АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ РЯДІВ

Генеральна та вибіркова сукупності.

Основним змістом математичної статистики є систематизація, обробка і використання статистичної інформації для виявлення статистичних закономірностей ознаки або ознак певної сукупності елементів.

Оскільки суцільна обробка всіх елементів сукупності практично неможлива, то, як правило, застосовується вибірковий метод. Отже, розрізняють генеральну і вибіркову сукупності.

Множина W однотипних елементів, яким притаманні певні кількісні ознаки (розміри, вага, маса тощо), утворює генеральну сукупність. Кількість усіх елементів генеральної сукупності називають її обсягом і позначають символом N, значення якого здебільшого невідоме.

Кожна непорожня підмножина А множини W (А Ì W) випадково вибраних елементів із генеральної сукупності називається вибіркою. Кількість усіх елементів вибірки називають її обсягом і позначають символом n. Його значення відоме, причому воно набагато менше за обсяг генеральної сукупності (n << N).

Математична статистика розв’язує дві категорії
задач:

1) статистичне оцінювання (точкове, інтервальне) параметрів генеральної сукупності;

2) перевірка правдивості статистичних гіпотез про значення параметрів генеральної сукупності або про закон розподілу ознаки генеральної сукупності на підставі обробки результатів вибірки.

Загальна інформація

Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х = х_і), які називають варіантою.

Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою n_i раз (n_i ³ 1 ), число n_i  називають частотою варіанти x_i.

При цьому

,                                      

де k — кількість варіант, що різняться числовим значенням;

n — обсяг вибірки.

Відношення частоти n_i варіанти x_i до обсягу вибірки n називають її відносною частотою і позначають через W_i , тобто

.                                      

Для кожної вибірки виконується рівність

.                                      

Якщо досліджується ознака генеральної сукупності Х, яка є неперервною, то варіант буде багато. У цьому разі варіаційний ряд — це певна кількість рівних або нерівних частинних інтервалів чи груп варіант зі своїми частотами.

Такі частинні інтервали варіант, які розміщені у зростаючій послідовності, утворюють інтервальний варіаційний ряд.

На практиці для зручності, як правило, розглядають інтервальні варіаційні ряди, у котрих інтервали є рівними між собою.

Дискретний статистичний розподіл вибірки
та її числові характеристики

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:

X = xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk
Wi	W1	W2	W3	…	Wk

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною функцією F ^*(x).

1. Емпірична функція F ^*(x) та її властивості. Функція аргументу х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто

,                        

називається емпіричною, або комулятою.

Тут n — обсяг вибірки;

n_x — кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких менше за фіксовану варіанту х;

F ^*(x) — називають ще функцією нагромадження відносних частот.

Властивості F ^*(x):

1) 0 £ F ^*(x) £ 1;

2) F(x_min) = 0, де x_min є найменшою варіантою варіаційного ряду;

3) , де x_max є найбільшою варіантою варіаційного ряду;

4) F(x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x₂) ³ F(x₁) при x₂ ³ x₁.

2. Полігон частот і відносних частот. Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i; n_i), або (x_i; W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

3. Числові характеристики:

1) вибіркова середня величина . Величину, яка визначається формулою

,                              

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного розподілу вибірки.

Тут x_i — варіанта варіаційного ряду вибірки;

n_i — частота цієї варіанти;

n — обсяг вибірки ().

Якщо всі варіанти з’являються у вибірці лише по одному разу, тобто n_i = 1, то

;                                       

2) відхилення варіант. Різницю ()n_i називають відхиленням варіант.

При цьому

.

Отже, сума відхилень усіх варіант варіаційного ряду вибірки завжди дорівнює нулеві;

3) мода (Mo^*). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди — двомодальним і т. д.;

4) медіана (Me^*). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант;

5) дисперсія. Для вимірювання розсіювання варіант вибірки відносно  вибирається дисперсія.

