Диференціальне числення функції багатьох змінних. Застосування диференціального числення функції багатьох змінних.

 

Означення функції багатьох змінних

 

Одне з фундаментальних понять математики — поняття функції однієї змінної — цілком природно, за аналогією, узагальнюється на довільну кількість п змінних з одночасним переходом від простору R² (площини) до п-вимірного простору Rⁿ. Подамо далі докладне теоретичне обґрунтування такого узагальнення.

Множину, елементами якої є всі можливі набори впорядкованих n дійсних чисел, позначають Rⁿ. У цій множині означують поняття відстані між будь-якими двома її елементами.

Відстань між елементами

  і  ,

подається у вигляді

.                      (1)

Означення. Множина Rn із введеною на ній відстанню називається n-вимірним простором Rn, число— розмірністю цього простору. Елемент  Î Rn називається точкою простору Rn, число хі, , — і-ю координатою цієї точки. Точки  n-вимірного простору Rn  утворю­ють і-ту координатну вісь простору. Точка 0 = (0, 0, …, 0) називається початком координат.

Простір R1 з елементами х = х1 — числова пряма. Простори R2 і R3 з елементами х = (х1, х2) і х = (х1, х2, х3) являють собою відповідно площину і тривимірний простір.

У просторі Rn можна означити поняття суми елементів і добутку елемента на дійсне число:

якщо

то

                (2)

Як відомо з лінійної алгебри, множина Rn, в якій формула-
ми (2) визначено суму її елементів та добуток будь-якого елемента на дійсне число, є лінійним векторним простором. Точку х = (х1, х2, …, хn) простору Rn називають вектором, а числа хі,  — його координатами в базисі е1 = (1, 0, …, 0), …,
еп = (0, 0, …,1).

У лінійному векторному просторі можна означити скалярний добуток (х, у), ставлячи у відповідність двом векторам х = (х₁, х₂, …, х_n) і у = (у₁, у₂, …, у_n) число

                               (3)

Лінійний векторний простір Rⁿ, для елементів якого формулою (3) означено скалярний добуток, називається n-вимірним евклідовим простором.

Множини точок на площині та в Rⁿ

Упорядкованій парі чисел (х, у) на координатній площині відповідає, як відомо, одна точка Р(х, у). Аналогічно, у Rⁿ кожному набору n упорядкованих дійсних чисел відповідає одна точка Р(х₁, х₂, …, х_n), де числа х₁, х₂, …, х_n — її координати.

З метою спрощення й унаочнення міркувань, не поступаючись їх загальністю, розглядатимемо далі множини точок переважно на площині.

Означення. Множина точок Е Ì Rⁿ називається зв’язною, якщо будь-які дві її точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали Е.

На рис. 1.1,а схематично зображено зв’язну, а на рис. 1.1,б — незв’язну множину.

 

а                                б

Рис. 1

 

Означення. Множина Е Ì Rn називається обмеженою, якщо всі її точки можна вмістити у крузі скінченного радіуса.

Обмежену множину ілюструє рис. 1.2,а, необмежену — рис. 1.2,б.

 

а                                б

Рис. 2

 

Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність

                                                                                    , або ,                                        (4)

називається d-околом точки .

Зауваження. Для двовимірного простору нерівність (4) набирає вигляду

.

Остання нерівність відповідає внутрішності круга, радіус якого , а центр міститься в точці  (рис. 3).

Рис. 3

Якщо з d-околу точки Р₀ вилучити саму точку Р₀, дістанемо так званий виколотий d-окіл точки Р0.

Означення.  Деяка точка називається внутрішньою щодо даної множини, коли вона належить цій множині разом із деяким своїм d-околом, і зовнішньою, якщо існує її окіл, жодна точка якого не належить цій множині.

Означення. Зв’язна множина, що складається лише із внутрішніх своїх точок, називається відкритою областю, або просто областю.

Множина точок , зображена на рис. 4, є областю.

 

Рис. 4

Означення. Точка  називається межовою для області Е, якщо в будь-якому d-околі цієї точки існують точки, що належать Е, і точки, що не належать Е.

Означення. Точка  називається ізольованою точкою області Е, якщо існує d-окіл цієї точки, який не містить жодних інших точок Е, крім х.

Означення. Точка  називається граничною точкою області Е, якщо будь-який d-окіл цієї точки містить хоча б одну точ­ку Е, відмінну від х.

Означення. Множина межових точок області Е називається межею цієї області.

Означення. Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою областю.

Означення. Діаметром області D називається величина , де  — відстань між точками М₁ і М₂, що належать D.

Область , зображена на рис. 1.5, є замкненою,  — рівняння її межі, М — межова, k — внутрішня, n — зовнішня точка цієї області.

Рис. 5

У просторі R розглянемо множину . Внут­рішніми її точками є всі точки інтервалу (0, 1); точка х = 2 — ізольована; усі точки відрізка [0; 1] є граничними; точки х = 0, х = 1, х = 2 — межові.

Означення. Множина  називається опуклою, якщо будь-які дві її точки можна сполучити відрізком, який належатиме цій множині. Множина, яка містить лише одну точку, також вважається опуклою.

1. Множина  — є зв’язною відкритою областю, але не є опуклою.

2. Множина  — є зв’язною і опуклою, але не є відкритою.

Означення функції багатьох змінних

Означення. Якщо кожній точці множини D n-вимірного простору Rn за деяким законом Р(х1, х2, …, хn) поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число , то говорять, що в області  задано функціюнезалежних змінних.

При цьому D називають областю визначення функції, а Е — областю значень функції.

Згідно з означенням функцію  можна розглядати як функцію точки і записувати як .

Зокрема, коли= 2, маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі  на площині поставлено у відповідність одне і тільки одне число z.

Зауважимо, що в задачах економічного змісту найчастіше доводиться стикатися з функціями двох або трьох незалежних змінних. Тому надалі головну увагу приділятимемо саме їм.

Наведемо приклади таких функцій.

Витрати виробництва даного виробу за даної технології є функцією матеріальних витрат х і витрат у на оплату робочої сили: . Це є функція витрат виробництва.

