June 27, 2024

Дифференцирование функций. Применение производной и дифференциала

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки и протекание тока в электрической цепи и изучим связанные с ними понятия.

I Прямолинейное движение материальной точки (задача о мгновенной скорости)

Пусть материальная точка движется по прямой линии. На этой прямой выберем определенное направление, начало отсчета (точку ) и единицу масштаба (рис. 1).

Рис. 1

Каждому моменту времени соответствует путь , пройденный точкой от точки отсчета за время , то есть путь есть функция от времени

Эта формула называется законом движения точки .

Из всех движений материальной точки простейшим является равномерное движение по прямой (из курса физики известно, что прямолинейное движение точки называется равномерным, если точка за любые равные по длительности промежутки времени проходит равные пути).

Скоростью прямолинейного равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени.

Из сказанного видно, что при равномерном движении скорость движения постоянна.

На практике автомобили, поезда, самолеты равномерно движутся лишь на некоторых участках пути, а в общем случае их движение неравномерное.

При неравномерном движении точка за разные, но равные по длительности, промежутки времени может проходить разные пути. Следовательно, неравномерное движение нельзя полностью охарактеризовать указанием пути, пройденного точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому для характеристики неравномерного движения точки используется понятие средней скорости.

Пусть материальная точка движется по закону (см. рис. 1). Если и , то средней скоростью движения за промежуток времени от момента до момента называется число

Рассмотрим свободное падение тел, которое происходит по закону , где – ускорение свободного падающего тела ( м/с²), – время (в секундах), – путь (в метрах). Вычислим путь, пройденный телом за первую секунду, то есть за промежуток времени от момента с до с.

м.

Следовательно, средняя скорость движения тела за первую секунду равна (м/с).

Вычислим теперь путь, пройденный телом за десятую секунду, то есть за промежуток времени от момента с до с

м.

Следовательно, средняя скорость движения тела за десятую секунду равна м/с.

Таким образом, свободное падение тел есть движение неравномерное, так как за разные, но равные по длительности, промежутки времени тело проходит различные пути. Заметим, что и средние скорости у свободно падающего тела за разные, но равные по длительности промежутки времени (например, от с до с и от с до с) различны.

Найдем теперь среднюю скорость свободно падающего тела за промежуток времени от начала падения, то есть от с до момента с

м/с.

Сравнивая средние скорости видим, что средняя скорость для всего промежутка времени от с до с отлична от средних скоростей для первой и последней секунды из указанного промежутка времени.

Получили, что если точка движется неравномерно, то, зная среднюю скорость для некоторого промежутка времени, невозможно установить скорость в какой-либо момент времени из этого промежутка. А это значит, что средняя скорость не может полностью характеризовать неравномерное движение, поэтому для его характеристики вводят понятие мгновенной скорости.

Пусть точка движется по закону . Тогда за промежуток времени длительности точка проходит путь, равный , со средней скоростью

Очевидно, что средняя скорость тем полнее характеризует движение за промежутки времени от до , чем меньше длительность этого промежутка.

Предел средней скорости за промежуток времени от до при , стремящемся к , называется мгновенной скоростью в момент времени , то есть

Пример: Найдем мгновенную скорость в момент времени свободного падения тела.

Решение: Так как свободное падение тела происходит по закону , то мгновенная скорость равна:

То есть при свободном падении тело движется со скоростью

II Протекание тока в электрической цепи (задача о мгновенной величине тока)

Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через количество электричества (в кулонах), протекающего через поперечное сечение проводника за время . Тогда есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента до момента

Средней силой тока за указанный промежуток времени называется число

В случае постоянного тока средняя сила тока будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Если же в цепи протекает переменный ток, то будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков времени.

Поэтому для характеристики цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени:

Мгновенной силой тока в момент времени называется предел (если он существует), к которому стремится средняя сила тока за промежуток времени от до при , стремящемся к , то есть

2 Понятие производной функции

В параграфе 1 шла речь о мгновенной скорости движения и о мгновенной силе тока. Введение этих понятий происходило с помощью некоторого предела. Можно привести еще не мало задач, для которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например нахождение теплоемкости тела при нагревании, угловой скорости вращающегося тела и др.

