже, теорема Коші стверджує існування точки x, в якій дотична до кривої (1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

Чи задовольняє функція  умови теореми Ферма на відрізку [1; 2]?

 Функція f(x) не задовольняє умову теореми Ферма, оскільки вона монотонно зростає на відрізку [1; 2], набуваючи найбільшого значення при х = 2 і найменшого при х = 1. Отже, не можна стверджувати, що . Справді,  і .

Довести, що рівняння

має лише один дійсний корінь.

 Існування хоча б одного дійсного кореня випливає з того, що многочлен  має непарний степінь. Єдиність кореня доведемо від супротивного.

Припустимо, що існують два корені рівняння . Тоді на відрізку  функція f(x) задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна, перетворюється на нуль на кінцях відрізка і в кожній точці має похідну.

Отже, у деякій точці ξ  виконується рівність . Але . Здобута суперечність доводить, що задане рівняння має лише один дійсний корінь.

Довести нерівність

,

де .

До функції  на відрізку  застосуємо формулу Лагранжа:

.

Тоді

,

оскільки

.

Зокрема, покладаючи , дістаємо:

.

Перевірити, що функції  і  задовольняють умови теореми Коші на відрізку [1; 4] і знайти відповідне значення ξ.

· Задані функції f(x) і g(x) неперервні всюди, а отже, і на відрізку
[1; 4]; їх похідні  і  є скінченними. Окрім того,  не перетворюється на нуль при жодному дійсному х.

Таким чином, можемо застосувати формулу Коші:

 тобто .

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: . Проте лише  є внутрішньою точкою відрізка [1; 4].

Узагальнення теореми
про скінченний приріст.
Формула Тейлора

Нехай функція f(x) має п похідних у точці х₀.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х0.

Теорема. Нехай функція f(x) має в e-околі точки х0  (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х0, для якої справджується рівність:

                                          (1)

де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х₀.

Доведення. Визначимо функцію r(x) формулою . Оскільки , маємо . Визначимо ще одну функцію:

.

Для цієї функції також виконується рівність . Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r(x) і j(x):

,                   (2)

де х₁ — деяка точка, розміщена між точками х₀ і х. Маємо , оскільки

.

Крім того, .

Звідси . Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:

,                  (3)

де точка х₂ розміщена між х₀ і х₁.

Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:

,

де кожна точка х_k+1 розміщена між х₀ і х_k (k = 1, …, n)                                                Отже,

,                   (4)

де ,

.

Узявши с = х_{n + 1} і врахувавши, що f(x) = T(x) + r(x), дістанемо рівність (1).

Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) — залишковим членом у формі Лагранжа.

Беручи у формулі (1) х₀ = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.

Розклад основних елементарних функцій
за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію  у
т. х₀ = 0. Для цього обчислюємо:

Далі за формулою Тейлора (1) маємо:

       (9)

Зокрема, при х = 1

У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при :

.

Можна записати: .

Цей вираз називають рядами і позначають так:

                (10)

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію  у
т. х₀ = 0. Насамперед знайдемо:

,                                       ;

,                                      ;

,                                    ;

,                                   ;

;

..................................................................................

За формулою Тейлора (1) дістанемо (рис. 21)

     (11)

.

Рис. 21

Обчислимо, скільки потрібно утримати членів у формулі для того, щоб обчислити значення функції  з точністю до 10^–8 при .

 Залишковий член у формулі Тейлора за модулем має бути меншим, ніж 10^–8:

.

Отже, .

Обчислимо кілька членів розкладу  при

n = 0,	;
n = 1,	;
n = 3,	;
n = 4,	;
n = 5,	.

Остаточно дістанемо:

3. Розклад за формулою Тейлора функції  в т. х₀ = 0.

Насамперед обчислимо:

,                                       ;

,                                    ;

,                                    ;

,                                      ;

,                                    .

Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:

    (12)

Знайдемо значення  з точністю до 10^–10.

Оскільки , то

.

Щоб досягти заданої точності, візьмемо

Розклад за формулою Тейлора
деяких часто застосовуваних функцій

1. Розклад функції ,       — довільне число.

Насамперед

,	;
,	;
,	;
,	.

....................................................................................

За формулою Тейлора отримаємо розклад

                        (13)

Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо  — натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.

Обчислити .

 Маємо

1.;

.

                             2. 

  .

        Застосувавши знайдений розклад, обчислимо .

 Виконаємо перетворення ;

.