Розглянемо функцію двох незалежних змінних K, L, яка називається виробничою функцією, або функцією Кобба—Дугласа: , ; , де Q — обсяг виробництва; С — деяка стала; L — кількість праці, яку вкладено у виробництво; K — кількість капіталу. Із наведеної рівності випливає, що частка, %, заробітної плати в загальному прибутку становить a × 100, а частка капіталу, %, b × 100. Задану функцію можна подати у вигляді таблиці або графіка. Для двох факторів таким графіком може бути рівнопродуктова крива, для більшої їх кількості — деякий тривимірний образ.

Криву, що являє собою множину точок, кожною з яких подається одна з можливих комбінацій двох факторів виробництва, котрі забезпечують однакову кількість виготовлюваної продукції, зображено на рис. 6.

Рис. 6

 

Нехай предметами споживання є два товари А — масло та В — маргарин, ціни на які становлять відповідно р₁ та р₂. Якщо ціни на інші товари сталі, а прибуток споживачів і струк­тура споживання не змінюються, то попит і пропозиція за кожним із товарів залежать від його ціни. Маємо:

функцію попиту на товар А:       q₁ = f₁(p₁, p₂);

функцію попиту на товар В:       q₂ = f₂(p₁, p₂);

функцію пропозиції товару А:    s₁ = f₃(p₁, p₂);

функцію пропозиції товару В:    s₂ = f₄(p₁, p₂).

Задану умовою задачі залежність можна подати такою таблицею:

 

Характеристика товару	Товар А — масло	Товар В — маргарин
Кількість	q1	q2
Ціна	p1	p2

 

Попит на масло визначатиметься функцією  і залежатиме від його ціни р₁ та ціни р₂ конкурентного товару — маргарину.

Зокрема, ця функція може набирати такого вигляду:

,

або

.

Способи задання функції

Функцію двох змінних, як і функцію однієї змінної, можна подати такими способами:

аналітично (у вигляді формули); наприклад:

.

таблично; наприклад:

 

х	у
	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	6	8
3	3	6	9	12
4	4	8	12	16

(таблиця множення чисел: z = xy)

графічно (рис. 7);

Рис. 7

_{Графічне зображення функції
двох змінних}

Означення. Графіком функції двох змінних  називається множина всіх точок (х, у, f(x, y)) простору R3, де (x, y) Î R2.

Щоб зобразити графічно функцію двох змінних, розглянемо систему координат хуz у тривимірному просторі (рис.8).

Кожній парі чисел х і у відповідає точка Р(х, у) площини ху. Узявши в цій точці значення функції , дістанемо точку у просторі R³ з координатами (х, у, z), яка позначається символом Q(х, у, z). Усі такі точки, що відповідають різним значенням незалежних змінних х і у, утворюють певну поверхню у просторі R³. Ця поверхня і є графічним зображенням функції .

 

Графічним зображенням функції  є площина, що проходить через точки (0, 0, 4), (0, 4, 0), (4, 0, 0) (рис. 9).

 

Рис. 9

 

 

Графічним зображенням функції  є сідло (рис. 10).

 

Рис.10

Зауваження. На практиці побудувати графік функції двох змінних буває нелегко, оскільки потрібно зобразити на площині просторову фігуру, а це не завжди вдається.

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція  набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді . Для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня.

Накресливши кілька ліній рівня та задавши значення на них функції, дістанемо певне уявлення про характер зміни функції.

Один з найпростіших прикладів зображення функції за допомогою ліній рівня — задання рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями однакової висоти, нанесеними на карту, легко уявити рельєф відповідної місцевості.

У метеорології лініями рівня є ізотерми та ізобари. В економіці — ізокванти, криві індиферентності. Лініями рівня виробничої функції є ізокванти. Ізокванта — крива, утворена множиною точок, що відповідають різним варіан-
там поєднання двох будь-яких видів витрат, котрі забезпечу-
ють постійно одну й ту саму кількість виготовлюваної продукції (рис. 11). Крива індиферентності відбиває зміну поєднання двох різних благ за умови, що загальна споживна корисність їх лишається сталою (рис. 12).

 

 

Рис.11                         Рис. 12

Побудувати лінії рівня функції

             .

^●Шукане рівняння має вигляд

.

1. Якщо с < 0, то ліній рівня немає.

2. Якщо с = 0, то лінії рівня становлять множину всіх точок осі х, крім двох: (± 2, 0).

3. Якщо с > 0, маємо
, або . Отже, лініями рівня є кола радіусом  із центром у точці , з яких вилучено точ­ки (± 2, 0). Узявши с = 1, 2, …, дістанемо сім’ю ліній рівня (рис. 13).

 

Рис. 13

Знаходження області
визначення функції двох змінних

Розглянемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на такому прикладі.

Знайти область визначення функції

            

та надати відповідну геометричну інтерпретацію.

1. Запишемо область визначення функції аналітично:

.

2. Замінивши нерівності в D рівностями, побудуємо лінії, що відповідають їм на координатній площині:

3. За допомогою контрольних точок  і  з’ясуємо розміщення D на площині й виділимо її штриховкою (рис. 14).

Рис. 14

Границя функції двох змінних

Означення. Число А називається границею функції  при , , якщо для будь-якого  існує число , таке, що в разі виконання нерівності

справджується нерівність .

Позначають:

Наслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ® ® (х0, y0), то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ®
® (х0, y0), то вона обмежена в деякому околі точки f(х0, y0).

Теорема 1.3. Якщо  , і в деякому виколотому околі точки (, y0) виконується нерівність , то .

Наслідок. Якщо   у деякому околі точки (, y0) і  існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо  і в деякому виколотому d-околі точки (, y0) справджуються нерівності , то і .

Теорема 1.5. Якщо ,

то виконуються рівності:

1) ;

2) ;

3)  (с ¹ 0).

Означення. Якщо , то функція  називається нескінченно малою при

Обчислити .

^●Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Обчислити .

^●Візьмемо ху = t. Тоді з того, що (х, у) ® (0, 0), випливає t ® 0 і задану границю можна подати у вигляді . При t ® 0 маємо: , . Отже,

.

