Випадкові величини

Випадкові величини

Поняття дискретної випадкової величини та її закону розподілу.

Випадкова величина, яка зв’язана з деяким дослідом, є якісною характеристикою досліду. Кількісною ж характеристикою результату проведеного досліду є випадкова величина до розгляду якої ми приступаємо

Кидаємо дві монети. Скільки з них випаде гербом вверх?

Розв’язання. При киданні двох монет простір елементарних подій буде мати вигляд {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}, де Ц – “цифра”, Г – “герб”. Перший символ показує, як випала перша монета, а другий – друга монета. Наприклад ЦГ означає, що перша монета випала цифрою вверх, а друга – гербом. Оскільки монети є правильні і однорідні, то можна рахувати, що всі елементарні події є рівноможливими, і тоді ймовірність р кожної з них дорівнює ¼. Позначимо через Х число монет, які випали гербом вверх, складемо таблицю:

	ЦЦ	ЦГ	ГЦ	ГГ
Х	0	1	1	2
р	1/4	1/4	¼	1/4

Табл. 1.

Так, як елементарним подіям ЦГ і ГЦ відповідає одне і те ж значення величини Х, рівне 1, то можна вважати, що це значення величина Х прийме з ймовірністю . Таким чином, значення величини Х – число монет, що випали гербом вверх та відповідні їм ймовірності можна записати у вигляді таблиці

Х	0	1	2
р	¼	1/2	1/4

Табл 2.

Отже, кожне значення величини Х є число, яке визначається результатом досліду і залежить від випадку.

Означення 1. Випадковою називається величина, яка в результаті досліду приймає з визначеною ймовірністю те чи інше значення, яке залежить від результату досліду. Випадкові величини позначаються великими буквами латинського алфавіту: X, Y, Z і т.д., а їх значення малими буквами: x, y, z.

Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна, або зліченна, тобто множина її значень представляє собою послідовність х1, х2, ... хn ... . Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення х, позначають

Р(х) = Р(Х=х).

Означення 3. Відповідність між можливими значеннями х₁, х₂, ... х_nвипадкової величини Хта їх ймовірностями р₁,р₂, ... р_n називають законом розподілу випадкової величини Х.

Закон розподілу випадкової величини переважно представляють у вигляді таблиці:

Х	х₁	х₂	...	х_і	...	х_n
Р	р₁	р₂		р_і		р_n

Табл. 3.

Події Х=х₁, Х=х₂, ... Х=х_n утворюють повну систему попарно несумісних подій, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

р₁ + р₂ +...+ р_n = 1. (1)

Так, в прикладі 1 закон розподілу випадкової величини Х – кількості випавших гербом вверх монет – може бути задано таблицею 2.

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – кількості очок, що випали при киданні правильного грального кубика, має вигляд заданий табл. 4:

2. Біномінальний розподіл. Нехай випадкова величина Х – кількість появи події А в n незалежних дослідах, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р, а непояви – q=1-p. Очевидно, що Х може приймати значення 0,1,2, ..., n ймовірності яких обчислюються по формулі Бернуллі

(2)

Означення 4. Закон розподілу випадкової величини Х, який має вигляд таблиці 5:

Х	0	1	2	...	m	…	N
р				…		…

називається біномінальним розподілом.

Таку назву він одержав у зв’язку з тим, що ймовірності (2) співпадають з відповідними членами біному (p+q)n:

(3)

Скласти закон розподілу числа попадання в ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,9.

Розв’язання. Випадкова величина Х – число попадань в ціль при чотирьох пострілах – може прийняти значення 0,1,2,3,4, а відповідні їм ймовірності знаходимо за формулою Бернуллі (2):

Отже, даний закон розподілу можна представити таблицею:

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Табл.6.

Зауваження. Оскільки формулу (3) можна записати у вигляді:

(4)

і оскільки p+q=1, то з (4) отримаємо, що:

(5)

Для знаходження найімовірнішого числа m₀ появи події за заданим n і p можна користуватись нерівностями:

(6)

При досить великій кількості випробувань зручно користуватися наближеною формулою Лапласа:

(7)

де q=1-p, 0<р<1. При досить великому n і малому р використовується наближена формула Пуассона:

, де λ = np (8

і тоді такий розподіл буде називатися Пуассоновим розподілом. У механічній інтерпретації розподіл ймовірностей випадкової величини вказує на те, яка частка всієї ймовірності припадає на те чи інше значення випадкової величини.

Важливими числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподівання і дисперсія цієї величини.

3. Математичне сподівання. Крім закону розподілу, який дає повне представлення про випадкову величину, часто використовуються числа, які описують випадкову величину сумарно. Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини. Серед числових характеристик однією з основних є математичне сподівання, яке вказує, яке середнє значення випадкової величини можна чекати в результаті випробування.

