Аналіз випадкових величин
Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну модель певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина — абстрактної моделі кількісної ознаки.
Дискретні та неперервні
випадкові величини.
Закони розподілу їх імовірностей
Розглянемо такий простір
елементарних подій, в якому кожній елементарній події 
Ώ відповідає
одне і лише одне число х або набір чисел 
, тобто на множині
Ώ визначена певна функція 
, яка кожній
елементарній події 
ставить у
відповідність певний елемент одновимірного простору R1 або n-вимірного простору
Rn.
Цю функцію називають
випадковою величиною. У разі, коли 
відображає множину
Ώ на одновимірний простір R1, випадкову величину називають одновимірною.
Якщо відображення здійснюється на Rn, то випадкову величину називають
n-вимірною (системою n випадкових величин або n-вимірним випадковим вектором).
Отже, величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю.
Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.
Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z, ... , а їх можливі значення — малими х; у; z, ... .
Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того чи іншого можливого значення.
З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.
Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в табличній формі або за допомогою ймовірнісного многокутника.
У разі табличної форми запису закону подається послідовність можливих значень випадкової величини Х, розміщених у порядку зростання, та відповідних їм імовірностей:
|
Х = хі |
х1 |
х2 |
х3 |
...... |
хk |
|
Р(Х = хі) = рі |
р1 |
р2 |
р3 |
..... |
рk |
Оскільки випадкові події
(Х = хj) і (Х = хm) є між собою несумісними ((Х = хі)
∩ (Х = хm) = Æ, і 
m; і, m = 1, 2,
…, k) і утворюють повну групу 
, то необхідною є
така умова:
Рівність називають умовою нормування для дискретної випадкової величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.
Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно.
Для цього візьмемо
систему координат рі О хі, відклавши на осі абсцис можливі значення
випадкової величини хі, а на осі ординат —
імовірності рі цих можливих значень. Точки з координатами (хі; рі) послідовно
сполучимо відрізками прямої. Утворену при цьому фігуру називають імовірнісним
многокутником.
Функція розподілу
ймовірностей
(інтегральна функція) та її властивості
Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію.
Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей:
F(x) = P(X < x)
Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х .
Наприклад, F(5) = P(X < 5) означає, що в результаті експерименту випадкова величина Х (дискретна чи неперервна) може набути значення, яке міститься ліворуч від х = 5.
Розглянемо властивості F(x):
1. 
Ця властивість випливає з означення функції розподілу.
2. 
є
неспадною функцією, а саме 
, якщо 
.
Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки:
1. Імовірність того, що
випадкова величина Х набуде можливого значення 
, дорівнює
приросту інтегральної функції F(x) на цьому проміжку:
2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулю:
Отже, для неперервної випадкової величини Х справджуються такі рівності:
3.
Якщо 
, виконуються
два подані далі співвідношення.
1)
Оскільки подія Х < – ¥ полягає в тому, що випадкова величина набуває значення, яке міститься ліворуч від – ¥. А така подія є неможливою (Æ).
2) 
Подія Х < 
полягає в тому, що випадкова величина Х набуває числового значення, яке
міститься ліворуч від + ¥. Ця подія є віро-
гідною (Ώ), оскільки будь-яке число X = x <.
Із цих двох співвідношень випливає висновок: якщо можливі значення випадкової величини Х належать обмеженому проміжку [а; b], то
Щільність
імовірностей (диференціальна функція)
f (x)
і її властивості
Для неперервних
випадкових величин закон розподілу ймовір-
ностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f
(x).
Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):
звідки 
Оскільки
то добуток
f (x) dx — ймовірність того, що випадкова величина Х міститиметься у
проміжку [х, х + dx], де 
.
Геометрично на графіку щільності ймовірності f (x) dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f (x).
Властивості f (x)
1. 
. Ця
властивість випливає з означення щільності ймовірності як першої похідної від F(x)
за умови, що F(x) є неспадною функцією.
2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:
Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на проміжку [a; b], то умова нормування має такий вигляд:
3. Імовірність
попадання неперервної випадкової величини в інтервалі 
обчислюється
за формулою
4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать лише інтервалу [а; b], то
Приклад . Закон розподілу неперервної випадкової величини Х такий:
Знайти f (x) і побудувати графіки
функцій f (x),
F(х). Обчислити
Р(0 < X < 2)
Розв’язання.
Графіки функцій F(x), f (x) зображено відповідно на рис. 5 і 6.
Імовірність події 0 < X < 2 обчислимо:
;
далі маємо
Числові характеристики випадкових
величин та їх властивості
Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.
Математичне сподівання
Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина
.
Якщо Ω — обмежена множина, то
.
Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина
.
Якщо Ω = (– ¥; ¥), то
.
Якщо Ω = [a; b], то
Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:
М (С) = С.
Справді,
сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка
дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.
2. М (СХ) = СМ (Х).
Для дискретної випадкової величини маємо
.
Для неперервної:
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
.
Для дискретної випадкової величини:
.
Для неперервної випадкової величини:
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
|
хі |
– 6 |
– 4 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
рі |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Обчислити М (Х).
Розв’язання.
Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання. Маємо:
Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.
Мода та медіана випадкової величини
Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
f (Mо) = max.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:
Отже, медіану визначають із рівняння.
Приклад 3. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.
Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.
Розв’язання.
Можливі значення випадкової величини:
Х = 0, 1, 2, 3.
Імовірності цих можливих значень такі:
p1 = (0,2)3 = 0,008;
p2 = 3р q2 = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;
p3 = 3p2q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;
p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.
Запишемо закон таблицею:
|
хі |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
рі |
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
Із таблиці визначаємо Мo = 3.
Отже, дістаємо одномодальний розподіл.
Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, . які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.
Приклад 4. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:
|
хі |
– 0,5 |
– 0,1 |
0,1 |
0,5 |
|
рі |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
|
уj |
– 100 |
– 80 |
– 10 |
10 |
10 |
80 |
|
pj |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
Обчислити М (Х) і М (Y).
Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))
Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,
.
Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини
.
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
;
для неперервної
.
Якщо Х Î [а; b],
то 
.
Властивості дисперсії
1. Якщо С — стала величина, то
.
Справді
.
2. 
.
Маємо:
3. Якщо А і В — сталі величини, то
.
Адже
Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:
Доведення.
Для дискретної випадкової величини Х
;
для неперервної
.
Якщо Х Î [а; b], то
Слід пам’ятати, що
дисперсія не може бути від’ємною величиною 
.
Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.
Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:
.
Приклад 5. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
|
хі |
– 4 |
– 2 |
1 |
2 |
4 |
6 |
|
рі |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
Обчислити D (X), s (X).
Початкові та центральні моменти
Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.
Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х k:
.
Коли 
коли
k = 2, 
і т. д.
Для дискретної випадкової величини Х
;
для неперервної
.
Якщо Х Î [а; b], то
.
Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))k:
Коли 
коли k = 2, 
;
коли k = 3, 
коли k = 4, 
.
Для дискретної випадкової величини
для неперервної
Якщо Х Î [а; b], то
.
Асиметрія і ексцес
Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо m3 = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М (Х). Оскільки m3 має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину - коефіцієнт асиметрії:
.
Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою
Зауважимо, що число 3 віднімається ось чому. Для центрального закону розподілу, так званого нормального закону, виконується рівність:
Отже, Еs
= 0.