2. Розклад функції

,	;
,	;
	;
,	;
,	;
… … … … … …	… … … … … …

За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад

або                           (14)

Інтерполювання функції

У разі виконання обчислень за допомогою таблиць часто буває так, що аргумент функції задано з точністю, яка перевищує табличну. Тоді застосовуємо інтерполювання — наближене знаходження невідомих значень функції за відомими її значеннями в заданих точках.

Найпростішим є лінійне інтерполювання, коли приріст функції вважається пропорційним до приросту аргументу. Якщо задане значення х міститься між наведеними в таблиці значеннями х₀ і х₁ = х₀ + h, яким відповідають значення функції у₀ = f(x) i y₁ =
= f(x₀) + Δf, то беруть

                         (1)

Рис. 22

Величини  називаються інтерполяційними поправками. Їх обчислюють за допомогою таблиці або відшукують у спеціальних довідниках.

Якщо за заданим значенням функції потрібно знайти наближене значення аргументу, то виконують обернене інтерполювання.

Функцію у = f(x) задано таблицею:

x	2	2,04	2,08
y	2,42	2,88	3,38

1) знайти f (2,008);

2) знайти х, якщо f(x) = 3.

 1) Маємо х₀ = 2,  f(x) = 2,42.

х₁ = 2,04,  f(x₁) = 2,88;

h = x₁ – x₀ = 2,04 – 2,0 = 0,04;

Δf = f(x₁) – f(x₀) = 2,88 – 2,42 = 0,46.

За інтерполяційною формулою (1) дістаємо:

.

2) Обернене інтерполювання можна виконати за цією самою формулою, помінявши місцями х і у:

де х = φ(у) — невідоме значення оберненої функції.

Маємо у₀ = 2,88; φ(у₀) = 2,04;

у₁ = 3,38; φ(у₁) = 2,08; h = y₁ – y₀ = 3,38 – 2,88 = 0,50;

Dj = j(y₁) – j(y₀) = 2,08 –2,04 = 0,04.

За інтерполяційною формулою (2) обчислюємо:

.

Зауваження. Якщо результати лінійного інтерполювання не задовольняють потреб щодо точності, застосовують точніші методи інтерполювання, наприклад квадратичне інтерполювання.

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ЧИСЛЕННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовні функції f(x), j(x). Причому f(a) = j(a) = 0. Тоді в разі існування границі відношення похідних цих функцій при х ® а існує і границя відношення самих функцій при х ® а:

       (1)

Доведення. Розглянемо деякий відрізок [а, х] з околу точки а, на якому для функцій f(x) і j(x) виконуються умови теореми Коші. Отже, між точками а і х знайдеться точка x, така що

,

або

.                             (2)

Переходячи в рівності (2) до границі при х ® а і враховуючи теорему про границю частки двох функцій, дістаємо (1).

Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати кількаразово, якщо для відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.

Зауваження. Функції f(x), j(x), які є неперервними та диференційовними в околі точки х = а, у самій точці а можуть не бути визначеними. Але якщо існують границі

,

то можна застосовувати правило Лопіталя до відношення . Якщо функції f(x) і j(x) невизначені в точці х = а, то визначаємо значення функцій f(x) і j(x) та їх граничні значення при х ® а:

.

Це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій, припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.

Теорема 2. Нехай функції f(x) і j(x) неперервні та диференційовні на півпрямій с < x < ∞ (–∞ < x < c), причому j(x) на цій півпрямій не перетворюється на нуль і водночас виконуються рівності:

.

Тоді, якщо існує , то існує і  та справджується рівність

(3)

Доведення. Покладемо . Отже, якщо х → ∞, то z → 0. Маємо:

.

Розглянемо границю відношення

.

Якщо ця границя існує, то існує й границя .

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

    1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Теорема 3. Нехай функції f(x) і j(x) в околі точки х = а неперервні й диференційовні, причому . Тоді в разі виконання рівностей ,  та існування  існує і :

.                      (4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а, в якому виконується умова теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й роз-
глядатимемо х із інтервалу a < х < а (аналогічно а < х < a).

Застосуємо до відрізка [a, х] теорему Коші:

 (a < x < х).

Отже,

.

За умовою . Звідси випливає, що для будь-якого малого  виконується нерівність

,

або

.                       (5)

Знайдемо

.

Виберемо a так, щоб для заданого e справджувалася нерівність (5) і при х ® а виконувалися співвідношення: f(x) ® ∞ і j(х) ® ∞.

Тоді

,

або

.                         (6)

Перемножимо почленно (5) і (6):

.   (7)

Вибираючи значення e достатньо малим і переходячи в останній нерівності до границі при х ® а, дістаємо (4).

