06.Закони розподiлу випадкових величин

Вправи.

Home » 06.Закони розподiлу випадкових величин

8 Червня, 2024

Закони розподілу дискретних випадкових величин. Закони розподілу неперервних випадкових величин.

Локальна та інтегральна теореми Муавра – Лапласа.Формула Пуассона

Якщо число випробувань n велике, то застосування формули Бернуллі приводить до громіздких обчислень. Тому в таких випадках користуються асимптотичними формулами.

Локальна теорема Муавра-Лапласа.

Якщо ймовірність р появи події А в кожному знезалежних випробувань стала, причому а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А настане m разів, визначається за формулою:

(1)

де .

Функція парна: . Є таблиці (додаток 1), в яких наведені значення функції , що відповідають додатним значенням аргументу; для x>5 приймають .

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А в кожному знезалежних випробувань стала, причому 0<p<1, а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А настане не менше mi разів і не більше m2 разів, визначається за формулою

(2)

де Ф(х) – функція Лапласа.

Функція Лапласа непарна: . Є таблиці (додаток 2) значень цієї функції для додатних значень х: для х>5 приймають Ф(х) » 0,5 .

Приклад 1. Ймовірність виходу з ладу за час t одного конденсатора дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів вийдуть з ладу: а) 18 конденсаторів; б) не менше 16 і не більше 26 конденсаторів.

Розв’язання. а) за формулою р=0,2; n = 100; m = 18; q = 1-0,2 = 0,8.

Оскільки n = 100 – досить велике число, то застосуємо локальну теорему Муавра – Лапласа. Обчислимо значення

Шукана ймовірність

За таблицею значень функції знайдемо . Отже

б) За умовою задачі m₁ = 16; m₂ = 26; n = 100; p = 0,2; q = 0,8. Скористаємось інтегральною теоремою Муавра-Лапласа. Обчислимо значення

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, отримаємо

За таблицею значень функцій Лапласа знайдемо Ф(1,5) = 0,4332; Ф(1) =0,3413. Шукана ймовірність .

Формула Пуассона. Якщо в кожному знезалежних випробувань ймовірність р появи події А стала і мала (р<0,1), а число випробуваньдосить велике, то ймовірність того, що подія А настане в цих випробуваннях m разів, визначається за формулою:

(3)

де

Для функції , яка є функцією двох змінних, складені таблиці (додаток 3).

Приклад 2. Завод відправив споживачу партію із 1000 виробів. Ймовірність пошкодження в дорозі кожного із виробів дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що споживач отримає 3 пошкоджені вироби.

~~11.5.~~

Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються у випадкові моменти часу. Найпростішим називається потік подій, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності.

Властивість стаціонарності полягає в тому, що ймовірність появи m подій потоку за будь-який проміжок часу t і не залежить від початку відліку часу.

Властивість відсутності післядії полягає в тому, що ймовірність появи m подій за будь-який проміжок часу не залежить від того, скільки подій появилось в попередні моменти часу.

Властивість ординарності, полягає в тому, що поява двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможлива, тобто за малий проміжок часу може появитися не більше однієї події потоку.

Інтенсивністю λ потоку називається середнє число подій, які появляються за одиницю часу.

Якщо відома стала інтенсивність потоку, то ймовірність появи m подій найпростішого потоку за час t визначається за формулою Пуассона

(1)

Приклад 1. Середнє число викликів, які надходять на АТС за 1 хв., дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за 3 хв. на АТС надійде: а) чотири виклики; б) менше чотирьох викликів.; в) не менше чотирьох викликів. Припускається, що потік викликів найпростіший.

Розв’язання. а) За умовою λ = 2; t = 3; m = 4. Скористаємось формулою Пуассона (1). Ймовірність того, що за 3хв., надійде чотири виклики

При обчисленні Р₃(4) використано таблицю значень функцій Пуассона. б) Подія “надійшло менше чотирьох викликів” відбудеться, якщо появиться одна з наступних несумісних подій: 1) не надійшло жодного виклику; 2) надійшов один виклик; 3) надійшло два виклики; 4) надійшло три виклики. Застосуємо теорему додавання ймовірностей для несумісних подій:

в) Події “надійшло менше чотирьох викликів” та “надійшло не менше чотирьох викликів” протилежні, тому ймовірність того, що за 3 хвилини надійде не менше чотирьох викликів

Вправи.