I Рассмотрим функцию f(x), xÎ[a;b]

Возьмем произвольную точку . Тогда для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается , то есть . Разность называется приращением функции в точке и обозначается (или , или ), то есть

Рис. 2

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует, то есть

Производная функции в точках обозначается: или (читается: «эф штрих от икс 0» или «игрек штрих»).

Итак, по определению получим, что

Часто для обозначения производной используется символ или (читается «де эф по де икс» или «де игрек по де икс»).

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.

II Вычисление производной на основе ее определения

Исходя из определения производной, сформулируем правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции в точке нужно:

1. Найти разность ;

2. Найти отношение ;

3. Найти предел этого отношения при

Пример 1: Найти производную функции .

Решение:

1) Находим разность: .

2) Находим отношение: .

3) Находим предел: .

Получили, что .

Вывод: Производная постоянной равно нулю.

Пример 2: Найти производную функции .

Решение:

1) Находим разность: .

2) Находим отношение: .

3) Находим предел: .

Получили, что .

Пример 3: Найти производную функции .

Решение:

1) Находим разность:

2) Находим отношение:

3) Находим предел:

Таким образом . Так как функция имеет производную в любой точке , то будем писать .

III Непрерывность дифференцируемой функции

Установим необходимое условие существования производной.

Теорема:

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Любому значению , взятому из области определения функции , соответствует приращение аргумента и некоторое приращение функции . Рассмотрим тождество:

Переходя к пределу при в этом тождестве, получаем:

Следовательно, , что и означает непрерывность функции в .

Замечание: Из доказанной теоремы следует, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной, то есть непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Однако, следует заметить, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, то есть из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Пример: Функция непрерывна в любой точке числовой оси, в том числе и в точке (рис. 3)

Рис. 3

Однако в точке данная функция не имеет производной. В самом деле: Отсюда следует, что предел не существует (так как, если предел существует, то только один) и, следовательно, не существует производной функции в точке .

Таким образом, существует функции, всюду непрерывные, но не имеющие производных в некоторых точках.

3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Теорема 1

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , то производная их алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных, то есть для любого .

Доказательство: рассмотрим функцию , где и найдем производную этой функции, исходя из определения. Пусть – некоторая точка интервала . Тогда

Итак, .

Так как – произвольная точка интервала , то имеем

Случай разности рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Примеры: Найти производную:

1) ;

2) ;

Замечание: Данная теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема 2

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , то для любого .

Доказательство: рассмотрим функцию , где и найдем производную этой функции, с помощью определения. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

Итак, .

Так как – произвольная точка интервала , то имеем

Примеры:

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Доказательство: Применим теорему о производной произведения:

Примеры:

;

Теорема 3:

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , причем для любого , то для любого .

Доказательство: Рассмотрим функцию , где и найдем ее производную, пользуясь определением. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

Следовательно,

А так как – произвольная точка интервала , то имеем .

Примеры:

§ 4 Сложная функция и ее производная

Сложной функцией называется функция, составленная из нескольких функций.

Обозначается сложная функция или , где .

– называется внутренней (или промежуточной) функцией. Например, функция является сложной, так как она составлена из двух функций: где . Функция также является сложной, так как составлена из трех функций: .

Докажем теперь теорему о производной сложной функции:

Теорема

Если функция дифференцируема по , а функция дифференцируема по , то производная сложной функции по независимой переменной определяется равенством: .

Доказательство: Пусть дана дифференцируемая функция , которая является сложной и имеет промежуточный аргумент зависящий от .

По определению производной можем записать . Умножив числитель и знаменатель функции, содержащейся под знаком предела, на приращения промежуточного аргумента , получим:

то есть

производная сложной функции по аргументу равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную внутренней функции по основному аргументу .

Это правило иногда называют правилом цепочки: то есть производная сложной функции равна произведению производных от всех составляющих ее функций. При этом следует помнить, что каждую функцию нужно дифференцировать по ее собственному аргументу.

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Эта функция сложная, то есть .

Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим: .