Дисперсія вибірки — це середнє арифметичне квадратів відхилень варіант відносно , яке обчислюється за формулою

або

;                          

6) середнє квадратичне відхилення вибірки s_B. При обчисленні D_B відхилення підноситься до квадрата, а отже, змінюється одиниця виміру ознаки Х, тому на основі дисперсії вводиться середнє квадратичне відхилення

,                                

яке вимірює розсіювання варіант вибірки відносно , але в тих самих одиницях, в яких вимірюється ознака Х;

7) розмах (R). Для грубого оцінювання розсіювання варіант відносно  застосовується величина, яка дорівнює різниці між найбільшою x_max і найменшою x_min варіантами варіаційного ряду. Ця величина називається розмахом

;                             

8) коефіцієнт варіації V. Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів із різними значеннями , які не дорівнюють нулеві, вводиться коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою

.                              

Статистичні оцінки параметрів
        генеральної сукупності .

Загальна інформація.

Інформація, яку дістали на основі обробки вибірки про ознаку генеральної сукупності, завжди міститиме певні похибки, оскільки вибірка становить лише незначну частину від неї (n < N), тобто обсяг вибірки значно менший від обсягу генеральної сукупності.

Тому слід організувати вибірку так, щоб ця інформація була найбільш повною (вибірка має бути репрезентативною) і забезпечувала з найбільшим ступенем довіри про параметри генеральної сукупності або закон розподілу її ознаки.

Параметри генеральної сукупності  Ме,  є величинами сталими, але їх числове значення невідоме. Ці параметри оцінюються параметрами вибірки:  які дістають при обробці вибірки. Вони є величинами непередбачуваними, тобто випадковими. Схематично це можна показати так (рис. 1).

Тут через θ позначено оцінювальний параметр генеральної сукупності, а через  — його статистичну оцінку, яку називають ще статистикою. При цьому θ = const, а  — випадкова величина, що має певний закон розподілу ймовірностей. Зауважимо, що до реалізації вибірки кожну її варіанту розглядають як випадкову величину, що має закон розподілу ймовірностей ознаки генеральної сукупності з відповідними числовими характеристиками:

Точкові статистичні оцінки параметрів
генеральної сукупності

Статистична оцінка  яка визначається одним числом, точкою, називається точковою. Беручи до уваги, що  є випадковою величиною, точкова статистична оцінка може бути зміщеною і незміщеною: коли математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру θ, а саме:

то  називається незміщеною; в противному разі, тобто коли

точкова статистична оцінка  називається зміщеною відносно параметра генеральної сукупності θ.

Різниця

називається зміщенням статстичної оцінки

Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених статистичних оцінок, що можна зобразити так

Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію.

Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки  наближається до оцінювального параметра θ, а саме:

Методи визначення точкових
статистичних оцінок

Існують три методи визначення точкових статистичних оцінок для параметрів генеральної сукупності.

Метод аналогій. Цей метод базується на тому, що для параметрів генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки, тобто для оцінки  вибирають аналогічні статистики —

Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від статистичної оцінки

Отож, використовуючи метод найменших квадратів, можна, наприклад, визначити статистичну оцінку для . Для цього скористаємося функцією  Використовуючи умову екстремуму, дістанемо:

Звідси для  точковою статистичною оцінкою буде  — вибіркова середня.

Метод максимальної правдоподібності. Цей метод посідає центральне місце в теорії статистичного оцінювання параметрів q. На нього свого часу звертав увагу К. Гаусс, а розробив його Р. Фішер. Цей метод розглянемо докладніше.

Нехай ознака генеральної сукупності Х визначається лише одним параметром θ і має щільність імовірностей f(x; θ). У разі реалізації вибірки з варіантами  щільність імовірностей вибірки буде такою:

При цьому варіанти розглядаються як незалежні випадкові величини, котрі мають один і той самий закон розподілу, що й ознака генеральної сукупності Х.

Суть цього методу полягає в тому, що, фіксуючи значення варіант , визначають таке значення параметра  при якому функція (1) максимізується. Вона називається функцією максимальної правдоподібності і позначається так: .

Наприклад, коли ознака генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу, то функція максимальної правдоподібності набере такого вигляду:

.              

При цьому за статистичні оцінки  вибирають ті їх значення, за яких задана вибірка буде найімовірнішою.