12.1. При сталому технічному процесі протягом 1 години на 1000 веретенах відбувається 10 обривів. Визначити ймовірність того, що протягом години на 300–х веретенах відбудеться 7 обривів.

12.2. Схожість зерна, що зберігається, дорівнює 80%. Визначити ймовірність того, що серед висіяних 1000 зерен зійде від 760 до 830 зерен.

12.3. У банк відправлено 2000 пачок грошових знаків. Ймовірність того, що пачка містить недостатню або більшу кількість грошових знаків, дорівнює 0,0005. Знайти ймовірність того, що під час перевірки буде виявлено помилково укомплектовані пачки.

Випадкові величини

Дискретні випадкові величини.

1. Поняття дискретної випадкової величини та її закону розподілу.

Випадкова величина, яка зв’язана з деяким дослідом, є якісною характеристикою досліду. Кількісною ж характеристикою результату проведеного досліду є випадкова величина до розгляду якої ми приступаємо

Приклад 1. Кидаємо дві монети. Скільки з них випаде гербом вверх?

Розв’язання. При киданні двох монет простір елементарних подій буде мати вигляд {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}, де Ц – “цифра”, Г – “герб”. Перший символ показує, як випала перша монета, а другий – друга монета. Наприклад ЦГ означає, що перша монета випала цифрою вверх, а друга – гербом. Оскільки монети є правильні і однорідні, то можна рахувати, що всі елементарні події є рівноможливими, і тоді ймовірність р кожної з них дорівнює ¼. Позначимо через Х число монет, які випали гербом вверх, складемо таблицю:

	ЦЦ	ЦГ	ГЦ	ГГ
Х	0	1	1	2
р	1/4	1/4	¼	1/4

Табл. 1.

Так, як елементарним подіям ЦГ і ГЦ відповідає одне і те ж значення величини Х, рівне 1, то можна вважати, що це значення величина Х прийме з ймовірністю . Таким чином, значення величини Х – число монет, що випали гербом вверх та відповідні їм ймовірності можна записати у вигляді таблиці

Х	0	1	2
р	¼	1/2	1/4

Табл 2.

Отже, кожне значення величини Х є число, яке визначається результатом досліду і залежить від випадку.

Означення 1. Випадковою називається величина, яка в результаті досліду приймає з визначеною ймовірністю те чи інше значення, яке залежить від результату досліду. Випадкові величини позначаються великими буквами латинського алфпвіту: X, Y, Z і т.д., а їх значення малими буквами: x, y, z.

Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна, або зліченна, тобто множина її значень представляє собою послідовність х1, х2, … хn … . Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення х, позначають

Р(х) = Р(Х=х).

Означення 3. Відповідність між можливими значеннями х1, х2, … хn випадкової величини Х та їх ймовірностями р1,р2, … рn називають законом розподілу випадкової величини Х.

Закон розподілу випадкової величини переважно представляють у вигляді таблиці:

Х	х1	х2	…	хі	…	хn
Р	р1	р2		рі		рn

Табл. 3.

Події Х=х₁, Х=х₂, … Х=х_n утворюють повну систему попарно несумісних подій, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

р₁ + р₂ +…+ р_n = 1. (1)

Так, в прикладі 1 закон розподілу випадкової величини Х – кількості випавших гербом вверх монет – може бути задано таблицею 2.

Приклад 2. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – кількості очок, що випали при киданні правильного грального кубика, має вигляд заданий табл. 4:

2. Біномінальний розподіл. Нехай випадкова величина Х – кількість появи події А внезалежних дослідах, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р, а непояви – q=1-p. Очевидно, що Х може приймати значення 0,1,2, …,ймовірності яких обчислюються по формулі Бернуллі

(2)

Означення 4. Закон розподілу випадкової величини Х, який має вигляд таблиці 5:

Х	0	1	2	…	m	…	N
р				…		…

Табл.5.

