Границя і неперервність функцій
Границя функцій
Розглянемо випадок коли границя змінної величини дорівнює нулю. Таку змінну величину, яка має своєю границею нуль, називають нескінченно малою величиною. Згідно з означенням границі, ²у² є величина нескінченно мала, якщо в процесі своєї зміни вона за абсолютним значенням стає і лишається меншою від будь-якого насамперед заданого числа ²e².
Тісний зв¢язок з поняттям про нескінченно малу величину має поняття про нескінченно велику величину. Додатною нескінченною величиною називаємо таку змінну величину, яка має такий характер зміни: яке б число N ми не взяли, то змінна величина ²у² в процесі своєї зміни стає і лишається більшою від N.
Якщо змінна величина ²у² в процесі своєї зміни стає і лишається меншою від будь-якого наперед заданого від¢ємного числа – N, то у цьому випадку величину ²у² ми називаємо від¢ємною нескінченно великою величиною.
Другий випадок, що часто зустрічається, буде той, коли змінна ²у², границю якої ми шукаємо, є функція f(x) від другої незалежної змінної ²х². Кажуть, що число А називається границею функції y=f(x) при ²х² прямуючому до ²а², якщо для довільного e>0 існує число d(e)>0 таке, що при 0<½x-a½<d(e) виконується нерівність ½f(x)-A½<e. У цьому випадку пишуть:
|
|
(1.1) |
При ²х² прямуючому до ∞, число А називаєтьсія границею функції y=f(x), якщо для довільного e>0 існує число M(e)>0 таке, що при ½x½>M(e) виконується нерівність ½f(x)-A½<e.
Символічний запис виглядає так:
|
|
(1.2) |
Доказати, виходячи з означення границі, що
Розв’язок. Нехай e – довільне додатне число, треба доказати, що можна підібрати таке d>0, що для всіх х, що задовольняє нерівність , буде використовуватися нерівність . Якщо , то ; . Для виконання нерівності достатньо вимагати, щоб , тобто , звідки корінь відкидаємо, так як за умовою .
Таким чином для довільного e знайдемо таке d, що з нерівності , слідує , тобто .
Основні теореми про границі функції.
Якщо існують і , то
1. ;
2. (k – постійна);
3. ;
4. якщо ;
5.
Знайти .
Розв’язок.
Використаємо формули (1), (3), (4):
;
Знайти .
Функція не означена в точці х0=1. Розкладаючи чисельник і знаменник на добуток відповідній функції, одна з яких не означена в точці х0=-1 отримаємо:
Дві чудові границі.
При знаходженні границь трансцендентних функцій часто використовуються формули:
(1)
(2)
(3)
Знайти ,
Розв’язок. При х®1, 3х також прагне до нуля, тому, помножуючи чисельник і знаменник на 3і застосовуючи формулу (1) , отримуємо:
.
Знайти .
Розв’зок. .
Заміняючи на х ,отримаємо:
Зрайти
Познаючи , знаходимо:
Границі:
1.. Відповідь: 1.
2.. Відповідь: .
3.. Відповідь: 1.
4.. Відповідь: -1.
5.. Відповідь: 1.
6. . Відповідь: .
7.. Відповідь: 1.
8.. Відповідь: 1.
9.. Відповідь: .
10.. Відповідь:
Нескінченно малі і нескінченно великі функції.²а², якщо для довільного e>0 існує число d(e)>0 таке, що при 0<½x-a½<d(N) виконується нерівність ½a(x)½<e/
Функція f(x) називається нескінченно великою при ²х² прямуючому до ²а², якщо для довільного N існує число d(N) таке, що при 0<½x-a½<d(N) виконується нерівність ½f(x)½>N.
Аналогічно визначаються нескінченно малі і нескінченно великі функції при х®∞. Нескінченно великі функції знаходяться у тісному зв¢язку з нескінченно малими величинами.
Якщо при даному граничному переході функція a(х) являється нескінченно малою, то функція обернена їй являється нескінченно великою.
Нескінченно малі функції мають такі властивості:
алгебраїчна сума довільного обмеженого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно малою.
добуток обмеженого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно малою.
Якщо при деякому граничному переході функція a(х) є функція нескінченно малою, то
sin a(x) ~ a(x)
tg a(x) ~ a(x)
ea(x)-1 ~ a(x)
ln [1+a(x)] ~ a(x)
Числові функції однієї змінної.
Якщо кожному числу x з деякої множини дійсних чисел D ставиться у відповідність за певним правилом єдине дійсне число y, то кажуть, що задано числову функцію ¦ і пишуть y = ¦(x), xÎD.
Множина D називається областю визначення функції. Множина Е усіх чисел у, для яких при деякому xÎD ¦(x) = y, називається множиною значень функції.
1. Знайти область визначення і множину значень функції:
1) 2)
Розв’язування.
1) Підкореневий вираз має бути додатнім: тобто D=(-2, 2).
Множина значень
2) Зовнішній логарифм має зміст при cos(lgx)>0. Косинус додатній при kÎZ={0, ±1, ±2, …}.
Звідки знаходимо, що , kÎZ.
Відповідь:
Отже, (), kÎZ.
Множина значень Е=(-¥, 0].
Границя функції.
Нехай маємо функцію y = ¦(x), xÎD, і точка x0(x0ÎD або x0ÏD) така, що в довільному її околі є точки із D, відмінні від неї (скрізь надалі ця умова вважається виконаною).