Звідси, .

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує й принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функ­ції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджуються теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо  (f(x) — функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b. Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в
точці.

Для функції двох змінних  наближення до точ-
ки (х₀, у₀) можливе нескінченною кількістю способів: і спра-
ва, і зліва, і згори, і знизу, і під деяким кутом до осі х тощо (рис. 1.15).

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях (рис. 1.16).

 

Рис. 15                          Рис. 16

Очевидно, що рівність  справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки (х₀, у₀) по будь-якій траєкторії. Отже, маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Довести, що  не існує.

Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій у = kx.

Якщо у = kx, то

.

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при k = 1 границя дорівнює ,

при k = 2 границя дорівнює  і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0, 0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що  не існує.

Зауваження. Для функцій n > 1 змінних можна розглядати n! так званих повторних границь.

У частинному випадку для функції двох змінних  можна розглядати дві повторні границі в точці (х₀, у₀):

 і .

Наприклад, для функції  маємо:

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі  не існує, але повторні границі існують: .

Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція  називається неперервною в точці , якщо

.

Означення. Функція  називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині D Ì R2, називають неперервною за множиною Е Ì D в точці (х0, у0)  D, якщо

.

Означення. Точка  називається точкою розриву функ­ції , якщо:

1) функція  не визначена в точці ;

2) функція  визначена в точці , проте:

а)  не існує;

б)  існує, але не дорівнює .

Означення. Точка  називається точкою усувного розриву функції , якщо  існує, але або  не визначена в точці , або

Розглянемо функцію двох незалежних змінних

       

Ця функція має розрив у точці (0, 0), бо в ній для функції  границі не існує.

Тут ми стикаємося з цікавим явищем: розглядувана функція не є неперервною в точці (0, 0) за двома змінними водночас, але є неперервною за кожною зі змінних х і у окремо.

Точки розриву можуть бути не лише ізольованими, як у попередньому прикладі, а можуть заповнювати
лінії, поверхні тощо. Так, функції двох змінних ,  мають розриви: перша — прямі  друга — окіл  Для функції трьох змінних

,

розриви заповнюють відповідно гіперболічний параболоїд  і конус

Знайти

                   .

^●Для будь-якого  існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову  і відмінні від початку координат, справджується нерівність

Отже,

.

Знайти границю функції

                

в точці (0, 0) за множиною, на якій функція визначена.

^●Зауважимо, що функція не визначена в точках прямої . Тому звичайної границі в точці (0, 0) не існує. Але границя за множиною точок , на якій функція визначена, існує і дорівнює нулю, оскільки

.

Знайти значення а, при якому функція

     

в точці (0, 0):

1) є неперервною за прямою , , ;

2) неперервною за кривою ;

3) неперервною.

^●1. Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій , , . Це означає, що виконуються рівності:

.

Якщо , то дана функція буде неперервною за даною прямою.

2. Наближатимемося до точки (0, 0) по кривій :

.

Якщо , то розглядувана функція буде неперервною за даною прямою.

3. У точці (0, 0) функція  має розрив, оскільки в ній границя не існує. Це випливає з 1 і 2.

Знайти точки розриву, а також точки усувного розриву функції двох змінних:

1) ;

2) .

^●1. Функція  в точці (0, 0) не існує, тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю

.

Для будь-якого  існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову  і відмінні від початку координат, виконується нерівність

.

Отже,  і функція має в точці (0, 0) усувний розрив, якщо  у цій точці.

2. Функція  не існує, якщо , тобто , , .

Тому вона має розриви. Знайдемо границю

.

Отже, функція  має в точці  неусувний розрив.

Неперервність складеної
(складної) функції двох змінних

Означення. Нехай функція  визначена на множині Е, а змінні  і , у свою чергу, залежать від змінних х і у:   причому обидві функції  та  визначені на множині D. Якщо для будь-якого  існує значення  (рис.17), то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію  де     — проміжні, х, у — незалежні змінні.

 

Рис. 17

Функція  де  . Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

.

Теорема 1.6. Нехай на множині D визначено складену функ­цію , де ,  і нехай функції ,  неперервні в точці , а функція  неперервна в точці , де , . Тоді складена функція  неперервна в точці .

Доведення. За умовою теореми функція  неперервна. За означенням неперервності функції в точці  візьмемо довільне число , тоді існує таке , що з нерівності

                      (5)

випливає нерівність

.

Аналогічно, функції  і  за умовою теореми неперервні, тому існують такі  і , що з нерівностей

    і   

випливають нерівності

;                       (6)

.                       (7)

Нехай . Тоді з нерівності

                     (8)

дістанемо нерівності (6) і (7).

З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо

,

а це означає, що складена функція  неперервна в точці  ¨

Властивості неперервної
функції двох змінних

Теорема 1.7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема 1.8. Якщо функції  та  неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними функції:

1) ;

2) ;

3)  при .

Теорема 1.9. Якщо функція  неперервна на замкненій множині, то вона обмежена на цій множині.

Теорема 1.10 (Больцано—Вейєрштрасса). Із будь-якої обмеженої послідовності точок , , …, завжди можна вилучити таку частинну послідовність (підпослідовність)

яка збігається до граничної точки.

Доведення. Застосуємо теорему Больцано—Вейєрштрасса (див.: ч. І, с. 326) для випадку лінійної послідовності. Якщо точки нашої послідовності містяться в скінченому прямокутнику , то

,   (п = 1, 2, 3, …).

Застосувавши теорему спочатку до послідовності , вилучимо частинну послідовність , яка збігається до деякої границі . Тоді для частинної послідовності точок

перші координати вже мають границю. Повторно застосуємо згадану теорему до послідовності других координат  і вилучимо таку частинну послідовність , яка також прямує до деякої границі . Звідси випливає, що частинна послідовність

прямує до граничної точки .

Зауважимо, що обидва міркування легко переносяться на випадок простору  вимірів. У першому з них вимірюється, наприклад, лише кількість частин, на які розпадається задана прямокутна область у результаті поділу пополам кожного з визначених її проміжків. У загальному випадку цих проміжків буде п, а частин — усього 2^п.