Производные элементарных функций

I Производная логарифмической функции

Вначале выведем формулу дифференцирования функции , где .

Найдем производную с помощью определения:

Теперь функцию, содержащуюся под знаком предела, умножим и разделим на (это можно сделать, так как ), а затем воспользуемся свойством логарифмов: , получим

так как

Итак получили, что

. (1)

Выведем теперь формулу дифференцирования сложной функции, то есть функции , где . Для этого используем формулу дифференцирования сложной функции , получим:

то есть

. (1’) Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Первый способ:

;

Второй способ:

Вначале преобразуем функцию с помощью свойств логарифмов:

А теперь найдем производную:

;

Найдем теперь производную функции , где

Для того, чтобы найти производную функции , воспользуемся формулой перехода от логарифма с одним основанием, к логарифму с другим основанием: , где и перейдем от логарифма с основанием a к логарифму с основанием e, получим:

А теперь найдем производную функции :

Получим, что

. (2)

Теперь найдем производную сложной функции . Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, получим:

, то есть

. (2’) Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: При нахождении производной логарифмической функции иногда проще вначале преобразовать функцию, пользуясь свойствами логарифма, а только затем находить производную. Поэтому напоминаем основные свойства логарифмической функции:

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Вначале преобразуем функцию:

А теперь найдем производную:

II Производная степенной функции

Найдем производную функции

Для этого применим способ, который называется логарифмическим дифференцированием. Он заключается в том, что функцию вначале логарифмируют, а затем находят производную.

Итак, прологарифмируем функцию по основанию e: . Теперь продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что это сложная функция, так как зависит от

А теперь из этого равенства выразим искомую величину , учитывая, что , получим

то есть

, где . (3)

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, найдем производную сложной функции

, где , получим , то есть

. (3’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: Здесь можно выделить функцию . Найдем ее производную с помощью формулы (2):

то есть

Для сложной функции получим формулу при помощи правила

III Производная показательной функции

Производную показательной функции также можно найти с помощью метода логарифмического дифференцирования.

Для этого, прологарифмируем функцию по основанию , получим:

Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от

Откуда выразим , учитывая, что ; , то есть

. (4)

Теперь найдем производную функции с помощью формулы (4)

то есть

. (5)

В результате применения правила дифференцирования сложной функции получим формулы для нахождения производных сложных функций и , где

, (4’)

. (5’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

IV Производные тригонометрических функций

1 Вначале найдем производную функции . Для этого воспользуемся определением производной:

то есть

. (6)

С помощью правила дифференцирования сложной функции получим формулу для нахождения производной сложной функции , где :

. (6’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2 Теперь найдем производную функции . Для этого представим функцию через функцию , с помощью формул приведения получим:

. Следовательно,

. (7)

Для вывода формулы (7) можно также использовать определение производной. Чтобы найти производную сложной функции применим правило дифференцирования сложной функции и получим:

. (7’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Для этого воспользуемся определением тангенса и правилом дифференцирования дроби:

. (8)

Для нахождения производной сложной функции , применим правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (8’)

4 Аналогичным образом найдем производную функций и :

. (9)

Для функции имеем:

. (9’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

V Производные обратных тригонометрических функций

1 Найдем производную функции , согласно определению арксинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от x. Получим:

так как , а по условию , поэтому выбираем положительное значение, то (так как , по условию) , то есть

. (10)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (10’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2 Найдем производную функции . Из определения арккосинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу, учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от.

так как , и по условию , поэтому выбираем положительное значение ,и подставляя вместо получим: , то есть

. (11)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что

. (11’) Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Из определения арктангенса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как зависит от .

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (12)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (12’)

4 Теперь найдем производную функции . Из определения арккотангенса имеем . Продифференцируем данное равенство по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как зависит от

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (13)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (13’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Упражнения: Найти производные следующих функций:

Теперь все доказанные нами формулы занесем в таблицу.

Таблица производных

1
2
3 ;
4 ;
5 ; Для простых функций	Для сложных функций
6 ;	1
7	2
8	3
9	4
10	5
11	6
12	7
13	8
14	9
15	10
16	11
17	12
18	13

Геометрический смысл производной

I Определение касательной и нормали к кривой

В курсе геометрии вы уже встречались с понятием касательной, а именно, касательная к окружности определялась как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку. Однако такое определение неприменимо для случая произвольной кривой.

