Статистична перевірка гіпотез.

Статистичні рішення

Інформація, яку дістають на підставі вибірки, реалізованої із генеральної сукупності, може бути використана для формулювання певних суджень про всю генеральну сукупність.

Наприклад, розпочавши  виготовляти покришки нового типу для автомобілів, відбирають певну кількість цих покришок і піддають їх певним тестам.

За результатами тестів можна зробити висновок про те, чи кращі нові покришки від покришок старого типу, чи ні. А це, у свою чергу, дає підставу для прийняття рішення: виготовляти їх чи ні.

Такі рішення називають статистичними.

Статистичні рішення мають імовірнісний характер, тобто завжди існує ймовірність того, що прийняті рішення будуть помилковими.

Головна цінність прийняття статистичних рішень полягає в тому, що в межах імовірнісних категорій можна об’єктивно виміряти ступінь ризику, що відповідає тому чи іншому рішенню.

Будь-які статистичні висновки, здобуті на підставі обробки вибірки, називають статистичними гіпотезами.

Параметричні і непараметричні статистичні гіпотези

Статистичні гіпотези про значення параметрів ознак генеральної сукупності називають параметричними.

Наприклад, висувається статистична гіпотеза про числові значення генеральної середньої , генеральної дисперсії DГ, генерального середнього квадратичного відхилення sГ та ін.

Статистичні гіпотези, що висуваються на підставі обробки вибірки про закон розподілу ознаки генеральної сукупності, називаються непараметричними.

 Наприклад, на підставі обробки вибірки може бути висунута гіпотеза, що ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу, експоненціальний закон та ін.

Нульова й альтернативна гіпотези

Гіпотезу, що підлягає перевірці, називають основною. Оскільки ця гіпотеза припускає відсутність систематичних розбіжностей (нульові розбіжності) між невідомим параметром генеральної сукупності і величиною, що одержана внаслідок обробки вибірки, то її називають нульовою гіпотезою і позначають Н0.

Зміст нульової гіпотези записується так:

;

;

.

Кожній нульовій гіпотезі можна протиставити кілька альтернативних (конкуруючих) гіпотез, які позначають символом Нa, що заперечують твердження нульової.

Наприклад, нульова гіпотеза стверджує: , а альтернативна гіпотеза — , тобто заперечує твердження нульової.

Прості і складні статистичні гіпотези

Проста гіпотеза, як правило, належить до параметра ознак генеральної сукупності і є однозначною.

Наприклад, згідно з простою гіпотезою параметр генеральної сукупності дорівнює конкретному числу, а саме:

;

.

Складна статистична гіпотеза є неоднозначною. Вона може стверджувати, що значення параметра генеральної сукупності належить певній області ймовірних значень, яка може бути дискретною і неперервною.

Наприклад:

   або   .

Нульова гіпотеза може стверджувати як про значення одного параметра генеральної сукупності, так і про значення кількох параметрів, а також про закон розподілу ознаки генеральної сукупності.

Статистичний критерій. Емпіричне значення критерію

Для перевірки правильності висунутої статистичної гіпотези вибирають так званий статистичний критерій, керуючись яким відхиляють або не відхиляють нульову гіпотезу. Статистичний критерій, котрий умовно позначають через K, є випадковою величиною, закон розподілу ймовірностей якої нам заздалегідь відомий.

Наприклад, для перевірки правильності  як статистичний критерій K можна взяти випадкову величину, яку позначають через K = Z, що дорівнює

,        

і яка має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей. При великих обсягах вибірки (n > 30) закони розподілу статистичних критеріїв наближатимуться до нормального.

Спостережуване значення критерію, який позначають через K*, обчислюють за результатом вибірки.

Область прийняття гіпотези. Критична область. Критична точка

Множину W всіх можливих значень статистичного критерію K можна поділити на дві підмножини А і , які не перетинаються.

.

Сукупність значень статистичного критерію K Î А, за яких нульова гіпотеза не відхиляється, називають областю прийняття нульової гіпотези.

Сукупність значень статистичного критерію K Î , за яких нульова гіпотеза не приймається, називають критичною областю.

Отже, А — область прийняття Н0,

 — критична область, де Н0 відхиляється.

Точку або кілька точок, що поділяють множину W на підмножини А і , називають критичними і позначають через Kкр.

Існують три види критичних областей:

Якщо при K < Kкр нульова гіпотеза відхиляється, то в цьому разі ми маємо лівобічну критичну область.