Теорема 1.11 (Вейєрштрасса). Якщо функція  неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

Доведення (від супротивного) аналогічне доведенню відповідної теореми для одновимірного випадку (див.: ч. І, с. 359). Нехай функція , коли (х, у) змінюється в , є необмеженою. Тоді для будь-якого п у  знайдеться така точка  що

                               (9)

Згідно з принципом вибору Больцано—Вейєрштрасса (див. ч. І, с. 326) з обмеженої послідовності  можна вилучити частинну послідовність , збіжну до граничної точки .

Зауважимо, що ця точка  необхідно має належати області D. Справді, у противному разі точки  усі були б від неї відмінні, тобто точка  була б точкою згущення області D, якій во­на не належить, що неможливо з огляду на замкненість області D.

З неперервності функції в точці  випливає:

,

а це суперечить (9).

Друга теорема Вейєрштрасса формулюється й доводиться (з посиланням на попередню теорему) так само, як і в частині І для одновимірного випадку.

Зазначимо, що за аналогією обидві теореми Вейєрштрасса переносяться й на випадок, коли функція неперервна в будь-якій обмеженій замкненій множині М.

Як і в разі функції однієї змінної, для функції , визначеної та обмеженої у множині М, різниця між точними верхньою і нижньою межами її значень в М називається коливанням функ­ції в цій множині. Якщо М — обмежена й замкнена (зокрема, якщо М є обмежена замкнена область) і функція  у ній неперерв­на, то коливанням є різниця між найбільшим і найменшим її значенням.

 

 

Рис. 18

 

Теорема 1.12 (про нуль неперервної функції). Нехай функція  неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох
точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Доведення побудуємо на зведенні до випадку функції однієї незалежної змінної.

Оскільки область D зв’язна, точки  та  можна сполучити ламаною, усі точки якої лежать у D. Якщо поступово перебирати вершини ламаної, то або з’ясується, що в деякій із них функція перетворюється на нуль — і тоді теорему доведено, або цього не буде. В останньому випадку знайдеться така ланка ламаної, на кінцях якої функція набуває значень різних знаків. Замінивши позначення точок, вважатимемо, що  і  саме і є кінцями цієї ланки. Її рівняння мають вигляд:

Якщо точка  рухається вздовж цієї сторони, то початкова функція  перетворюється на складену функцію однієї змінної t:

,

очевидно, неперервну за теоремою 1.6 з огляду на неперервність як функції  так і лінійних функцій від  підставлених замість її аргументів. Але для  маємо:

Застосовуючи до функції  однієї змінної доведену для одновимірного випадку аналогічну теорему маємо, що  при деякому значенні  між 0 та 1. Тоді згідно з означенням функції  можемо записати:

Точка , де   і є шуканою.

Теорема 1.13 (про проміжне, або середнє значення). Нехай функція  неперервна на зв’язній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень  і . Тоді на цій множині вона набуває деякого значення М, яке лежить між  і  тобто існує така
точка , що

Доведення аналогічне доведенню теореми Коші для функції однієї змінної, тобто випливає з теореми 1.12 (про нуль неперервної функції).

Рівномірна неперервність

Нагадаємо, що неперервність функції  у певній точці  множини М, де функцію задано, ми сформулювали так: для будь-якого  має існувати таке  що нерівність

виконується для будь-якої точки  Î М, яка перебуває в
d-околі точки

Нехай функція  неперервна в усій множині М. Тоді постає запитання: чи можна за даним  знайти таке  яке годилося б — у зазначеному розумінні — для всіх точок  з М одночасно? Якщо це можливо (при будь-якому ), тоді говорять, що функція  в М рівномірно неперервна.

Теорема 1.14. Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона й рівномірно неперервна в D.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що для деякого числа  не існує числа  яке годилося б одночасно для всіх точок  області .

Візьмемо послідовність додатних чисел, що прямує до нуля:

Оскільки жодне з чисел  не може годитися — у зазначеному розумінні — одночасно для всіх точок  області D, то для кожного  знайдеться в D така конкретна точка  для якої  не годиться. Це означає, що в D існує точка  така, що виконуються нерівності

,   ,

а водночас і нерівність

.                     (10)

З обмеженої послідовності точок , за теоремою Больцано — Вейєрштрасса, вилучимо таку частинну послідовність , що , , причому гранична точка  необхідно належить області D (згідно з її замкненістю).

Далі дістаємо:

,    ;

причому зі зростанням k маємо:  і . Тому

,    ,

а отже,

,     .

З огляду на неперервність функції  в точці , що належить області D, мають одночасно виконуватися такі співвідношення:

звідки

,

а це суперечить нерівності (10). ¨

Диференційовність функції двох змінних

Частинні та повні прирости функції двох змінних

 

Нехай функція  визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним х та у приростів Dх і Dу так, щоб точка  не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки ,  також потраплять у цей окіл (рис. 19).

Означення. Різницю  називають повним приростом функції за х та у при переході від точки  до точки  і позначають . Різницю  називають частинним приростом за х функції , а різницю  — частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно  і . Отже,

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

 

Частинні похідні функції двох змінних

Нехай функція  задана в деякому околі точки .

 

 

Рис. 20

Означення. Якщо існують скінченні границі

;

,

то їх називають частинними похідними функції z = f(x, y) у
точці  відповідно за змінними х і у та позначають: ,  або ,  або   (Символ «¶» — так зване «де» кругле — вперше застосував Якобі.)

Повний диференціал функції
двох змінних

Означення. Функція  називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст  можна подати у вигляді:

де А, В — деякі числа; a, b — нескінченно малі при , . Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції (точніше — першим диференціалом)  у точці ; позначається  або  Таким чином,

                                                                 (1)

Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,

Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.

Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції  обчислюється за формулою

                                                              (2)

Теорема 1.15. Якщо функція  диференційовна в точці  і , то в точці  існують частинні похідні

,                                                               

Доведення. За означенням диференційовної функції  маємо:

                                                 (3)

Узявши у (3)  , дістанемо :

.