Так, например, оси и имеют по одной общей точке с параболой (рис. 4)

Рис. 4

Однако ось – касательная к параболе, а ось не является касательной к ней. Определим касательную к кривой точке в общем случае.

Пусть – некоторая точка кривой, отличная от (рис 5).

Рис. 5

Прямая , проходящая через точки и , называется секущей кривой .

Если точку перемещать по кривой , приближая к точке , то секущая будет поворачиваться вокруг точки , занимая соответственно положения , , и т.д.

Если секущая будет стремиться занять некоторое предельное положение при стремлении точки вдоль кривой к точке , то прямая называется касательной к кривой .

Заметим, что не всякая кривая в любой точке имеет касательную. Простейшим примером такой кривой может служить график функции (рис. 6)

Рис. 6

Эта кривая в точке не имеет касательной.

Прямая, проходящая через точку , перпендикулярно касательной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке .

Например, если прямая – касательная к кривой в точке , то прямая , , является нормалью к данной кривой (рис 7).

Рис. 7

II Геометрический смысл производной

Пусть кривая является графиком непрерывной функции (рис. 8)

Рис. 8

На кривой рассмотрим точки и и проведем секущую . Очевидно, если – это ее угловой коэффициент, то из мы видим, что он равен: .

Пусть теперь , то есть абсцисса точки приближается к абсциссе точки и, следовательно, точка стремится к точке , оставаясь на кривой . При этих условиях секущая меняет свое положение, вращаясь вокруг точки , то есть изменяется угол .

Если функция дифференцируема в точке , то , и следовательно, существует прямая , являющаяся предельным положением секущей , при приближении точки по кривой к точки . Эта прямая, как известно, будет касательной к кривой в точке . Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то ее график имеет касательную в точке , угловой коэффициент которой равен , (так как , то ).

Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной:

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , то есть .

Примеры: 1. В какой точке касательная к кривой

1) параллельна оси ;

2) образует с осью угол в 45^o?

Решение:

1) Так как касательная параллельна оси , то она образует с ней угол и ее угловой коэффициент в точке касания равен нулю, так как . Воспользуемся геометрическим смыслом производной и составим уравнение: .

Найдем производную функции : .

Тогда , откуда .

Итак, касательная к данной кривой параллельна оси в точке (0;-1)

2) Так как касательная образует с осью угол в 45^о, то ее угловой коэффициент равен 1, так как . Ранее мы нашли производную функции в любой ее точке: . Найдем значение аргумента, при котором эта производная равна 1, то есть решим уравнение :

, откуда . Итак, касательная к данной кривой составляет с осью в точке .

2. Найти угловой коэффициент касательной, приведенной к кривой в точке .

Решение:

Найдем производную функции , получим . По условию

Итак, угловой коэффициент касательной кривой в точке равен -4;

III Уравнение касательной и нормали к кривой

Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящем через точку имеет вид

. (1)

Поэтому, подставив в уравнение (1) , получим уравнение касательной к кривой в точке :

. (2)

Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и , является условие . Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

. (3)

Замечание: Уравнение (3) задает нормаль к графику функции в точке , если существует отличная от нуля производная .

Если , то касательная к кривой в такой точке будет параллельна оси , а ее уравнение будет иметь вид: . Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой в такой точке будет перпендикулярна оси , а ее уравнение имеет вид .

Если же , то касательная к кривой в такой точке параллельна оси и ее уравнение имеет вид , а нормаль параллельна оси и ее уравнение имеет вид

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

Решение:

1) Найдем значение функции в точке с : .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

– уравнение касательной

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

– уравнение нормали.

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

Найдем значение производной в точке :

Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид , то есть , а уравнение нормали , то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

Теперь найдем значение производной:

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

– уравнение касательной.

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

– уравнение нормали.

Упражнения:

1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведенных к кривой в точках с абсциссами .

4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

а)

б)

в)

г)

д) .

6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135^о с осью .

7) Найти скорость тела, движущегося по закону .