називається біномінальним розподілом.

Таку назву він одержав у зв’язку з тим, що ймовірності (2) співпадають з відповідними членами біному (p+q)n:

(3)

Приклад 3. Скласти закон розподілу числа попадання в ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,9.

Розв’язання. Випадкова величина Х – число попадань в ціль при чотирьох пострілах – може прийняти значення 0,1,2,3,4, а відповідні їм ймовірності знаходимо за формулою Бернуллі (2):

Отже, даний закон розподілу можна представити таблицею:

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Табл.6.

Зауваження. Оскільки формулу (3) можна записати у вигляді:

(4)

і оскільки p+q=1, то з (4) отримаємо, що:

(5)

Для знаходження найімовірнішого числа m₀ появи події за заданим n і p можна користуватись нерівностями:

(6)

При досить великій кількості випробувань зручно користуватися наближеною формулою Лапласа:

(7)

де q=1-p, 0<р<1. При досить великомуі малому р використовується наближена формула Пуассона:

, де λ = np (8

і тоді такий розподіл буде називатися Пуассоновим розподілом. У механічній інтерпретації розподіл ймовірностей випадкової величини вказує на те, яка частка всієї ймовірності припадає на те чи інше значення випадкової величини.

Важливими числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподіввання і дисперсія цієї величини.

3. Математичне сподівання. Крім закону розподілу, який дає повне представлення про випадкову величину, часто використовуються числа, які описують випадкову величину сумарно. Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини. Серед числових характеристик однією з основних є математичне сподівання, яке вказує, яке середнє значення випадкової величини можна чекати в результаті випробування.

Означення 5. Математичним сподіванням М(х) дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень хі на їх ймовірність рі:

(9)

Приклад 4. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, знаючи її розподіл (табл.7).

Х	-1	0	1	2	3
р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Табл.7

Розв’язання. За формулою (9) знайдемо:

Основними властивостями математичного сподівання є:

1. Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання:

М(СХ)=СМ(Х) (10)

2. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

М(X+Y)=M(X)+M(Y) (11)

3. Математичне сподівання постійної величини С дорівнює самій цій величині:

М(С)=С. (12)

4. Математичне сподівання лінійної комбінації випадкових величин дорівнює лінійній комбінації їх математичних сподівань:

(13)

5. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку (14)

Отже, у механічній інтерпретації М(Х) є не що інше, як центр системи мас (ймовірностей), розподілених дискретно вздовж осі абсцис так, що на точку з абсцисою х_к припадає маса (ймовірність) р_к, причому .

Х_с = М(Х)

4. Дисперсія.

Розглянемо слідуючий приклад.

Приклад 5. Знайти математичне сподівання випадкових величин Х і У, знаючи закони їх розподілів (табл 8 і 9).

Х	-8	-4	-1	1	3	7
р	1/12	1/6	1/4	1/6	1/12	1/4

Табл.8

У	-2	-1	0	1	2	3
р	1/6	1/6	1/12	1/3	0	1/4

Розв’язання. За формулою (9) маємо

Ми отримали цікавий результат: закони розподілу величини Х і У різні, а їх математичні сподівання однакові.

Рис.4.

З рис. 4,б видно, що значення величини У більше зосередженні біля математичного сподівання М(У), ніж значення величини Х, які розкидані (розсіяні) відносно М(Х) (рис.4а). Отже, розподіл значень величини У є кращим. Щоб це встановити, не обов’язково наносити на числову пряму значення величини, достатньо обчислити дисперсію, яка є основною числовою характеристикою ступеня розсіяння значення випадкової величини х відносно їх математичного сподівання М(х). Вона позначається D(х).

Означення 6. Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х та її математичним сподіванням М(Х), тобто Х – М(Х).

Зауважимо, що відхилення Х – М(Х) та його квадрат (Х-М(Х))² також є випадковими величинами і тому тут можна знаходити їх математичне сподівання. Причому, якщо випадкова величина Х розподілена за законом, заданим табл.3, то квадрат її відхилення має слідуючий закон розподілу (табл 10)

(Х-М(Х))²	(х₁ – М(Х))²	(х₂ – М(Х))²	…	(х_n – М(Х))²
р	р₁	р₂	…	р_n

Табл.10

Введемо тепер означення дисперсії випадкової величини Х.