Звідси

  .

Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.

Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.

Частинні похідні та повний
диференціал функції n-змінних

Означення. Якщо існує скінченна границя

,

то її називають частинною похідною функції f у точці  за змінною  і позначають  або .

Похідні ,  називають похідними першого порядку.

 

Правило знаходження частинних похідних першого порядку

Для обчислення частинної похідної  звичайно користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім хk, сталими.

 

Знайти частинні похідні функції

.

^● Функція визначена в області  Вважаючи, що у стале, знаходимо

Вважаючи, що х стале, знаходимо

 

Знайти частинні похідні функції

^● Вважаючи, що , , знаходимо

Вважаючи, що , , знаходимо

Вважаючи, що , , знаходимо

Геометрична інтерпретація частинних похідних

Рис. 21

Проведемо площину EFGH через точку  даної поверхні паралельно площині y0z. Рівняння цієї площини

х = а.

Отже, рівняння кривої, утвореної в перерізі JPK, буде

,

якщо EF розглядати як вісь z, а EH — як вісь y. У цій площині  означає те саме, що , а тому

Отже, частинна похідна  дорівнює тангенсу кута нахилу до осі y, дотичної до перерізу JК у точці Р.

Аналогічно, якщо провести площину BCD через Р паралельно площині x0z, її рівняння буде

,

і в площині перерізу DPI частинна похідна  означатиме те саме, що й . Звідси

Отже, частинна похідна  дорівнює тангенсу кута нахилу до осі х, дотичної до перерізу DJ в точці Р.

Для повного диференціала формула (2) узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних :

Знайти  якщо .

^● Знайдемо спочатку , , :

;

;

.

Звідси за формулою (4) дістанемо:

Властивості повного диференціала

Для будь-яких диференційовних функцій ,  справджуються рівності:

                                                                                    , де a, b — сталі;                                                                                  (5)

                                                                                    ;  

                                                                                    , .  

Властивість інваріантності форми повного диференціала: Формула (4) виконується не лише тоді, коли х та у — неза-
лежні змінні, а й тоді, коли х і у є диференційовними функціями будь-яких змінних.

 Достатня умова диференційовності
функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної диференційовність та існування похідної є рівносильними твердженнями. У разі функції багатьох змінних маємо інше: існування частинних похідних — необхідна, але не достатня умова диференційовності функції в точці. Наприклад, для функції

у точці  маємо: , . Проте ця функція розривна в точці , а тому вона не може бути диференційовною в цій точці. Отже, для диференційовності функції  у точці  не достатньо самого лише існування частинних похідних. Для диференційовності доводиться додатково вимагати неперервності частинних похідних, як це випливає з поданої далі теореми.

Теорема 1.16. Якщо функція  у деякому околі точки  має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в цій точці.

Доведення. Розглянемо в координатній площині х0у точки  ,  і  (рис.22).

Нехай частинні похідні визначені в деякому e-околі точки Р і точка R належить даному околу. Оскільки e-окіл точки Р — це круг радіусом e із центром у точці Р, то відрізки PQ i QR цілком належать цьому околу. Отже, функція  визначена на відрізках PQ i QR.

Рис. 22 

Подамо повний приріст функції  у точці  у вигляді

  (5)

На відрізку PQ змінна у має стале значення , тому функ­ція  на цьому відрізку є функцією однієї змінної х. Застосовуючи формулу Лагранжа про середнє значення, дістаємо:

            (6)

для деякого значення x з інтервалу . Аналогічно, на відрізку QR функція  залежить лише від у. Тому на проміжку  знайдеться точка h, для якої

.      (7)

Згідно з (6) і (7) запишемо формулу (5) у вигляді:

.

Звідси

де , .

Очевидно, що при  і  точки А і В прямують до точки Р. Частинні похідні неперервні, тому   коли  

Разом з a та b прямує до нуля і величина

.

Тому з рівності

випливає диференційовність функції  у точці .

Диференціювання складеної функції

Теорема 17. Нехай на множині D визначено складену функ­цію , де , , і нехай функції ,  мають у деякому околі точки  неперервні частинні похідні, а функція  має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складена функція  диференційовна в точці , причому

                                                          

Доведення. За умовою теореми функції  і  мають неперервні частинні похідні в деякому околі точки . Тому за теоремою 1.16 вони диференційовні в точці :

де , , ,  при , .

Надавши приростів лише аргументу х, дістанемо

                        (10)

де ,  при ,

Знайдемо приріст функції  за х. За умовою теореми функція  має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , а тому вона диференційовна в цій точці:

            (11)

Підставляючи у (11) рівності (10), дістаємо:

де

 —

нескінченно мала величина при .

Тоді

.

Аналогічно можна довести й формулу (9).

Диференційовність функції  випливає з неперервності частинних похідних  і .

Знайти  і  для функції , якщо  

^● За формулами (8) і (9) маємо:

;

.

Знайти повний диференціал функції j, якщо , ,

^● З урахуванням формул (2) і формул (8), (9) дістаємо:

^●

.

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція  визначена в деякому околі точки ; l — деякий промінь з початком у точці ;  — точка на цьому промені, яка належить околу точки  (рис. 1.23);  — довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції  за напрямом l у точці  і позначається .

Зокрема,  — похідна функції  за додатним напрямом осі х, а  — похідна функції  за додатним напрямом осі у.

Рис. 23

Похідна за напрямом  характеризує швидкість зміни функції  у точці  за напрямом l.

Теорема 1.18. Якщо функція  має в точці  неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна  за будь-яким напрямом , причому

де і — значення частинних похідних у точці .

Доведення. За умовою теореми функція  має в точці  неперервні частинні похідні, тому за теоремою 1.16 вона диференційовна в цій точці:

де ,  — нескінченно малі величини при   Тоді

.

Із трикутника  (рис. 1.23) маємо:

,

Звідси

Якщо , то , , а отже   Звідси

Знайти похідну функції  у точці  за напрямом

^● Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці  функції :

Тоді за формулою (12) маємо:

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції  в точ­ці , називається градієнтом функції  у цій точці і позначається :

де i, j — одиничні орти.