      На практиці зручно від функції (2) перейти до її логарифма, а саме:

Згідно з необхідною умовою екстремуму для цієї функції дістанемо:

З першого рівняння системи  дістанемо:

з другого рівняння системи маємо:

Отже, для  точковою статистичною оцінкою є  для .

Виправлена дисперсія, виправлене середнє квадратичне відхилення.

Точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є

 буде точковою незміщеною статистичною оцінкою для . Її назвали виправленою дисперсією і позначили через

Звідси точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є виправлена дисперсія  або

Величину

називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.                            

Приклад. Граничне навантаження на сталевий болт х_і, що вимірювалось в лабораторних умовах, задано як інтервальний статистичний розподіл:

хі, км/мм^2	4,5—5,5	5,5—6,5	6,5—7,5	7,5—8,5	8,5—9,5	9,5—10,5	10,5—11,5	11,5—12,5	12,5—13,5	13,5—14,5
ni	40	32	28	24	20	18	16	12	8	4

Визначити точкові незміщені статистичні оцінки для .

Розв’язання. Для визначення точкових незміщених статистичних оцінок  перейдемо від інтервального статистичного розподілу до дискретного, який набирає такого вигляду:

	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
ni	40	32	28	24	20	18	16	12	8	4

Обчислимо

Отже, точкова незміщена статистична оцінка для

Для визначення S² обчислимо D_B:

.

Звідси точкова незміщена статистична оцінка для  є

Інтервальні статистичні оцінки
для параметрів генеральної сукупності

Точкові статистичні оцінки  є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на  часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.

Різниця між статистичною оцінкою  та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:

де δ є точністю оцінки.

Оскільки  є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність справджуватиметься з певною ймовірністю.

Імовірність, з якою береться нерівність , тобто

,                      

називають надійністю.

Рівність можна записати так:

.                  

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ генеральної сукупності з заданою надійністю g, називають довірчим.

Побудова довірчого інтервалу
для  при відомому значенні
із заданою надійністю  g

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності  із заданою надійністю γ. Оскільки  як точкова незміщена статистична оцінка для  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , то, скориставшись дістанемо

.                           

Випадкова величина  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

Згідно з формулою нормованого нормального закону

Вона набирає такого вигляду:

З рівності  знаходимо аргументи х, а саме:

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею .

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

,                   

Величина  називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

Приклад. Якого значення має набувати надійність оцінки γ, щоб за обсягу вибірки n = 100 похибка її не перевищувала 0,01 при .

Розв’язання. Позначимо похибку вибірки

Далі маємо:

Як бачимо, надійність мала.

Приклад. Визначити обсяг вибірки n, за якого похибка  гарантується з імовірністю 0,999, якщо .

Розв’язання. За умовою задачі  Оскільки  то дістанемо:  Величину х знаходимо з рівності  Тоді

Побудова довірчого інтервалу
для  при невідомому значенні
із заданою надійністю g

Для малих вибірок, з якими стикаємося, досліджуючи різні ознаки в техніці чи сільському господарстві, для оцінювання  при невідомому значенні  неможливо скористатися нормальним законом розподілу. Тому для побудови довірчого інтервалу застосовується випадкова величина

що має розподіл Стьюдента з  ступенями свободи.

Тоді набирає такого вигляду:

оскільки  для розподілу Стьюдента є функцією парною.

Обчисливши за даним статистичним розподілом , S і визначивши за таблицею розподілу Стьюдента значення , будуємо довірчий інтервал

Тут  обчислюємо за заданою надійністю γ і числом ступенів свободи  за таблицею .

Числові характеристики:

1) вибіркова середня величина . Величину, яка визначається формулою

,                              

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного розподілу вибірки.

Тут x_i — варіанта варіаційного ряду вибірки;

n_i — частота цієї варіанти;

n — обсяг вибірки ().

Якщо всі варіанти з’являються у вибірці лише по одному разу, тобто n_i = 1, то

;                                       

2) відхилення варіант. Різницю ()n_i називають відхиленням варіант.

При цьому

.

