Точкові статистичні оцінки параметрів
генеральної сукупності

Статистична оцінка

Статистична оцінка  яка визначається одним числом, точкою, називається точковою. Беручи до уваги, що  є випадковою величиною, точкова статистична оцінка може бути зміщеною і незміщеною: коли математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру θ, а саме:

то  називається незміщеною; в противному разі, тобто коли

точкова статистична оцінка  називається зміщеною відносно параметра генеральної сукупності θ.

Різниця

називається зміщенням статистичної оцінки

Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених статистичних оцінок, що можна зобразити так.

Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію.

Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки  наближається до оцінювального параметра θ, а саме:

Методи визначення точкових
статистичних оцінок

Існують три методи визначення точкових статистичних оцінок для параметрів генеральної сукупності.

Метод аналогій. Цей метод базується на тому, що для параметрів генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки, тобто для оцінки  вибирають аналогічні статистики —

Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від статистичної оцінки

Отож, використовуючи метод найменших квадратів, можна, наприклад, визначити статистичну оцінку для . Для цього скористаємося функцією  Використовуючи умову екстремуму, дістанемо:

Звідси для  точковою статистичною оцінкою буде  — вибіркова середня.

Метод максимальної правдоподібності. Цей метод посідає центральне місце в теорії статистичного оцінювання параметрів q. На нього свого часу звертав увагу К. Гаусс, а розробив його Р. Фішер. Цей метод розглянемо докладніше.

Нехай ознака генеральної сукупності Х визначається лише одним параметром θ і має щільність імовірностей f(x; θ). У разі реалізації вибірки з варіантами  щільність імовірностей вибірки буде такою:

      ( 1)    

При цьому варіанти розглядаються як незалежні випадкові величини, котрі мають один і той самий закон розподілу, що й ознака генеральної сукупності Х.

Суть цього методу полягає в тому, що, фіксуючи значення варіант , визначають таке значення параметра  при якому функція (1) максимізується. Вона називається функцією максимальної правдоподібності і позначається так: .

Наприклад, коли ознака генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу, то функція максимальної правдоподібності набере такого вигляду:

.      (2)

При цьому за статистичні оцінки  вибирають ті їх значення, за яких задана вибірка буде найімовірнішою.

          На практиці зручно від функції (2) перейти до її логарифма, а саме:

Згідно з необхідною умовою екстремуму для цієї функції дістанемо:

З першого рівняння системи  дістанемо:

з другого рівняння системи (407) маємо:

Отже, для  точковою статистичною оцінкою є  для .

Виправлена дисперсія, виправлене середнє квадратичне відхилення.

Точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є

 буде точковою незміщеною статистичною оцінкою для . Її назвали виправленою дисперсією і позначили через

Звідси точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є виправлена дисперсія  або

Величину

називають виправленим середнім квадратичним відхиленням

Інтервальні статистичні оцінки
для параметрів генеральної сукупності

Точкові статистичні оцінки  є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на  часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.

Різниця між статистичною оцінкою  та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:

де δ є точністю оцінки.

Оскільки  є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (414) справджуватиметься з певною ймовірністю.

Імовірність, з якою береться нерівність (414), тобто

,                                       

називають надійністю.

Рівність (415) можна записати так:

.               

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ генеральної сукупності з заданою надійністю g, називають довірчим.

Побудова довірчого інтервалу
для  при відомому значенні
із заданою надійністю  g

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності  із заданою надійністю γ. Оскільки  як точкова незміщена статистична оцінка для  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , то, скориставшись (416), дістанемо

.                          

Випадкова величина  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

Згідно з формулою нормованого нормального закону

Вона набирає такого вигляду:

З рівності (419) знаходимо аргументи х, а саме:

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею .

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

,               

Величина  називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

Побудова довірчого інтервалу для  при невідомому значенні  із заданою надійністю g

Для малих вибірок, з якими стикаємося, досліджуючи різні ознаки в техніці чи сільському господарстві, для оцінювання  при невідомому значенні  неможливо скористатися нормальним законом розподілу. Тому для побудови довірчого інтервалу застосовується випадкова величина

що має розподіл Стьюдента з  ступенями свободи.

Тоді набирає такого вигляду:

оскільки  для розподілу Стьюдента є функцією парною.

Обчисливши за даним статистичним розподілом , S і визначивши за таблицею розподілу Стьюдента значення , будуємо довірчий інтервал

Тут  обчислюємо за заданою надійністю γ і числом ступенів свободи  за таблицею .

Інформація, яку дістають на підставі вибірки, реалізованої із генеральної сукупності, може бути використана для формулювання певних суджень про всю генеральну сукупність.

Наприклад, розпочавши виготовляти покришки нового типу для автомобілів, відбирають певну кількість цих покришок і піддають їх певним тестам.

За результатами тестів можна зробити висновок про те, чи кращі нові покришки від покришок старого типу, чи ні. А це, у свою чергу, дає підставу для прийняття рішення: виготовляти їх чи ні.