Знайти градієнт функції  у точці .

^● Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці :

;

Тоді згідно з (13) , або .

Аналогічно для диференційовної функції  у точці  похідна за напрямом довільного одинично­го вектора ,  подається так:

Означення. Градієнтом диференційовної функції  у точці  називають вектор   де  — одиничні орти, а значення частинних по-
хідних  обчислені в точці .

Властивості:

1. .

2. .

3. Якщо , то похідна  досягає найбільшого значення при .

Частинні похідні
і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція  має частинні похідні в усіх точках множини D. Візьмемо будь-яку точку . Якщо в цій точці існують частинні похідні  і , то вони залежать від х і у, тобто вони є функціями двох змінних. Отже, можна ставити питання про відшукання їх частинних похідних. Якщо вони існують, їх називають частинними похідними другого порядку і позначають відповідно  (читаємо: «де два зет по де ікс квадрат») або ,  або ,  або ,  або  Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків.

Нехай функція  в околі точки  має частинну похідну першого порядку .

Означення. Частинну похідну функції  за змінною  називають частинною похідною другого порядку за змінними  і  і позначають  або

Отже, за означенням:

Якщо , похідну  позначають .

Означення. Частинною похідною порядку  називають частинну похідну першого порядку за будь-якою змінною від будь-якої похідної  порядку.

Частинні похідні за різними змінними називають мішаними частинними похідними.

Теорема 1.19. Якщо дві мішані похідні порядку m, що відріз­няються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються.

Знайти , якщо .

^● Маємо:

Знайти  і  для функції .

^● .

Означення. Диференціалом другого порядку функції  називається диференціал її повного диференціала:

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:

Для диференціала порядку m справджується залежність:

У частинному випадку при  формула (14) набирає вигляду:

Зауваження. Для складеної функції , де , , другий її диференціал, загалом, не подається через dx і dy згідно з формулою (15). Отже, для порядку  не виконується властивість інваріантності форми диференціала щодо вибору змінних.

При  формула (16) подається так:

 

Знайти , якщо

^● , ;

, ; .

Згідно з (15) маємо:

иференціювання неявної функції

І. Функція двох змінних. Функція  визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз — це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай . Тоді . Проте оскільки , то  і  Звідси

                            (17)

Розв’язавши рівняння (17) відносно  (вважаючи, що і  існують), знайдемо залежність

                      (18)

Це так звана формула диференціювання неявної функції.

Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f(x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f(x, y), а (18) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.

Для функції  знайти .

^● Нехай

З рівняння (18) знаходимо:

.

Відомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2ху² – 3х²у лишалася сталою.

^● Нехай

знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:

Підставляючи в (18), маємо:

,    або    .

За умовою х = 3, у = 1, , звідки  (дм/с).

Знайти похідні від функцій

1.

^●

2.

^●

3.

^●

4.

^●

5.

^●

 

ІІ. Функція трьох змінних. Нехай Р (х, у, z) — точка на поверхні, заданій рівнянням:

,                          (19)

і нехай РС і АР — перерізи, що утворюються площинами, проведеними через точку Р паралельно площинам Y0Z і X0Z (рис. 1.24). Для точок кривої АР змінна у лишається сталою. Отже, згідно з (19) z є неявною функцією лише х, а на підставі (16) виконується рівність:

Геометрична інтерпретація. Формула (20) визначає тангенс кута нахилу кривої АР у точці Р до осі 0х.

 

Рис. 1.24

У лівій її частині замість  записано , оскільки згідно з (19) змінна z була спочатку неявною функцією х і у (формулу (20) виведено за припущення, що величина у лишається сталою).

Аналогічно нахил кривої РС до осі 0y у точці Р задається рівнянням:

Знайти в точці (1, 1) частинні похідні функції u = f(x, y), заданої неявно:

.                        (22)

Якщо для функції  у точці екстремуму існують частинні похідні за всіма змінними, то всі вони дорівнюють у цій точці нулю:

Умови (1) не є достатніми умовами існування екстремуму.

Для функції  ці умови виконуються в початку координат, але ця точка не є екстремальною для розглядуваної функції.

Означення. Точки, координати яких задовольняють систе-
му рівнянь (1), називаються стаціонарними точками функції . Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.

Достатні умови існування екстремуму

Теорема 1.21. Нехай функція  — двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки . Тоді точка :

1) є точкою мінімуму функції, якщо

,                               (2)

причому рівність виконується лише за умови

;

2) є точкою максимуму функції, якщо

,                             (3)

причому рівність виконується лише за умови

;

3) не є точкою екстремуму, якщо  набуває як додат­них, так і від’ємних значень.

Умови 1)—3) означають відповідно, що квадратична форма відносно диференціалів незалежних змінних

додатно визначена, від’ємно визначена, невизначена.

Доведення. 1. Умови існування екстремуму. Нехай функція  визначена, неперервна і має неперервні похідні першого і другого порядків у околі деякої стаціонарної точки . Розкладаючи різницю

за формулою Тейлора, дістаємо

      (4)

де ; усі похідні обчислені в деякій точці

   .

Введемо значення

   (5)

так, що

і

 при .               (6)

Тепер вираз (4) можна записати у вигляді

.                  (7)

На першому місці в дужках міститься другий диференціал функції ¦ у розглядуваній точці. Він являє собою квадратичну форму від змінних  

                                 (8)

На підставі властивостей цієї квадратичної форми й відшукуємо відповідь на запитання, яке нас цікавить.

Нагадаємо, що у вищій алгебрі квадратичну форму

                                 (9)

від змінних  називають визначеною додатною (від’ємною), якщо вона має додатні (від’ємні) значення при всіх значеннях аргументів, що не дорівнюють одночасно нулю.

Відомий критерій Сільвестра є необхідною і достатньою умовою визначеності й додатності квадратичної форми (8). Цей критерій подається ланцюжком нерівностей:

.

