МЕТОДИЧНА ВКАЗІВКА ДЛЯ СТУДЕНТІВ 1 КУРСУ

фармацевтичного факультету

ЗАНЯТТЯ № 5  (ПРАКТИЧНЕ – 6 ГОД.)

 

Тема Визначення ймовірностей випадкових подій. Способи задання закону розподілу випадкової величини. Характеристики розподілу випадкових величин.

Тема 1: Визначення ймовірностей випадкових подій.

Тема 2: Способи задання закону розподілу випадкової величини.

Тема 3: Характеристики розподілу випадкових величин

 

Мета: Навчитися знаходити ймовірності випадкових подій, використовуючи основні теореми теорії ймовірностей, формули повної ймовірності та формули Байєса. Навчити обчислювати кількість комбінацій певного типу, використовуючи основні формули комбінаторики. Ознайомити студентів з основними числовими характеристиками розподілу випадкових величин.

 

Професійна орієнтація студентів:

Будь-які процеси, що відбуваються в природі, в техніці чи в людському суспільстві, є наслідком взаємодії багатьох факторів. Щоб вміти впливати на той чи інший процес, бажано з’ясувати, яку роль в ньому відіграє кожний фактор окремо. Всі знайдені фактори прагнуть виразити кількісно, щоб для оцінювання їх ролі можна було застосовувати математичні методи. Саме тому для здобуття числових даних проводять спостереження та експерименти.

Саме тому результати окремих спостережень та експериментів неможливо передбачити абсолютно точно, вони є випадковими. Разом з тим, практичний досвід показує, що при проведенні масових спостережень та експериментів різноманітні випадковості нівелюються, взаємно знищуються. Середній результат масових випадкових явищ виявляется цілком передбачуваним і практично не випадковим.

Математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ, називається теоріїю ймовірностей. Використання методів теорії ймовірностей дозволяє уникнутизанадто складних досліджень окремих явищ. Методи теорії ймовірностей спрямовані на практичне застосування тих властивостей випадкових явищ, які проявляються в масових масштабах.

 

 Методика виконання практичної роботи (9:00–12:00).

 

Робота 1. Обстежуючи 250 людей за допомогою флюорографії було виявлено такі захворювання: у 7 людей пухлина у легенях, у 3-х — плеврит, у 5 — залишкові явища після запалення легень. Знайти ймовірності цих захворювань, виявлені за допомогою флюорографії.

Нехай кинули пральний кубик. Позначмо  — випала одиниця,  — 2,  — 3,  — 4, — 5,  — 6. Маємо шість подій , , , , , , які попарно несумісні, їхнє об’єднання — вірогідна подія, бо якась грань обов’язково випаде. Отже, ці шість подій утворюють повну систему подій.

До екзамену студент вивчив 20 білетів із 30. 1) Яка ймовірність того, що він витягне білет, якого не знає (подія А)? 2) Чи зміниться ймовірність цієї події, якщо раніше інший студент вже витягнув один білет із тих, які перший студент не вивчив, (подія В)?

Яка ймовірність того, що відмовившись від першого білету, студент витягне другий із тих, які вивчив (не вивчив)?

Робота 2. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

В аптечній шафі знаходиться 20 тюбиків тетрацикліну, 25 тюбиків фінал гону, 15 тюбиків еритроміцину, 18 тюбиків офлокоїну та 22 тюбики іхтіолової мазі. Усі тюбики однакові. Знайти ймовірність того, що навмання взятий тюбик буде тюбиком тетрацикліну або офлокоїну.

Кинули два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що хоча б на одному з них випаде трійка.

Робота 3. Теорема множення ймовірностей.

Медсестра доглядає за чотирма хворими. Ймовірність того, що перши хворий упродовж години потребуватиме допомоги медсестри є ; другий — , третій —  і четвертий — . Знайти ймовірність того, що усі четверо хворі упродовж години потребуватимуть допомоги медсестри.

Студент на екзамен вивчив 40 питань із 50. у білеті є три питання. Яка ймовірність того, що студент відповість: а) на перше запитання білету; б) на друге питання, за умови, що відповів на перше питання; в) на третє питання білету, якщо відповів на перше і друге; г) на увесь білет?

Медсестра доглядає за чотирма хворими. Ймовірність того, що перши хворий упродовж години потребуватиме допомоги медсестри є ; другий — , третій —  і четвертий — . Знайти ймовірність того, що упродовж години хоча б один хворий потребуватиме допомоги медсестри.

 

Робота 4. У першій коробці міститься 100 шприців, із них 95 стандартних, у другій — 50 шприців, із них 48 стандартних. З другої коробки навмання взяли шприц і переставили його у першу коробку. Знайти ймовірність того, що навмання взятий шприц з першої коробки є стандартний.

Два автомати випускають інсулін, який надходить на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомату удвічі більша за продуктивність другого. Перший автомат у середньому випускає 84% інсуліну відмінної якості, а другий — 96%. Навмання взятий з конвеєра інсулін виявився відмінної якості. Знайти ймовірність того, його виробив перший автомат.

Робота 4. Великій кількості людей N потрібно зробити аналіз крові на певне захворювання. Для цього утворюють групи по k осіб. Проби крові людей, що входять до однієї групи, змішуються і аналізується суміш. Якщо результат негативний, то одного аналізу досить для k осіб. Якщо ж він опзитивний, то кров кожного з k людей потрібно дослідити окремо і для k людей потрібно виконати k+1 аналіз.

Вважаючи, що ймовірність р позитивного аналізу одна і та ж, а результати аналізів для різних людей стохастично незалежні, знайти ймовірність того, що аналіз мішаної крові k осіб дасть позитивний результат.