8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты , и .

9) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой: .

10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?

11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке ? Составить уравнение этой касательной.

12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами , и .

13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?

Физический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть:

Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-либо определенный момент времени нужно найти производную и подставить в нее соответствующее значение .

Примеры

1) Путь, пройденный материальной точкой, задается уравнением . Найти скорость движения в конце 5-й секунды.

Решение: Находим производную:

. По условию =5с. Получим .

2) Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ее скорость окажется равной нулю.

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную:

Нам нужно найти момент времени в который , получим , откуда .

Вторая производная и ее физический смысл

Производную от данной функции принято еще называть первой производной или производной первого порядка. Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференцируема, то от нее также можно взять производную.

Производную от производной первого порядка называют второй производной или производной второго порядка и обозначают , .

Пример: Найти вторую производную следующих функций:

Решение:

1) Найдем первую производную:

. Теперь найдем вторую производную

2) ;

Далее рассмотрим механический (физический) смысл второй производной:

Пусть тело движется по закону и его скорость в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть , тогда ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени или первой производной скорости по времени, то есть .

Примеры

1) Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение точки в момент .

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную от пути: . Теперь найдем ускорение, для этого найдем вторую производную от пути:

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения , значит движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением, то есть .

2) Закон движения тела определяется уравнением . Каково ускорение тела в момент, когда его скорость равна 11 м/с?

Решение: Найдем ускорение тела в любой момент времени, для этого найдем вторую производную от пути:

Далее решим уравнение и найдем нужный нам момент времени: . Теперь найдем ускорение тела в момент : .

Упражнения

I Найти ускорение точки в указанные моменты времени , если скорость точки, движущейся прямолинейно, определяется законом:

II Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени , движущейся прямолинейно по закону:

III Найти момент времени , в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону , равно нулю. Какова при этом скорость точки?

IV Тело массы m движется по закону . Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.

V Найти интервалы монотонности функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;

Дифференциал функции и его геометрический смысл

I Для перехода от неравномерных процессов к равномерным, истинное изменение какой-либо величины заменяют ее дифференциалом. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий процесс приближается к равномерному.

Дадим общее определение дифференциала. Пусть дана функция , дифференцируемая в точке x.Это означает, что функция в точке x имеет производную, то есть существует предел , следовательно для функции выполняется равенство

где – бесконечно малая величина, то есть .

Умножив обе части этого равенства на , получим

. (1)

Здесь есть функция от и не зависит от. Следовательно, входит в первое слагаемое в первой степени (то есть линейно). Поэтому первое слагаемое представляет собой линейную часть приращения функции (про второе слагаемое этого сказать нельзя, так как зависит от ).

Тогда при вторым слагаемым можно пренебречь, и первое слагаемое будет являться главной частью приращения функции (исключая случай, когда ).

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком , то есть

. (2)

Для функции получаем , так как , откуда

. (3)

Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Из формул (2) и (3) следует, что

. (4)

То есть дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Пример: Найти дифференциалы следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение:

1)Воспользуемся формулой (4) и найдем производную функции :

. Таким образом,

Откуда, ;

Откуда,

Пример: Найти дифференциал функции в точке при .

Решение:

. Подставив в найденное выражение найдем нужное нам значение:

I Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции .

Рис. 9

Производная функции в точке с абсциссой равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси , то есть

Из рисунка видно, что касательная разбивает приращение функции на два отрезка: , соответствующий в равенстве (1) слагаемому , и , соответствующий в равенстве (1) слагаемому .

Если (точка стремится занять положение), то отрезок уменьшается значительно быстрее, чем отрезок .

Таким образом, приращение ординаты касательной является главной частью приращения функции . Из : находим , откуда . Далее: , а , то .

Итак, сформулируем геометрический смысл дифференциала:

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение .

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

Решение:

1) Найдем значение функции в точке с : .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

– уравнение касательной

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

– уравнение нормали.

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

Найдем значение производной в точке :

Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид , то есть , а уравнение нормали , то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

Теперь найдем значение производной:

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

– уравнение касательной.

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

– уравнение нормали.