Отже, сума відхилень усіх варіант варіаційного ряду вибірки завжди дорівнює нулеві;

3) мода (Mo^*). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди — двомодальним і т. д.;

4) медіана (Me^*). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант;

5) дисперсія. Для вимірювання розсіювання варіант вибірки відносно  вибирається дисперсія.

Дисперсія вибірки — це середнє арифметичне квадратів відхилень варіант відносно , яке обчислюється за формулою

або

;                          

6) середнє квадратичне відхилення вибірки s_B. При обчисленні D_B відхилення підноситься до квадрата, а отже, змінюється одиниця виміру ознаки Х, тому на основі дисперсії вводиться середнє квадратичне відхилення

,                                

яке вимірює розсіювання варіант вибірки відносно , але в тих самих одиницях, в яких вимірюється ознака Х;

7) розмах (R). Для грубого оцінювання розсіювання варіант відносно  застосовується величина, яка дорівнює різниці між найбільшою x_max і найменшою x_min варіантами варіаційного ряду. Ця величина називається розмахом

;                             

8) коефіцієнт варіації V. Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів із різними значеннями , які не дорівнюють нулеві, вводиться коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою

.                              

Статистичні оцінки параметрів
        генеральної сукупності .

Загальна інформація.

Інформація, яку дістали на основі обробки вибірки про ознаку генеральної сукупності, завжди міститиме певні похибки, оскільки вибірка становить лише незначну частину від неї (n < N), тобто обсяг вибірки значно менший від обсягу генеральної сукупності.

Тому слід організувати вибірку так, щоб ця інформація була найбільш повною (вибірка має бути репрезентативною) і забезпечувала з найбільшим ступенем довіри про параметри генеральної сукупності або закон розподілу її ознаки.

Параметри генеральної сукупності  Ме,  є величинами сталими, але їх числове значення невідоме. Ці параметри оцінюються параметрами вибірки:  які дістають при обробці вибірки. Вони є величинами непередбачуваними, тобто випадковими. Схематично це можна показати так (рис. 1).

Тут через θ позначено оцінювальний параметр генеральної сукупності, а через  — його статистичну оцінку, яку називають ще статистикою. При цьому θ = const, а  — випадкова величина, що має певний закон розподілу ймовірностей. Зауважимо, що до реалізації вибірки кожну її варіанту розглядають як випадкову величину, що має закон розподілу ймовірностей ознаки генеральної сукупності з відповідними числовими характеристиками:

Точкові статистичні оцінки параметрів
генеральної сукупності

Статистична оцінка  яка визначається одним числом, точкою, називається точковою. Беручи до уваги, що  є випадковою величиною, точкова статистична оцінка може бути зміщеною і незміщеною: коли математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру θ, а саме:

то  називається незміщеною; в противному разі, тобто коли

точкова статистична оцінка  називається зміщеною відносно параметра генеральної сукупності θ.

Різниця

називається зміщенням статстичної оцінки

Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених статистичних оцінок, що можна зобразити так

Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію.

Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки  наближається до оцінювального параметра θ, а саме:

Методи визначення точкових
статистичних оцінок

Існують три методи визначення точкових статистичних оцінок для параметрів генеральної сукупності.

Метод аналогій. Цей метод базується на тому, що для параметрів генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки, тобто для оцінки  вибирають аналогічні статистики —

Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від статистичної оцінки

Отож, використовуючи метод найменших квадратів, можна, наприклад, визначити статистичну оцінку для . Для цього скористаємося функцією  Використовуючи умову екстремуму, дістанемо:

Звідси для  точковою статистичною оцінкою буде  — вибіркова середня.

Метод максимальної правдоподібності. Цей метод посідає центральне місце в теорії статистичного оцінювання параметрів q. На нього свого часу звертав увагу К. Гаусс, а розробив його Р. Фішер. Цей метод розглянемо докладніше.

Нехай ознака генеральної сукупності Х визначається лише одним параметром θ і має щільність імовірностей f(x; θ). У разі реалізації вибірки з варіантами  щільність імовірностей вибірки буде такою:

При цьому варіанти розглядаються як незалежні випадкові величини, котрі мають один і той самий закон розподілу, що й ознака генеральної сукупності Х.