Визначена від’ємна форма зі зміною знака всіх її членів перетворюється на визначену додатну, і навпаки. Згідно з цим легко знайти й характеристику від’ємної форми: вона подається ланцюжком нерівностей, який випливає із записаного щойно зі зміною знаку нерівностей через одну (починаючи з першої від’ємної).

За допомогою цих понять сформульовано умови теореми 1.21.

Розглянемо відстань

між точками  і . Виносячи у (7) за дужку  і беручи

,

подаємо вираз для D у вигляді

.               (10)

Числа  одночасно не перетворюються на нуль, а тому якщо форма (8) — додатна, то перша сума в дужках в (10) має завжди додатний знак. Більш того, оскільки

,                               (11)

то знайдеться таке стале додатне число m, що при всіх можливих значеннях  виконуватиметься нерівність

Справді, ця сума подає неперервну функцію аргументів  як на всьому просторі, так і у множині М тих точок , які задовольняють співвідношення (11) («сферична поверхня»). Але ця множина замкнена, тобто містить усі свої точки скупчення, а тоді, за теоремою Вейєрштрасса, зазначена сума набуває в М і найменшого значення m, причому лише додатного (як і всі її значення в М).

Водночас згідно з (6) друга сума в (10) для достатньо малих r, очевидно, буде за абсолютною величиною вже меншою від m, так що весь вираз у дужках буде додатним. Тому в достатньо малій сфері із центром у точці  різниця D буде додатна, звідки й випливає, що в зазначеній точці функція  має мінімум.

Аналогічно досліджуємо й випадок, коли форма (8) буде визначеною, але від’ємною.

2. Умови відсутності екстремуму. Квадратична форма (9) називається невизначеною, якщо вона може набувати значень протилежних знаків.

Нехай при  форма (8) набуває додатного значення:

,                              (12)

а при  — від’ємного:

.

Візьмемо спочатку

 при  ,

що відповідає руху вздовж по прямій, яка сполучає точки  і . Виносячи в (7) за дужки , дістаємо

.

Перша сума в дужках згідно з (12) є певне додатне число (12). Що ж до другої суми, то її коефіцієнти прямують до 0 при , а водночас, очевидно, і всі . Отже, при достатньо малому t вираз у фігурних дужках (а з ним і вся різниця D) стає додатним, тобто в точках зазначеної прямої, достатньо близьких до , виконується нерівність

.

Проте якщо взяти

 при  ,

тобто рухатися вздовж другої прямої, що сполучає точку  з точкою , то в її точках, достатньо близьких до , тобто таких, що відповідають достатньо малому t, виконується нерівність

.

Цим доведено, що в досліджуваній точці не може бути ні максимуму, ні мінімуму. ¨

Може статися, що форма (9), хоча й не набуває значень різних знаків, усе ж не є визначеною, оскільки перетворюється на нуль не лише при нульових значеннях аргументів. У такому разі форму називають напіввизначеною.

Випадок, коли форма (8) є напіввизначеною, вважається «сумнівним». Залежно від поводження вищих похідних у цьому разі екстремум може бути, а може й бути. Зокрема, вищі похідні доводиться залучати й тоді, коли всі похідні другого порядку в досліджуваній точці перетворюються на нуль.

«Сумнівний» випадок ми не досліджуватимемо.

Зауваження. 1. Для функції  однієї змінної форма (8) зводиться до одночлена

де  — досліджувана точка. Ця «форма» є визначеною — додат­ною при  і від’ємною при .

2. Для функції  двох змінних форма

при , буде визначеною (додатною при  і від’ємною при ), а при  — невизначеною.

Отже, якщо

1)  то у стаціонарній точці  функція  має екстремум:  — точка максимуму;  — точка мінімуму;

2)  — у точці  функція  не має екстремуму;

3)  — сумнівний випадок.

Рівномірна неперервність

Нагадаємо, що неперервність функції  у певній точці  множини М, де функцію задано, ми сформулювали так: для будь-якого  має існувати таке  що нерівність

виконується для будь-якої точки  Î М, яка перебуває в
d-околі точки

Нехай функція  неперервна в усій множині М. Тоді постає запитання: чи можна за даним  знайти таке  яке годилося б — у зазначеному розумінні — для всіх точок  з М одночасно? Якщо це можливо (при будь-якому ), тоді говорять, що функція  в М рівномірно неперервна.

Теорема 1.14. Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона й рівномірно неперервна в D.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що для деякого числа  не існує числа  яке годилося б одночасно для всіх точок  області .

Візьмемо послідовність додатних чисел, що прямує до нуля:

Оскільки жодне з чисел  не може годитися — у зазначеному розумінні — одночасно для всіх точок  області D, то для кожного  знайдеться в D така конкретна точка  для якої  не годиться. Це означає, що в D існує точка  така, що виконуються нерівності

,   ,

а водночас і нерівність

.                          

З обмеженої послідовності точок , за теоремою Больцано — Вейєрштрасса, вилучимо таку частинну послідовність , що , , причому гранична точка  необхідно належить області D (згідно з її замкненістю).

Далі дістаємо:

,    ;

причому зі зростанням k маємо:  і . Тому

,    ,

а отже,

,     .

З огляду на неперервність функції  в точці , що належить області D, мають одночасно виконуватися такі співвідношення:

звідки

,

а це суперечить нерівності (10). ¨

Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція  називається неперервною в точці , якщо

.

Означення. Функція  називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині D Ì R2, називають неперервною за множиною Е Ì D в точці (х0, у0)  D, якщо

.

Означення. Точка  називається точкою розриву функ­ції , якщо:

1) функція  не визначена в точці ;

2) функція  визначена в точці , проте:

а)  не існує;

б)  існує, але не дорівнює .

Означення. Точка  називається точкою усувного розриву функції , якщо  існує, але або  не визначена в точці , або

Розглянемо функцію двох незалежних змінних

       

Ця функція має розрив у точці (0, 0), бо в ній для функції  границі не існує.

Тут ми стикаємося з цікавим явищем: розглядувана функція не є неперервною в точці (0, 0) за двома змінними водночас, але є неперервною за кожною зі змінних х і у окремо.