Упражнения:

14) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

15) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

16) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведенных к кривой в точках с абсциссами .

17) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

18) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

а)

б)

в)

г)

д) .

19) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135^о с осью .

20) Найти скорость тела, движущегося по закону .

21) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты , и .

22) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой: .

23) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?

24) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке ? Составить уравнение этой касательной.

25) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами , и .

26) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?

Физический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть:

Примеры

1) Путь, пройденный материальной точкой, задается уравнением . Найти скорость движения в конце 5-й секунды.

Решение: Находим производную:

. По условию =5с. Получим .

2) Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ее скорость окажется равной нулю.

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную:

Нам нужно найти момент времени в который , получим , откуда .

Вторая производная и ее физический смысл

Пример: Найти вторую производную следующих функций:

Решение:

1) Найдем первую производную:

. Теперь найдем вторую производную

2) ;

Далее рассмотрим механический (физический) смысл второй производной:

Примеры

1) Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение точки в момент .

Решение: Найдем ускорение тела в любой момент времени, для этого найдем вторую производную от пути:

Далее решим уравнение и найдем нужный нам момент времени: . Теперь найдем ускорение тела в момент : .

Упражнения

II Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени , движущейся прямолинейно по закону:

IV Тело массы m движется по закону . Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.

V Найти интервалы монотонности функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;

Дифференциал функции и его геометрический смысл

II Для перехода от неравномерных процессов к равномерным, истинное изменение какой-либо величины заменяют ее дифференциалом. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий процесс приближается к равномерному.

где – бесконечно малая величина, то есть .

Умножив обе части этого равенства на , получим

. (1)

. (2)

Для функции получаем , так как , откуда

. (3)

Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Из формул (2) и (3) следует, что

. (4)

То есть дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Пример: Найти дифференциалы следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение:

1)Воспользуемся формулой (4) и найдем производную функции :

. Таким образом,

Откуда, ;

Откуда,

Пример: Найти дифференциал функции в точке при .

Решение:

. Подставив в найденное выражение найдем нужное нам значение:

Если (точка стремится занять положение), то отрезок уменьшается значительно быстрее, чем отрезок .

Итак, сформулируем геометрический смысл дифференциала:

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

Решение:

1) Найдем значение функции в точке с : .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

– уравнение касательной

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

– уравнение нормали.

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

Найдем значение производной в точке :

Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид , то есть , а уравнение нормали , то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

Теперь найдем значение производной:

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

– уравнение касательной.

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

– уравнение нормали.

Упражнения:

27) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

28) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

29) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведенных к кривой в точках с абсциссами .

30) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

31) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

а)

б)

в)

г)

д) .

32) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135^о с осью .

33) Найти скорость тела, движущегося по закону .

34) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты , и .

35) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой: .

36) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?

37) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке ? Составить уравнение этой касательной.

38) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами , и .

39) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?

Физический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть:

Примеры

1) Путь, пройденный материальной точкой, задается уравнением . Найти скорость движения в конце 5-й секунды.

Решение: Находим производную:

. По условию =5с. Получим .

2) Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ее скорость окажется равной нулю.

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную:

Нам нужно найти момент времени в который , получим , откуда .

Вторая производная и ее физический смысл

Пример: Найти вторую производную следующих функций:

Решение:

1) Найдем первую производную:

. Теперь найдем вторую производную

2) ;

Далее рассмотрим механический (физический) смысл второй производной:

Примеры

1) Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение точки в момент .

Решение: Найдем ускорение тела в любой момент времени, для этого найдем вторую производную от пути:

Далее решим уравнение и найдем нужный нам момент времени: . Теперь найдем ускорение тела в момент : .

Упражнения

II Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени , движущейся прямолинейно по закону:

IV Тело массы m движется по закону . Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.

V Найти интервалы монотонности функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;

Дифференциал функции и его геометрический смысл

IIIДля перехода от неравномерных процессов к равномерным, истинное изменение какой-либо величины заменяют ее дифференциалом. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий процесс приближается к равномерному.

где – бесконечно малая величина, то есть .

Умножив обе части этого равенства на , получим

. (1)