Суть цього методу полягає в тому, що, фіксуючи значення варіант , визначають таке значення параметра  при якому функція (1) максимізується. Вона називається функцією максимальної правдоподібності і позначається так: .

Наприклад, коли ознака генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу, то функція максимальної правдоподібності набере такого вигляду:

.              

При цьому за статистичні оцінки  вибирають ті їх значення, за яких задана вибірка буде найімовірнішою.

      На практиці зручно від функції (2) перейти до її логарифма, а саме:

Згідно з необхідною умовою екстремуму для цієї функції дістанемо:

З першого рівняння системи  дістанемо:

з другого рівняння системи маємо:

Отже, для  точковою статистичною оцінкою є  для .

Виправлена дисперсія, виправлене середнє квадратичне відхилення.

Точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є

 буде точковою незміщеною статистичною оцінкою для . Її назвали виправленою дисперсією і позначили через

Звідси точковою незміщеною статистичною оцінкою для  є виправлена дисперсія  або

Величину

називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.                            

Приклад. Граничне навантаження на сталевий болт х_і, що вимірювалось в лабораторних умовах, задано як інтервальний статистичний розподіл:

хі, км/мм^2	4,5—5,5	5,5—6,5	6,5—7,5	7,5—8,5	8,5—9,5	9,5—10,5	10,5—11,5	11,5—12,5	12,5—13,5	13,5—14,5
ni	40	32	28	24	20	18	16	12	8	4

Визначити точкові незміщені статистичні оцінки для .

Розв’язання. Для визначення точкових незміщених статистичних оцінок  перейдемо від інтервального статистичного розподілу до дискретного, який набирає такого вигляду:

	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
ni	40	32	28	24	20	18	16	12	8	4

Обчислимо

Отже, точкова незміщена статистична оцінка для

Для визначення S² обчислимо D_B:

.

Звідси точкова незміщена статистична оцінка для  є

Інтервальні статистичні оцінки
для параметрів генеральної сукупності

Точкові статистичні оцінки  є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на  часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.

Різниця між статистичною оцінкою  та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:

де δ є точністю оцінки.

Оскільки  є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність справджуватиметься з певною ймовірністю.

Імовірність, з якою береться нерівність , тобто

,                      

називають надійністю.

Рівність можна записати так:

.                  

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ генеральної сукупності з заданою надійністю g, називають довірчим.

Побудова довірчого інтервалу
для  при відомому значенні
із заданою надійністю  g

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності  із заданою надійністю γ. Оскільки  як точкова незміщена статистична оцінка для  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , то, скориставшись дістанемо

.                           

Випадкова величина  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

Згідно з формулою нормованого нормального закону

Вона набирає такого вигляду:

З рівності  знаходимо аргументи х, а саме:

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею .

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

,                   

Величина  називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

Приклад. Якого значення має набувати надійність оцінки γ, щоб за обсягу вибірки n = 100 похибка її не перевищувала 0,01 при .

Розв’язання. Позначимо похибку вибірки

Далі маємо:

Як бачимо, надійність мала.

Приклад. Визначити обсяг вибірки n, за якого похибка  гарантується з імовірністю 0,999, якщо .

Розв’язання. За умовою задачі  Оскільки  то дістанемо:  Величину х знаходимо з рівності  Тоді

Побудова довірчого інтервалу
для  при невідомому значенні
із заданою надійністю g

Для малих вибірок, з якими стикаємося, досліджуючи різні ознаки в техніці чи сільському господарстві, для оцінювання  при невідомому значенні  неможливо скористатися нормальним законом розподілу. Тому для побудови довірчого інтервалу застосовується випадкова величина

що має розподіл Стьюдента з  ступенями свободи.

Тоді набирає такого вигляду:

оскільки  для розподілу Стьюдента є функцією парною.

Обчисливши за даним статистичним розподілом , S і визначивши за таблицею розподілу Стьюдента значення , будуємо довірчий інтервал

Тут  обчислюємо за заданою надійністю γ і числом ступенів свободи  за таблицею .