Точки розриву можуть бути не лише ізольованими, як у попередньому прикладі, а можуть заповнювати
лінії, поверхні тощо. Так, функції двох змінних ,  мають розриви: перша — прямі  друга — окіл  Для функції трьох змінних

,

розриви заповнюють відповідно гіперболічний параболоїд  і конус

Знайти

                   .

^●Для будь-якого  існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову  і відмінні від початку координат, справджується нерівність

Отже,

.

Знайти границю функції

                

в точці (0, 0) за множиною, на якій функція визначена.

^●Зауважимо, що функція не визначена в точках прямої . Тому звичайної границі в точці (0, 0) не існує. Але границя за множиною точок , на якій функція визначена, існує і дорівнює нулю, оскільки

.

Знайти значення а, при якому функція

     

в точці (0, 0):

1) є неперервною за прямою , , ;

2) неперервною за кривою ;

3) неперервною.

^●1. Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій , , . Це означає, що виконуються рівності:

.

Якщо , то дана функція буде неперервною за даною прямою.

2. Наближатимемося до точки (0, 0) по кривій :

.

Якщо , то розглядувана функція буде неперервною за даною прямою.

3. У точці (0, 0) функція  має розрив, оскільки в ній границя не існує. Це випливає з 1 і 2.

Знайти точки розриву, а також точки усувного розриву функції двох змінних:

1) ;

2) .

^●1. Функція  в точці (0, 0) не існує, тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю

.

Для будь-якого  існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову  і відмінні від початку координат, виконується нерівність

.

Отже,  і функція має в точці (0, 0) усувний розрив, якщо  у цій точці.

2. Функція  не існує, якщо , тобто , , .

Тому вона має розриви. Знайдемо границю

.

Отже, функція  має в точці  неусувний розрив.

Диференціювання складеної функції

Теорема 17. Нехай на множині D визначено складену функ­цію , де , , і нехай функції ,  мають у деякому околі точки  неперервні частинні похідні, а функція  має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складена функція  диференційовна в точці , причому

                                                           Доведення. За умовою теореми функції  і  мають неперервні частинні похідні в деякому околі точки . Тому за теоремою 1.16 вони диференційовні в точці :

де , , ,  при , .

Надавши приростів лише аргументу х, дістанемо

                              

де ,  при ,

Знайдемо приріст функції  за х. За умовою теореми функція  має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , а тому вона диференційовна в цій точці:

                  

Підставляючи у (11) рівності (10), дістаємо:

де

 —

нескінченно мала величина при .

Тоді

.

Аналогічно можна довести й формулу (9).

Диференційовність функції  випливає з неперервності частинних похідних  і .

Знайти  і  для функції , якщо  

^● За формулами (8) і (9) маємо:

;

.

Знайти повний диференціал функції j, якщо , ,

^● З урахуванням формул (2) і формул (8), (9) дістаємо:

^●

.

Множини точок на площині та в Rⁿ

Упорядкованій парі чисел (х, у) на координатній площині відповідає, як відомо, одна точка Р(х, у). Аналогічно, у Rⁿ кожному набору n упорядкованих дійсних чисел відповідає одна точка Р(х₁, х₂, …, х_n), де числа х₁, х₂, …, х_n — її координати.

З метою спрощення й унаочнення міркувань, не поступаючись їх загальністю, розглядатимемо далі множини точок переважно на площині.

Означення. Множина точок Е Ì Rⁿ називається зв’язною, якщо будь-які дві її точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали Е.

На рис. 1.1,а схематично зображено зв’язну, а на рис. 1.1,б — незв’язну множину.

 

а                                б

Рис. 1

 

Означення. Множина Е Ì Rn називається обмеженою, якщо всі її точки можна вмістити у крузі скінченного радіуса.

Обмежену множину ілюструє рис. 1.2,а, необмежену — рис. 1.2,б.

 

а                                б

Рис. 2

 

Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність

                                                                                    , або ,                                        (4)

називається d-околом точки .

Зауваження. Для двовимірного простору нерівність (4) набирає вигляду

.

Остання нерівність відповідає внутрішності круга, радіус якого , а центр міститься в точці  (рис. 3).

Рис. 3

Якщо з d-околу точки Р₀ вилучити саму точку Р₀, дістанемо так званий виколотий d-окіл точки Р0.

Означення.  Деяка точка називається внутрішньою щодо даної множини, коли вона належить цій множині разом із деяким своїм d-околом, і зовнішньою, якщо існує її окіл, жодна точка якого не належить цій множині.

Означення. Зв’язна множина, що складається лише із внутрішніх своїх точок, називається відкритою областю, або просто областю.

Множина точок , зображена на рис. 4, є областю.

 

Рис. 4

Означення. Точка  називається межовою для області Е, якщо в будь-якому d-околі цієї точки існують точки, що належать Е, і точки, що не належать Е.

Означення. Точка  називається ізольованою точкою області Е, якщо існує d-окіл цієї точки, який не містить жодних інших точок Е, крім х.

Означення. Точка  називається граничною точкою області Е, якщо будь-який d-окіл цієї точки містить хоча б одну точ­ку Е, відмінну від х.

Означення. Множина межових точок області Е називається межею цієї області.

Означення. Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою областю.

Означення. Діаметром області D називається величина , де  — відстань між точками М₁ і М₂, що належать D.

Область , зображена на рис. 1.5, є замкненою,  — рівняння її межі, М — межова, k — внутрішня, n — зовнішня точка цієї області.

Рис. 5

У просторі R розглянемо множину . Внут­рішніми її точками є всі точки інтервалу (0, 1); точка х = 2 — ізольована; усі точки відрізка [0; 1] є граничними; точки х = 0, х = 1, х = 2 — межові.

Означення. Множина  називається опуклою, якщо будь-які дві її точки можна сполучити відрізком, який належатиме цій множині. Множина, яка містить лише одну точку, також вважається опуклою.

1. Множина  — є зв’язною відкритою областю, але не є опуклою.

2. Множина  — є зв’язною і опуклою, але не є відкритою.