Диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння
першого порядку
Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».
у ¢ = у — ДР першого порядку;
у ² + siny = 0 — ДР другого порядку;
у ¢¢¢ × у ¢ – у ² × у ² = 0 — ДР третього порядку.
ДР першого порядку в загальному вигляді можна подати так:
(1)
Це ДР не розв’язуване відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то подаємо його у вигляді
(2)
Означення. Розв’язком ДР називається функція у = j(х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.
Графік функції у = j(х) називається інтегральною кри-
вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.
ДР у ¢ = 2у має розв’язок у = е2х.
● Справді, підставляючи у ¢ = е2х × 2, у = е2х у ДР, дістаємо тотожність е2х × 2 º2 е2х.
Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у ¢ = 2у має розв’язок у = Се2х, де С — довільний сталий параметр.
Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.
Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР з частинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.
Задача Коші
Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = j(х) ДР (2), що задовольняє умову:
у = у0 при х = х0, (3)
називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у0, х0 — початковими значеннями.
Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиності розв’язку ДР.
Теорема 3.1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця
(4)
то при (х0, у0) Î D існує єдиний розв’язок ДР у = j(х), що задовольняє початкові умови (3).
ДР першого порядку має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.
ДР має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (х – с)3.
Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.
ДР у¢ = y має загальний розв’язок у формі Коші.
Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР
є інтеграл від f(x):
Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння y(х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція y(х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду y(х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.
ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х2 + у2 = с.
● Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х2 + у2 = с: d(x2 + y2) = dc Þ 2xdx + 2ydy = 0.
● Диференціюючи ДР, обчислюємо послідовно похідні
.
● Для коефіцієнтів а0, а1, а2, … маємо рівняння:
● Рівняння (11) набирає вигляду
● Розглянемо допоміжне ДР:
у¢ = mх + у2, m0 = 0,1, х0 = 0, у0 = 0.
● Інтегруючи ДР, знаходимо розв’язок
● Запишемо рівняння у вигляді
, ,
● Вважаючи у = ux, дістанемо ДР і його розв’язок:
u¢x + u = u, u¢x = 0, u = C = const, y = Cx.
● Беручи у = ux, знаходимо ДР для змінної u:
.
● Cпочатку перевіримо виконання умов (19):
● Маємо рівності:
Умова (19) не виконується. ДР, що розглядалось, не є ДР у повних диференціалах. Запишемо рівняння виду (21):
● Спочатку відшукуємо змінну v:
.
● Запишемо ДР у вигляді (ху)¢ = 3х2 і знайдемо загальний розв’язок
● Спочатку розв’яжемо однорідне ДР ху¢ + у = 0:
● Беручи , приходимо до лінійного ДР
xz¢ + z = –2x, (xz)¢ = – 2x, xz = – x2 + C,
● Беручи у¢ = z, у² = z¢, знижуємо порядок ДР і приходимо до ДР першого порядку z¢ + z = 0.
● Беручи у¢ = z, дістаємо і приходимо до ДР першого порядку:
● Застосовуючи заміну , приходимо до ДР першого порядку
● Доведення. Диференціюючи W(x), дістаємо ДР:
● Справді, нехай W(x) º 0. Це означає, що
● Справді, для розв’язування задачі Коші з початковими умовами
у(х0) = у0, у¢(х0) = у¢0
● Справді, нехай виконується рівність
.
● Справді, з формули (26)
● Однорідне ДР у² + у = 0 має загальний розв’язок
у = С1cos x + C2sin x.
● Характеристичне рівняння р3 – 6р2 + 11р – 6 = 0 має корені р1 = 1, р2 = 2, р3 = 3. Отже, загальний розв’язок має вигляд
у = С1ех + С2е2х + С3е3х.
Визначник Вронського для частинних розв’язків
у1 = ех, у2 = е2х, у3 = е3х
має вигляд
● Характеристичне рівняння р2 + 2р + 5 = 0 має корені
р = – 1 ± 2i, a = –1, b = 2. ДР має загальний розв’язок
у = С1е–хсos2x + C2e–xsin2x.
● Характеристичне рівняння:
р3 + 3р2 + 3р + 1 = 0, (р + 1)3 = 0
має трикратний корінь р0 = – 1. ДР має лінійно незалежні частинні розв’язки
у1 = е–х, у2 = хе–х, у3 = х2е–х.
Загальний розв’язок ДР визначається формулою
у = С1е–х + С2хе–х + С3х2е–х.