Такі рішення називають статистичними.

Статистичні рішення мають імовірнісний характер, тобто завжди існує ймовірність того, що прийняті рішення будуть помилковими.

Головна цінність прийняття статистичних рішень полягає в тому, що в межах імовірнісних категорій можна об’єктивно виміряти ступінь ризику, що відповідає тому чи іншому рішенню.

Будь-які статистичні висновки, здобуті на підставі обробки вибірки, називають статистичними гіпотезами.

Параметричні і непараметричні статистичні гіпотези

Статистичні гіпотези про значення параметрів ознак генеральної сукупності називають параметричними.

Наприклад, висувається статистична гіпотеза про числові значення генеральної середньої , генеральної дисперсії D_Г, генерального середнього квадратичного відхилення s_Г та ін.

Статистичні гіпотези, що висуваються на підставі обробки вибірки про закон розподілу ознаки генеральної сукупності, називаються непараметричними.

Наприклад, на підставі обробки вибірки може бути висунута гіпотеза, що ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу, експоненціальний закон та ін.

Нульова й альтернативна гіпотези

Гіпотезу, що підлягає перевірці, називають основною. Оскільки ця гіпотеза припускає відсутність систематичних розбіжностей (нульові розбіжності) між невідомим параметром генеральної сукупності і величиною, що одержана внаслідок обробки вибірки, то її називають нульовою гіпотезою і позначають Н₀.

Зміст нульової гіпотези записується так:

;

;

.

Кожній нульовій гіпотезі можна протиставити кілька альтернативних (конкуруючих) гіпотез, які позначають символом Н_a, що заперечують твердження нульової.

Наприклад, нульова гіпотеза стверджує: , а альтернативна гіпотеза — , тобто заперечує твердження нульової.

Прості і складні статистичні гіпотези

Проста гіпотеза, як правило, належить до параметра ознак генеральної сукупності і є однозначною.

Наприклад, згідно з простою гіпотезою параметр генеральної сукупності дорівнює конкретному числу, а саме:

;

.

Складна статистична гіпотеза є неоднозначною. Вона може стверджувати, що значення параметра генеральної сукупності належить певній області ймовірних значень, яка може бути дискретною і неперервною.

Наприклад:

або .

Нульова гіпотеза може стверджувати як про значення одного параметра генеральної сукупності, так і про значення кількох параметрів, а також про закон розподілу ознаки генеральної сукупності.

Статистичний критерій.
Емпіричне значення критерію

Для перевірки правильності висунутої статистичної гіпотези вибирають так званий статистичний критерій, керуючись яким відхиляють або не відхиляють нульову гіпотезу. Статистичний критерій, котрий умовно позначають через K, є випадковою величиною, закон розподілу ймовірностей якої нам заздалегідь відомий.

Наприклад, для перевірки правильності  як статистичний критерій K можна взяти випадкову величину, яку позначають через K = Z, що дорівнює

,                                                                      

і яка має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей. При великих обсягах вибірки (n > 30) закони розподілу статистичних критеріїв наближатимуться до нормального.

Спостережуване значення критерію, який позначають через K*, обчислюють за результатом вибірки.

Область прийняття гіпотези.
Критична область. Критична точка

Множину W всіх можливих значень статистичного критерію K можна поділити на дві підмножини А і , які не перетинаються.

.

Сукупність значень статистичного критерію K Î А, за яких нульова гіпотеза не відхиляється, називають областю прийняття нульової гіпотези.

Сукупність значень статистичного критерію K Î , за яких нульова гіпотеза не приймається, називають критичною областю.

Отже, А — область прийняття Н0,

 — критична область, де Н₀ відхиляється.

Точку або кілька точок, що поділяють множину W на підмножини А і , називають критичними і позначають через K_кр.

Існують три види критичних областей:

Якщо при K < K_кр нульова гіпотеза відхиляється, то в цьому разі ми маємо лівобічну критичну область, яку умовно можна зобразити .

Якщо при  нульова гіпотеза відхиляється, то в цьому разі маємо правобічну критичну область (рис. 2).

Якщо ж при  і при  нульова гіпотеза відхиляється, то маємо двобічну критичну область

Лівобічна і правобічна області визначаються однією критичною точкою, двобічна критична область — двома критичними точками, симетричними відносно нуля.

Загальний алгоритм перевірки
правильності нульової гіпотези

Для перевірки правильності Н0 задається так званий рівень значущості a.

a — це мала ймовірність, якою наперед задаються. Вона може набувати значення a = 0,005; 0,01; 0,001.

В основу перевірки Н0 покладено принцип , тобто ймовірність того, що статистичний критерій потрапляє в критичну область , дорівнює малій імовірності a. Якщо ж виявиться, що  а ця подія малоймовірна і все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу.

Пропонується такий алгоритм перевірки правильності Н0:

1. Сформулювати Н0 й одночасно альтернативну гіпотезу Нa.

2. Вибрати статистичний критерій, який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі.