Аналогічно розглядається випадок, коли х ® ∞.

Якщо f(x) і j(x) неперервно диференційовні на півпрямій с < x< ∞ (– ∞ < x < c) , , причому існує , то існує і :

                      (8)

Границя відношення нескінченно великих величин дорівнює відношенню їх похідних у разі існування останніх.

1) ;

Зауваження. У формулах (4), (8) з існування границь відношення похідних випливає існування відношення функцій. Обернене твердження не буде правильним.

Обчислити .

· Згідно з правилом Лопіталя маємо:

.

Отже, границя даної функції не існує, оскільки не існує .

Але

 .

Зауваження. Правило Лопіталя є ефективним методом розкриття невизначеностей. Проте застосування його не завжди дає змогу спростити здобутий вираз і знайти шуканий результат.

Знайти .

.

Якщо застосувати правило Лопіталя вдруге, то функція під знаком границі набере початкового вигляду. Таким чином, за цим правилом не вдається розкрити невизначеність.

Але

.

ВИСНОВОК:

Невизначеності виду можна розкривати за правилом Лопіталя (1), (4), (8).

Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві

(сonst)¢ = 0.

 (рис. 3).

Рис. 3

(7)¢ = 0; (– 100)¢ = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu¢.

¨

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:

.

Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції:

.

 Нехай у = u + v. Якщо Du і Dv — прирости функцій u та v відносно приросту Dх аргументу х, то приріст функції у такий:

.

Остаточно маємо:

    Знайти похідну функції .

·.

Правило 4. Добуток двох диференційовних функцій u та v є диференційовною функцією

.

Нехай у = uv, де u і v — диференційовні функції від х; ∆х — приріст аргументу х; Du і Dv — прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:

 (рис. 4).

Рис. 4

Отже,

.

Коли Dх прямує до нуля, маємо:

.

Тоді

Похідна добутку n функцій:

Знайти у¢, якщо у = (х² +1) lnx.

.

Правило 5. У точках, в яких , відношення  двох диференційовних функцій є функція диференційовна, причому

.

 Розглянемо точки, в яких виконуються умови: ; u i v — диференційовні.

Нехай х набуває приросту Dх; Dу, Du, Dv — відповідні прирости функцій у, u і v.

Якщо  в точці х, , коли Dх близьке до нуля. Тоді виконується рівність

.

Віднімаючи від неї вираз , дістаємо:

,

або

.

Якщо Dх прямує до 0, маємо:

.

Знайти у¢, якщо .

.

Похідна функції, заданої параметрично

Диференціювання параметрично заданої функції грунтується на такій теоремі.

Теорема 3. Нехай виконуються такі умови:

5) функції  визначені та неперервні на деякому проміжку І;

6) диференційовні в точці t₀ Î І;

7) функція х = j(t) є строго монотонною на проміжку І, j¢(t₀) ¹ 0;

8) t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t). Тоді функція ,  диференційовна в точці х₀ = j¢(t₀) і

   або    .        (8)

Доведення. Оскільки функція  є складеною і t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t), то за теоремами 1 і 2 про диференціювання складеної та оберненої функцій дістаємо:

Замінюємо х₀ на х:

.

де .

Очевидно, похідна параметрично заданої функції є також параметрично заданою функцією, причому її рівняння набирає вигляду

Аналогічно знаходимо похідні вищих порядків:

 і т. д.

Наприклад:

.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

1)   2)

· За формулою (8) дістаємо:

3) ; ;

4) ,

.

Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Знайти у¢, якщо .

 Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

Похідна показниково-степеневої функції

Означення. Функція  називається показниково-степеневою функцією.

Прологарифмуємо рівняння

.

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

           (9)

Правило диференціювання
показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати додати

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = a.

Тоді

Знайти у¢, якщо у = (х² + 1)^sinx.

 1) .

2) .

3)

.

Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f (2). Якщо f (2) диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  (2) називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f (2).

Аналогічно, похідною n-го порядку f (n) функції f (х) за індукцією називається похідна функції f (n-1), якщо вона існує і диференційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ  або Dⁿy, Dⁿf(x).

Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

f ¢(x) = 4х³ + 6х² + 1, f ²(x) = 12х² + 12х, f ⁽³⁾(x) = 24х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n ³ 5.

Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

 за правилом 3 маємо:

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція  має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

 Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

.                               

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

,                            

або

.                 

Вираз  є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Формула для знаходження диференціала

справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.