Якщо при  нульова гіпотеза відхиляється, то в цьому разі маємо правобічну критичну область.

      Якщо ж при  і при  нульова гіпотеза відхиляється, то маємо двобічну критичну область.

Лівобічна і правобічна області визначаються однією критичною точкою, двобічна критична область — двома критичними точками, симетричними відносно нуля.

Загальний алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези

Для перевірки правильності Н0 задається так званий рівень значущості a.

a — це мала ймовірність, якою наперед задаються. Вона може набувати значення a = 0,005; 0,01; 0,001.

В основу перевірки Н0 покладено принцип , тобто ймовірність того, що статистичний критерій потрапляє в критичну область , дорівнює малій імовірності a. Якщо ж виявиться, що  а ця подія малоймовірна і все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу.

Пропонується такий алгоритм перевірки правильності Н0:

1. Сформулювати Н0 й одночасно альтернативну гіпотезу Нa.

2. Вибрати статистичний критерій, який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі.

3. Залежно від змісту нульової та альтернативної гіпотез будується правобічна, лівобічна або двобічна критична область, а саме:

нехай , тоді, якщо

, то вибирається правобічна критична область, якщо

, то вибирається лівобічна критична область і коли

, то вибирається двобічна критична область.

4. Для побудови критичної області (лівобічної, правобічної чи двобічної) необхідно знайти критичні точки. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості a знаходяться критичні точки.

5. За результатами вибірки обчислюється спостережуване значення критерію .

6. Відхиляють чи приймають нульову гіпотезу на підставі таких міркувань:

у разі, коли , а це є малоймовірною випадковою по-
дією,  і, незважаючи на це, вона відбулася, то в цьому разі Н0 відхиляється:

для лівобічної критичної області

; 

для правобічної критичної області

; 

для двобічної критичної області

або

,  

ураховуючи ту обставину, що критичні точки  і  симетрично розташовані відносно нуля.

Помилки першого та другого роду. Потужність критерію

Якою б не була малою величина a, потрапляння спостережуваного значення  у критичну область  ніколи не буде подією абсолютно неможливою. Тому не виключається той випадок, коли Н0 буде правильною, а , а тому нульову гіпотезу буде відхилено.

Отже, при перевірці правильності Н0 можуть бути допущені помилки. Розрізняють при цьому помилки першого і другого роду.

Якщо Н0 є правильною, але її відхиляють на основі її перевірки, то буде допущена помилка першого роду.

Якщо Н0 є неправильною, але її приймають, то в цьому разі буде допущена помилка другого роду.

Між помилками першого і другого роду існує тісний зв’язок.

Нехай, для прикладу, перевіряється . При великих обсягах вибірки n , як випадкова величина, закон розподілу ймовірностей якої асимптотично наближатиметься до нормального з числовими характеристиками:

, .

Тому, коли гіпотеза Н0 є правдивою, .

Коли альтернативна гіпотеза заперечує Н0 і стверджує , то в цьому разі нормальна крива буде зміщена праворуч (на рис. 4 крива f (x; b)).

За вибраним рівнем значущості a визначається критична область (рис. 4).

Коли , то Н0 відхиляється з імовірністю помилки першого роду:

Коли , то Н0 не відхиляється, хоча може бути правильною альтернативна гіпотеза Нa.

Отже, в цьому разі припускаються помилки другого роду.

Імовірність цієї помилки, яку позначають символом b, може бути визначена на кривій f (x; b), а саме:

.   

Ця ймовірність на рис. 4 показана штрихуванням площі під кривою f (x; b), що міститься ліворуч Kкр.

Якщо з метою зменшення ризику відхилити правильну гіпотезу Н0 зменшуватимемо значення a, то в цьому разі критична точка Kкр зміщуватиметься праворуч, що, у свою чергу, спричинює збільшення ймовірності помилки другого роду, тобто величини b.

Різницю  називають імовірністю обґрунтованого відхилення Н0, або потужністю критерію.

Під час розв’язування практичних завдань може виникнути потреба вибору статистичного критерію з їх певної множини. У цьому разі вибирають той критерій, якому притаманна найбільша потужність.

Параметричні статистичні гіпотези

Перевірка правильності нульової гіпотези про значення генеральної середньої

Для перевірки правильності , де «а» є певним числом, при заданому рівні значущості a насамперед необхідно вибрати статистичний критерій K.