3. Залежно від змісту нульової та альтернативної гіпотез будується правобічна, лівобічна або двобічна критична область, а саме:

нехай , тоді, якщо

, то вибирається правобічна критична область, якщо

, то вибирається лівобічна критична область і коли

, то вибирається двобічна критична область.

4. Для побудови критичної області (лівобічної, правобічної чи двобічної) необхідно знайти критичні точки. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості a знаходяться критичні точки.

5. За результатами вибірки обчислюється спостережуване значення критерію .

6. Відхиляють чи приймають нульову гіпотезу на підставі таких міркувань:

у разі, коли , а це є малоймовірною випадковою по-
дією,  і, незважаючи на це, вона відбулася, то в цьому разі Н0 відхиляється:

для лівобічної критичної області

;                                     

для правобічної критичної області

;                                     

для двобічної критичної області

або

,                  

ураховуючи ту обставину, що критичні точки  і  симетрично розташовані відносно нуля.

Помилки першого та другого роду.
Потужність критерію

Якою б не була малою величина a, потрапляння спостережуваного значення  у критичну область  ніколи не буде подією абсолютно неможливою. Тому не виключається той випадок, коли Н₀ буде правильною, а , а тому нульову гіпотезу буде відхилено.

Отже, при перевірці правильності Н₀ можуть бути допущені помилки. Розрізняють при цьому помилки першого і другого роду.

Якщо Н₀ є правильною, але її відхиляють на основі її перевірки, то буде допущена помилка першого роду.

Якщо Н₀ є неправильною, але її приймають, то в цьому разі буде допущена помилка другого роду.

Між помилками першого і другого роду існує тісний зв’язок.

Нехай, для прикладу, перевіряється . При великих обсягах вибірки n , як випадкова величина, закон розподілу ймовірностей якої асимптотично наближатиметься до нормального з числовими характеристиками:

, .

Тому, коли гіпотеза Н₀ є правдивою, . Цей розподіл має такий вигляд (рис. 4, крива f (x; a))

Коли альтернативна гіпотеза заперечує Н₀ і стверджує , то в цьому разі нормальна крива буде зміщена праворуч (на рис. 4 крива f (x; b)).

За вибраним рівнем значущості a визначається критична область (рис. 4).

Коли , то Н0 відхиляється з імовірністю помилки першого роду:

Коли , то Н0 не відхиляється, хоча може бути правильною альтернативна гіпотеза Нa.

Отже, в цьому разі припускаються помилки другого роду.

Імовірність цієї помилки, яку позначають символом b, може бути визначена на кривій f (x; b), а саме:

.                                       

Ця ймовірність на рис. 4 показана штрихуванням площі під кривою f (x; b), що міститься ліворуч K_кр.

Якщо з метою зменшення ризику відхилити правильну гіпотезу Н₀ зменшуватимемо значення a, то в цьому разі критична точка K_кр зміщуватиметься праворуч, що, у свою чергу, спричинює збільшення ймовірності помилки другого роду, тобто величини b.

Різницю  називають імовірністю обґрунтованого відхилення Н₀, або потужністю критерію.

Під час розв’язування практичних завдань може виникнути потреба вибору статистичного критерію з їх певної множини. У цьому разі вибирають той критерій, якому притаманна найбільша потужність.

Параметричні статистичні гіпотези

 Перевірка правильності нульової гіпотези про значення генеральної середньої

Для перевірки правильності , де «а» є певним числом, при заданому рівні значущості a насамперед необхідно вибрати статистичний критерій K.

Найзручнішим критерієм для цього типу задач є випадкова величина K = Z, що має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей N(0; 1), а саме:

.              

При розв’язуванні такого класу задач можливий один із трьох випадків:

1) при  — будується правобічна критична область;

2) при  — будується лівобічна критична область;

3) при  (тобто може бути , або ) — будується двобічна критична область.

Лівобічна і правобічна критичні області визначаються однією критичною точкою, двобічна — двома критичними точками, розташованими симетрично щодо нуля (у цьому разі потужність критерію буде максимальною), будуть рівними між собою за модулем і матимуть протилежні знаки.

Для побудови правобічної критичної області необхідно знайти критичну точку  за умови . Значення  обчислюємо з рівняння

.

, оскільки .

За таблицею значень функції Лапласа, скориставшись значенням , знаходимо аргумент .

Правобічна критична область зображена на.

Для побудови лівобічної критичної області необхідно знайти критичну точку , дотримуючись умови .

 у цьому випадку обчислюється з допомогою рівняння

.

Враховуючи ту обставину, що функція Лапласа  є непарною, за таблицею значень  знаходимо аргумент  і беремо його із знаком «мінус» . Лівобічна критична область зображена на рис. 6

Для двобічної критичної області необхідно знайти дві критичні точки ,  за умови

,   ,

де .

Отож, нам необхідно обчислити лише , скориставшись рівнянням

.                 

,

де  знаходимо за таблицею значень функції Лапласа.