Означення1. Число А називається границею функції ¦(x) в точці x0, якщо для будь-якого e>0 існує таке d=d(e)>0, що як тільки 0< x–x0 <d(xÎD), то ¦(x)-A <e.
Позначення: або ¦(x)®А при x® x0.
Введемо поняття границі функції на нескінченності.
Означення 2. Число А називається границею функції ¦(x) при x®¥, якщо для будь-якого e>0 існує D=D(e)>0, що як тільки x >D, то ¦(x)-А <e.
Позначення: або ¦(x)®А при x® ¥.
Введемо поняття односторонніх границь.
Означення 3. Число А називається границею функції ¦(x) в точці x0 справа (зліва), якщо для будь-якого e>0 існує таке d=d(e)>0, що як тільки x0<x<x0+d(x0–d<x<x0), то (xÎD), ¦(x)-A <e.
Позначення: або ¦(x0+0)=А;
або ¦(x0-0)=А.
Зауваження 1. Границя функції ¦(x) в точці x0 існує тоді і тільки тоді, коли
¦(x0-0)= ¦(x0+0).
Введемо поняття функції нескінченно великої в точці.
Означення 4. Значення ¥ називається границею функції ¦(x) в точці x0, якщо для будь-якого Е>0 існує таке d=d(Е)>0, що як тільки 0< x–x0 <d(xÎD), то ¦(x) >E.
Позначення: або ¦(x)®¥ при x® x0.
Слід пам’ятати наступні дві границі:
– перша важлива границя
– друга важлива границя ; де e»2,71828.
Властивості границь:
Якщо існують скінченні границі то існують границі суми, добутку і частки функцій ¦ і g і дорівнюють відповідно А+В, А×В, .
При обчисленні границь часто буває корисним наступне правило заміни змінної: нехай існують границі і , де x0 і А можуть бути як числами, так і приймати значення ¥; тоді
, де y=¦(x) (1)
Якщо функція g елементарна (див. нижче зауваження 2) і точка А належить області визначення функці g, то
(2)
З формули (2) випливає зокрема таке правило: якщо існують границі і де числа А і В не дорівнюють одночасно нулю, то
(3)
2. Знайти границю
Розв’язування. Так як чисельник і знаменник дробу прямують до нуля при x® 1, то маємо невизначеність типу . Щоб розкрити невизначеність, розкладемо чисельник і знаменник на множники:
.
Відповідь: ¥.
3. Знайти
Розв’язування. Маємо невизначеність типу в чисельнику додамо і віднімемо 1:
Відповідь:
При обчисленні останніх двох границь були суттєво використані властивість границі частки двох функцій та формула (2).
4. Знайти границю
Розв’язування. Так як чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими при x®¥, то маємо невизначеність типу . Для її розкриття розділимо чисельник і знаменник на x3.
Відповідь:
5. Обчислити границю
Розв’язування. Маємо невизначеність типу ¥ – ¥
Відповідь:0.
6. Обчислити
Розв’язування. Маємо невизначеність типу Скористаємося 1-ю вижливою границею
для обчислення першої границі скористаємося формулою (1). Зробимо заміну . Тому y®0 при x®a. Отже, продовжимо
При обчисленні другої границі була використана формула (2).
7. Обчислити
Розв’язування. Маємо невизначеність типу , так як і тому використати формулу (2) безпосередньо не можемо. Скористаємося 2-ю важливою границею
Знайдемо окремо дві границі:
(скористалися формулою (1) 2-ю важливою границею);
Тоді згідно з формулою (3) будемо мати
8. Знайти
Розв’язування. Маємо невизначеність типу , так як
Розглянемо окремо дві границі:
Отже, згідно з формулою (3)
9. Обчислити
Розв’язування. Маємо невизначеність типу ¥×0, так як
Неперервність і точки розриву функції.
Означення 5. Функція y = ¦(x), визначена в точці x0 і в деякому її околі, називається неперервною в точці x0, якщо
Це означає, що границя функції в точці і її значення в цій точці співпадають.
Зауваження 2. Усі основні елементарні функції (c,,,, тригономнтричні та обернені тригонометричні) неперервні в кожній точці своєї області визначення. Це справедливо і для елементарних функцій, які утворені за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій і суперпозицій над основними елементарними функціями.
Точка x0 називається точкою розриву функції ¦(x), якщо ¦(x) не є неперервною в ній. Класифікуємо точки розриву. Точка називається:
1) точкою усувного розриву, якщо існує , але ¦(x) не визначена в точці x0, або
2) точкою розриву 1-го роду, якщо існують односторонні границі ¦(x0-0), ¦(x0+0), але ¦(x0-0)¹¦(x0+0) (див. також зауваження 1);
3) точкою розриву 2-го роду, якщо не існує або дорівнює ¥ принаймні одна з границь ¦(x0-0), ¦(x0+0).
10. Знайти точки розриву функції, дослідити її характер, у випадку усувного розриву довизначити функцію по неперервності.
а) ; б) ; в) .
Розв’язування.
а) точка x0=0 є точкою розриву, так як функція не визначена в цій точці.
Знайдемо границю
Границя функції в точці x0=0 існує, значить точка x0=0 є точкою усувного розриву. Поклавши ¦(0)=1, отримаємо нову функцію, яка в точці x0=0 є неперервною.
б) функція розривна в точці x0=1.
Знайдемо односторонні границі:
Оскільки ¦(1+0)¹¦(1-0), то в точці x0=1 розрив 1-го роду.
в) функція має в точці x0=0 розрив 2-го роду, тому що