Найзручнішим критерієм для цього типу задач є випадкова величина K = Z, що має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей N(0; 1), а саме:

.        

При розв’язуванні такого класу задач можливий один із трьох випадків:

при  — будується правобічна критична область;

2) при  — будується лівобічна критична область;

3) при  (тобто може бути , або ) — будується двобічна критична область.

Лівобічна і правобічна критичні області визначаються однією критичною точкою, двобічна — двома критичними точками, розташованими симетрично щодо нуля (у цьому разі потужність критерію буде максимальною), будуть рівними між собою за модулем і матимуть протилежні знаки.

Для побудови правобічної критичної області необхідно знайти критичну точку  за умови . Значення  обчислюємо з рівняння

.    

, оскільки .

За таблицею значень функції Лапласа, скориставшись значенням , знаходимо аргумент .

Для побудови лівобічної критичної області необхідно знайти критичну точку , дотримуючись умови .

 у цьому випадку обчислюється з допомогою рівняння

.

Враховуючи ту обставину, що функція Лапласа  є непарною, за таблицею значень  знаходимо аргумент  і беремо його із знаком «мінус» .

Для двобічної критичної області необхідно знайти дві критичні точки ,  за умови

,   ,

де .

Отож, нам необхідно обчислити лише , скориставшись рівнянням

.    

,

де  знаходимо за таблицею значень функції Лапласа.

Розглянутий метод побудови критичних областей придатний лише за умови, коли відоме значення середнього квадратичного відхилення  ознаки генеральної сукупності. При цьому спостережуване значення критерію обчислюється так:

.        

У випадку, коли значення  є невідомим, його замінюють статистичною оцінкою

.

Тоді за статистичний критерій вибирається випадкова величина K = t, що має розподіл Стьюдента з k = n – 1 ступенями свободи, а саме:

.

Критичні точки у цьому разі визначаються за таблицею (додаток 6) заданим рівнем значущості a та числом ступенів свободи k = n – 1. Спостережуване значення критерію обчислюється за формулою

.

Побудова довірчого інтервалу  для  при відомому значенні  із заданою надійністю  g

      Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності  із заданою надійністю γ. Оскільки  як точкова незміщена статистична оцінка для  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , дістанемо

. 

      Випадкова величина  має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

Згідно з формулою нормованого нормального закону

Вона набирає такого вигляду:

З рівності (419) знаходимо аргументи х, а саме:

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею .

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

,        

Величина  називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

Приклад. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю  побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює .

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , n, x.

З умови задачі маємо:  Величина х обчислюється з рівняння

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

Таким чином, маємо:

.

      Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) оцінюваний параметр  перебуває усередині інтервалу [14,87; 15,13].

Приклад. Маємо такі дані про розміри основних фондів
(у млн грн.) на 30-ти випадково вибраних підприємствах:

4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,1; 5,8; 4,0;

2,8; 7,8; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7,; 6,8;

9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.

      Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку h = 2 млн грн.

      З надійністю  знайти довірчий інтервал для , якщо  = 5 млн грн.

Розв’язання. Інтервальний статистичний розподіл буде таким:

h = 2 млн грн.	2—4	4—6	6—8	8—10
ni	9	7	10	4

Для визначення  необхідно побудувати дискретний статистичний розподіл, що має такий вигляд:

	3	5	7	9
ni	9	7	10	4

.

Тоді

      Для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю  необхідно знайти х:

Обчислюємо кінці інтервалу:

Отже, довірчий інтервал для  буде .

Приклад. Визначити обсяг вибірки n, за якого похибка  гарантується з імовірністю 0,999, якщо .

Розв’язання. За умовою задачі  Оскільки  то дістанемо:  Величину х знаходимо з рівності  Тоді

Побудова довірчого інтервалу  для  при невідомому значенні  із заданою   надійністю g

      Для малих вибірок, з якими стикаємося, досліджуючи різні ознаки в техніці чи сільському господарстві, для оцінювання  при невідомому значенні  неможливо скористатися нормальним законом розподілу. Тому для побудови довірчого інтервалу застосовується випадкова величина

що має розподіл Стьюдента з  ступенями свободи.

Тоді набирає такого вигляду:

оскільки  для розподілу Стьюдента є функцією парною.

      Обчисливши за даним статистичним розподілом , S і визначивши за таблицею розподілу Стьюдента значення , будуємо довірчий інтервал