Означення 5. Математичним сподіванням М(х) дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень х_і на їх ймовірність р_і:

(9)

Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, знаючи її розподіл (табл.7).

Х	-1	0	1	2	3
р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Табл.7

Розв’язання. За формулою (9) знайдемо:

Основними властивостями математичного сподівання є:

1. Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання:

М(СХ)=СМ(Х) (10)

2. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

М(X+Y)=M(X)+M(Y) (11)

3. Математичне сподівання постійної величини С дорівнює самій цій величині:

М(С)=С. (12)

4. Математичне сподівання лінійної комбінації випадкових величин дорівнює лінійній комбінації їх математичних сподівань:

(13)

5. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку (14)

Отже, у механічній інтерпретації М(Х) є не що інше, як центр системи мас (ймовірностей), розподілених дискретно вздовж осі абсцис так, що на точку з абсцисою х_к припадає маса (ймовірність) р_к, причому .

Х_с = М(Х)

4. Дисперсія.

Знайти математичне сподівання випадкових величин Х і У, знаючи закони їх розподілів (табл 8 і 9).

Х	-8	-4	-1	1	3	7
р	1/12	1/6	1/4	1/6	1/12	1/4

Табл.8

У	-2	-1	0	1	2	3
р	1/6	1/6	1/12	1/3	0	1/4

Розв’язання. За формулою (9) маємо

Ми отримали цікавий результат: закони розподілу величини Х і У різні, а їх математичні сподівання однакові.

Значення величини У більше зосередженні біля математичного сподівання М(У), ніж значення величини Х, які розкидані (розсіяні) відносно М(Х). Отже, розподіл значень величини У є кращим. Щоб це встановити, не обов’язково наносити на числову пряму значення величини, достатньо обчислити дисперсію, яка є основною числовою характеристикою ступеня розсіяння значення випадкової величини х відносно їх математичного сподівання М(х). Вона позначається D(х).

Означення 6. Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х та її математичним сподіванням М(Х), тобто Х – М(Х).

Зауважимо, що відхилення Х – М(Х) та його квадрат (Х-М(Х))² також є випадковими величинами і тому тут можна знаходити їх математичне сподівання. Причому, якщо випадкова величина Х розподілена за законом, заданим табл.3, то квадрат її відхилення має слідуючий закон розподілу (табл 10)

(Х-М(Х))²	(х₁ – М(Х))²	(х₂ – М(Х))²	...	(х_n – М(Х))²
р	р₁	р₂	...	р_n

Табл.10

Введемо тепер означення дисперсії випадкової величини Х.

Означення 7. Дисперсією дискретної випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрату її відхилення:

(15)

Основними властивостями дисперсії є:

1. Дисперсія постійної величини С рівна нулю

D(C) = 0 (16)

2.Якщо Х – випадкова величина, а С – постійна, тоD(CX)=C2D(X) (17)

D(X+C)=D(X) (18)

3. Якщо Х і Y незалежні випадкові величини, то

D(X+Y)=D(X)+D(Y) (19)

Для обчислення дисперсії більш зручною є формула

D(X)=M(X2)-(M(X))2 (20)

Дійсно: D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2 · X · M(X)+(M(X))2) = M(X2) – 2 · M(X) · M(X)+(M(X))2 = M(X2) – (M(X))2.

Дискретна випадкова величина розподілена за законом (табл 11)

Х	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Табл.11.

Знайти D(X).

Розв’язання.

Спочатку знайдемо

М(Х) = - 1 · 0,2 + 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 = 0,9

а потім

М(Х²) = (-1)² · 0,2 + 0² · 0,1 + 1² · 0,3 + 2² ·0,4 = 2,1.

По формулі (20) маємо D(X) = M(X²) – M²(X) = 2,1 – (0,9)² = 1,29.

Порівняти дисперсії випадкових величин, які задані законами розподілу (табл 12 і 13)

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

Табл.12

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

Табл.13

Розв’язання. Знайдемо

М(Х) = (-1) · 0,48 + 1 · 0,01 + 2 · 0,09 + 3 · 0,42 = 0,97;

М(Х²) = (-1)² · 0,48 + 1² · 0,01 + 2² · 0,09 + 3² · 0,42 = 4,63;

D(X) = 4,63 – (0,97)² = 3,69;

M(Y) = -1 · 0,19 + 1 · 0,51 + 2 · 0,25 + 3 · 0,05 = 0,97;

M(Y) = (-1²) · 0,19 + 1² · 0,51 + 2² · 0,25 + 3² · 0,05 = 2,15;

D(Y) = 2,15 – 0,97² = 1,21.

Одержані результати показують, що не дивлячись на те, що значення математичних сподівань випадкових величин X і Y однакові, їх дисперсії різні, причому D(X)>D(Y). Це означає, що випадкова величина Y з більшою ймовірністю приймає значення, близьке до математичного сподівання, ніж випадкова величина Х.