● Коливання маятника описуються ДР
,
де m — маса маятника; l — його довжина; j — кут відхилення маятника від вертикалі. При малих коливаннях маятника sinj » j. Інтегруючи ДР, приходимо до лінійного ДР зі сталими коефіцієнтами:
● Вводимо дві нові змінні у1 = у, у2 = у¢. Тоді ДР можна записати у вигляді системи рівнянь
або у вигляді системи (35):
Ця система рівнянь має фундаментальну матрицю розв’язків
яка задовольняє матричне ДР
Знаючи фундаментальну матрицю розв’язків N(x), можна знайти фундаментальну матрицю розв’язків, нормовану в точці х0:
Розв’язок задачі Коші має вигляд
.
Зауваження. Розв’язок системи лінійних ДР (35) можна записати у вигляді
і матрицю еАх знайти як функцію від матриці.
Розв’язок системи рівнянь (34) можна шукати у вигляді
уk = epxbk (k = 1, 2, …, n).
Для пошуку сталих bk (k = 1, 2, …, n) отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(36)
Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має ненульовий розв’язок, якщо визначник системи рівнянь дорівнює нулю:
. (37)
Це рівняння (37) називається характеристичним. Корені характеристичного рівняння є власними числами матриці А
Якщо рівняння (37) має різні корені р1, р2, …, рn, то система рівнянь (34) має різних розв’язків
і загальний розв’язок
Вектори
є власними векторами матриці А, що відповідає власним числам р1, р2, …, рn.
Випадок, коли рівняння (37) має кратні корені, нами не розглядається через його складність.
Знайдемо розв’язок системи ДР
● Шукаємо розв’язок у вигляді
і для сталих b1, b2 дістаємо систему рівнянь:
Теорема 3.3. Нульовий розв’язок рівняння (30) асимптотично стійкий у тому і тільки в тому випадку, коли всі характеристичні показники мають від’ємні дійсні числа.
Доведення. Розглянемо частинний розв’язок ДР (30)
Теорема 3.4. Для того, щоб усі корені рівняння
● Побудуємо характеристичне рівняння
Умови Гурвіца набирають вигляду: а + 1 > 0, – a > 0, тобто система має асимптотично стійкий розв’язок при а Î (– 1; 0).
Метод функцій Ляпунова. А. Н. Ляпунов створив методи дослідження стійкості розв’язків ДР, які розробляються і сьогодні. Одним і найважливіших методів дослідження стійкості лінійних і нелінійних ДР є метод функцій Ляпунова. Викладемо основні результати для системи лінійних ДР (34).
Розглянемо дві квадратичні форми
і рівняння Ляпунова
(38)
Теорема 3.5. Для того, щоб нульовий розв’язок системи лінійних ДР (34) був асимптотично стійким, необхідно і достатньо, щоб для деякої додатно визначеної квадратичної форми w(Y) існував розв’язок v(X) рівняння у вигляді додатно визначеної квадратичної форми.
Дослідимо на стійкість розв’язків системи ДР
● Нехай . Шукаємо v(Y) у вигляді
.
Рівняння (38) набирає вигляду
● Запишемо ДР у вигляді системи
Однорідне лінійне ДР зі сталими коефіцієнтами
(39)
можна подати у вигляді
Якщо ввести позначення для диференціального оператора
то рівняння (39) можна записати в операторній формі
(40)
Теорема 3.6. Диференціальний оператор L(D) задовольняє властивість
(41)
Доведення. Розглянемо частинний випадок
тобто . Аналогічно отримаємо рівність
Домножуючи ці рівності на коефіцієнти аn–k і додаючи, отримаємо рівність (41).
Теорема 3.7. Якщо характеристичне рівняння
Доведення. Підставивши у = Rk(x) у ДР, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для коефіцієнтів с0, с1, …, сk:
Ця система рівнянь завжди розв’язується, якщо а0 ¹ 0.
Знайдемо частинний розв’язок ДР
● Шукаємо частинний розв’язок у вигляді многочлена третього степеня
Підставляючи у у ДР і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, знаходимо систему рівнянь
Теорема 3.9. Якщо в лінійному ДР коефіцієнти при обертаються в нуль, тобто маємо ДР
частинний розв’язок може бути знайдений у вигляді
● Частинний розв’язок шукаємо у вигляді
Підставляючи у в ДР і визначаючи коефіцієнти, знаходимо частинний розв’язок
Щоб спростити знаходження частинного поліноміального розв’язку, можна розкласти обернений оператор за степенями D.
Знайдемо розв’язок ДР
● Запишемо розв’язок у вигляді
і розкладемо диференціальний оператор за степенями D. Маємо частинний розв’язок