 

Робота 5. Задати закон розподілу кількості аналізів (випадкова величина Х) при способі обстеження з прикладу 9, якщо загальна кількість осіб, яких потрібно обстежити, п=50, ймовірність захворювання р=0,02.

 

Програма самопідготовки студентів

1.      Випадкова подія. Види випадкових подій.

2.     Множини і основні поняття множин.

3.     Відносна частота появи події. Означення ймовірності випадкової події.

4.     Несумісні події. Залежні події. Повна група подій.

5.     Теорема додавання несумісних подій.

6.     Умовна ймовірність.

7.     Теорема множення ймовірностей залежних подій.

8.     Потворні випробування. Формула Бернуллі

 

Семінарське обговорення теоретичних питань:      (12:30-14:00)

 

Тестові завдання та ситуаційні задачі.

1. Медсестра доглядає за двома хворими. Ймовірність того що перший хворий покличе медсестру -Р=0,2, а другий – Р= 0,1. Знайти ймовірність того, що впродовж години медсестру покличуть обоє хворих.

A. 0,06

B. 0,08

C. 0,04

D. 0,02

E. 0,01

 

2. За допомогою флюорографії було обстежено 100 чоловік. У трьох чоловік було виявлено запалення легень, у чотирьох – бронхіт, у двох – плеврит. Яка ймовірність виявлення бронхіту?

A. 9/100

B. 3/100

C. 4/100

D. 2/100

E. 91/100

 

3. За допомогою флюорографії було обстежено 100 чоловік. У трьох чоловік було виявлено запалення легень, у чотирьох – бронхіт, у двох – плеврит. Яка ймовірність виявлення здорової людини?

A. 9/100

B. 3/100

C. 4/100

D. 2/100

E. 91/100

 

4. В аптеці знаходилося 15 ампул анальгіну, 20 – димедролу, 30 – новокаїну , 40 – ношпи, 25 – сибазолу. Навмання витягнули одну ампулу. Знайти ймовірність того, що витягнули ампулу анальгіну.

A. 15/130

B. 20/130

C. 30/130

D. 40/130

E. 25/130

 

5. В аптеці знаходилося 15 ампул анальгіну, 20 – димедролу, 30 – новокаїну , 40 – ношпи, 25 – сибазолу. Навмання витягнули одну ампулу. Знайти ймовірність того, що витягнули ампулу димедролу.

A. 15/130

B. 20/130

C. 30/130

D. 40/130

E. 25/130

 

Вихідний рівень знань та вмінь

Студент повинен знати:

1.     Випадкові події. Види випадкових подій. Операції над подіями.

2.     Класичне та статистичне означення ймовірності.

3.     Геометричне тлумачення ймовірності події.

4.     Означення залежних і незалежних подій.

5.     Означення сумісних і несумісних подій.

6.     Теорему про додавання ймовірностей несумісних і сумісних подій.

7.     Теорему про множення ймовірностей залежних і незалежних подій.

8.     Повну систему подій та використовувати множинний підхід при розв’язуванні основних  типів задач теорії ймовірності.

9.     Формулу обчислення повної ймовірності випадкових подій.

10.           Формулу Байєса.

11.           Що таке випадкова величина?

12.           Що таке закон розподілу?

13.           Основні числові характеристики закону розподілу випадкових величин?

 

Студент повинен вміти:

1.  Аналізувати випадкові події та здійснювати операції над ними на основі множинного підходу.

2.  Знаходити, користуючись означенням, ймовірності виникнення події.

3.  Геометрично тлумачити випадкові події та розв’язувати елементарні задачі теорії ймовірності, користуючись поняттями перерізу та об’єднання множин.

4.  Розв’язувати задачі, використовуючи теореми додавання ймовірностей.

5.  Розв’язувати задачі, використовуючи теореми множення ймовірностей.

6.  Знаходити ймовірність появи хоча б однієї події.

7.  Розв’язувати задачі на обчислення повної ймовірності випадкових подій.

8.  Знаходити за формулою Байєса ймовірності гіпотез після того, як результат випробовування відомо, у результаті якого відбулася подія.

9.  Знаходити основні числові характеристики закону розподілу випадкових величин.

 

Вірні відповіді на тести і ситуаційні задачі:

1. Д, 2. С, 3. Е, 4.А, 5.В

 

Самостійна робота студентів  (14:15–15:00)

 

Джерела інформації:

А – Основні:

1. Матеріали підготовки до практичних занять

2. Свердан П.Л. Вища математика. Математичний аналіз і  теорія ймовірностей: Підручник. –К: Знання, 2008. – 450 с.

3.     Свердан П.Л. Біометрія. Теорія наукових досліджень. Підручник. – К: Знання, 2010. – 440 с.

 

 

 

В – Додаткові:

1.     Свердан П.Л. Вища математика. Аналіз інформації у фармації та медицині: Підручник. – Львів: Світ, 1998. – 332 с.

2.     Чалий О.В., Стучинська Н.Ф., Меленєвська А.В. Вища математика: Навч.посібник для студ. мед. та фарм. Навч. закладів. – К.: Техніка, 2001. – 204 с.

3.     Ф.Г. Дягілева., Г.В.Жиронкіна, В.О.Тіманюк, Б.Ф.Горбуненко. Вища математика: Навч. посіб. – Х.: Вид-во НФАУ: Золоті сторінки, 2001. – 84 с.

 

 

Методичну вказівку склали: проф. В.П.Марценюк, доц. А.С.Сверстюк

 

Обговорено і затверджено на засіданні кафедри

“12” червня 2013р. протокол №12

 

Переглянуто і затверджено на засіданні кафедри

“____”______________20__р. протокол №____