Отже, дисперсія характеризує ступінь розсіювання ймовірностей випадкової величини навколо математичного сподівання (середнього значення). У механічній інтерпретації дисперсії – це момент інерції відносно центра мас із загальною одиничною масою, розподіленою вздовж осі абсцис так, що в точці з абсцисою х_к знаходиться маса р_к.

Часто для характеристики розсіювання ймовірностей користуються не дисперсією, а так званим середнім квадратичним відхиленням σ_к (або стандартом), яке дорівнює

(21)

Для випадкової величини, розподіленої за біномінальним законом М(Х) = np, D(X) = npq.

Для довільної випадкової величини Х і будь – якого додатнього числа ε справедлива нерівність Чебишова

(22)

Або в іншому варіанті

(23)

Зокрема, для випадкової величини Х – числа настання події А в серії з n

незалежних дослідів, у кожному з яких А настає з ймовірністю р, матимемо

Звідки дістанемо Теорему Бернуллі або закон великих чисел

, (24)

який стверджує, що частота настання події А в серії з n випробувань наближається до ймовірності події А із зростанням n.

Ймовірність появи деякої події в кожному з 1000 дослідів дорівнює 0,2. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що відхилення сподівання цієї події від математичного сподівання буде більше 30.

Розв’язання. Число появ події в n = 1000 дослідах є випадкова величина Х, яка розподілена за біномінальним законом. Тому її математичне сподівання і дисперсію знайдемо за формулами М(Х) = np, D(X) = npq. Маємо М(Х) = 1000 · 0,2 = 200, D(X)=1000·0,2·0,8=160. Користуючись нерівністю Чебишова при ε = 30, дістанемо

Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити з допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що серед 1500 новонароджених хлопчиків буде від 700 до 800.

Розв’язання. Маємо біномінальний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому М(Х) = 1500 · 0,5 = 750, D(X) = 1500 · 0,5 · 0,5 = 375. Оскільки числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700<X<800 можна замінити еквівалентною їй | X – 750| < 50.

Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85.

Функція розподілу ймовірностей випадкової величини.

1.7. Як дискретну, так і неперервну випадкову величину можна задати функцією розподілу F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробувань прийме значення менше від х, тобто

1.8. (1)

1.9. Функція розподілу будь-якої випадкової величини є не спадною функцією аргументу х, причому

1.10.

Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то F(x) = = 0 при х < a, F(x) = 1 при x > b.

Ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, яке задовольняє подвійну нерівність

(2)

Можна уточнити означення неперевної випадкової величини: випадкова величина Х називається неперевною, якщо її функція розподілу F(x) неперевна при всіх х, а похідна функції розподілу неперервна в усіх точках, крім, можливо, скінченного числа точок на будь-якому скінченному інтервалі.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме одне певне значення х₀, дорівнює нулю, тобто Р(Х = х₀) = 0. Тому для неперервної випадкової величини Х

Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу

х_і	2	4	5	6
р_і	0,1	0,2	0,4	0,3

1. Побудувати многокутник розподілу. 2. Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Розв’язання. 1. Побудуємо прямокутну систему координат, причому на осі абсцис будемо відкладати можливі значення х_і, а на осі ординат відповідні ймовірності р_і . Побудуємо точки М₁ (2;0,1), М₂(4;0,2), М₃(5;0,4), М₄(6;0,3) та з’єднаємо їх послідовно відрізками прямих. Одержимо шуканий многокутник розподілу 2. За означенням функція розподілу F(x) = P(X<x). Якщо x ≤ 2, то F(x) = 0, оскільки значень які менші від 2, випадкова величина Х не приймає.

Якщо , то F(x) = 0,1. Дійсно, Х може прийняти тільки значення 2 з ймовірністю 0,1. Якщо , то F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Дійсно, Х може прийняти значення 2 з ймовірністю 0,1 і значення 4 з ймовірністю 0,2; отже, одне з цих значень випадкова величина Х може прийняти з ймовірністю 0,3 (за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій). Якщо 5 < x < 6, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7 (пояснення аналогічне).

Якщо X>6, то F(x) = 1, оскільки в цьому випадку подія Х < x є достовірною.

Отже, шукана функція розподілу має вигляд

Неперервна випадкова величина Х задана на всій осі Ох функцією

розподілу

1. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (-1;1).

2. Побудувати графік функції F(x).

Розв’язання.

2. Побудуємо графік функції розподілу F(x).

Густина розподілу ймовірностей неперевної випадкової величини.

Густиною розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається перша похідна від її функції розподілу

(1)

Густина розподілу ймовірностей існує тільки для неперервних випадкових величин. Густина розподілу ймовірностей невід’ємна, тобто , оскільки F(x) – не спадна функція.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (a;b),

(2)

Невласний інтеграл , оскільки він визначає ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х в результаті випробування прийме будь-яке значення з інтервалу .