Означення 7. Дисперсією дискретної випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрату її відхилення:

(15)

Основними властивостями дисперсії є:

1. Дисперсія постійної величини С рівна нулю

D(C) = 0 (16)

2. Якщо Х – випадкова величина, а С – постійна, то

D(CX)=C2D(X) (17)

D(X+C)=D(X) (18)

3. Якщо Х і Y незалежні випадкові величини, то

D(X+Y)=D(X)+D(Y) (19)

Для обчислення дисперсії більш зручною є формула

D(X)=M(X2)-(M(X))2 (20)

Дійсно: D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2 · X · M(X)+(M(X))2) = M(X2) – 2 · M(X) · M(X)+(M(X))2 = M(X2) – (M(X))2.

Приклад 6. Дискретна випадкова величина розподілена за законом (табл 11)

Х	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Табл.11.

Знайти D(X).

Розв’язання.

Спочатку знайдемо

М(Х) = – 1 · 0,2 + 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 = 0,9

а потім

М(Х²) = (-1)² · 0,2 + 0² · 0,1 + 1² · 0,3 + 2² ·0,4 = 2,1.

По формулі (20) маємо D(X) = M(X²) – M²(X) = 2,1 – (0,9)² = 1,29.

Приклад 7. Порівняти дисперсії випадкових величин, які задані законами розподілу (табл 12 і 13)

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

Табл.12

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

Табл.13

Розв’язання. Знайдемо

М(Х) = (-1) · 0,48 + 1 · 0,01 + 2 · 0,09 + 3 · 0,42 = 0,97;

М(Х²) = (-1)² · 0,48 + 1² · 0,01 + 2² · 0,09 + 3² · 0,42 = 4,63;

D(X) = 4,63 – (0,97)² = 3,69;

M(Y) = -1 · 0,19 + 1 · 0,51 + 2 · 0,25 + 3 · 0,05 = 0,97;

M(Y) = (-1²) · 0,19 + 1² · 0,51 + 2² · 0,25 + 3² · 0,05 = 2,15;

D(Y) = 2,15 – 0,97² = 1,21.

Одержані результати показують, що не дивлячись на те, що значення математичних сподівань випадкових величин X і Y однакові, їх дисперсії різні, причому D(X)>D(Y). Це означає, що випадкова величина Y з більшою ймовірністю приймає значення, близьке до математичного сподівання, ніж випадкова величина Х.

Отже, дисперсія характеризує ступінь розсіювання ймовірностей випадкової величини навколо математичного сподівання (середнього значення). У механічній інтерпретації дисперсії – це момент інерції відносно центра мас із загальною одиничною масою, розподіленою вздовж осі абсцис так, що в точці з абсцисою х_к знаходиться маса р_к.

Часто для характеристики розсіювання ймовірностей користуються не дисперсією, а так званим середнім квадратичним відхиленням σ_к (або стандартом), яке дорівнює

(21)

Для випадкової величини, розподіленої за біномінальним законом М(Х) = np, D(X) = npq.

Для довільної випадкової величини Х і будь – якого додатнього числа ε справедлива нерівність Чебишова

(22)

Або в іншому варіанті

(23)

Зокрема, для випадкової величини Х – числа настання події А в серії з

незалежних дослідів, у кожному з яких А настає з ймовірністю р, матимемо

Звідки дістанемо Теорему Бернуллі або закон великих чисел

, (24)

який стверджує, що частота настання події А в серії з випробувань наближається до ймовірності події А із зростанням n.

Приклад 8. Ймовірність появи деякої події в кожному з 1000 дослідів дорівнює 0,2. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що відхилення сподівання цієї події від математичного сподівання буде більше 30.

Розв’язання. Число появ події в n = 1000 дослідах є випадкова величина Х, яка розподілена за біномінальним законом. Тому її математичне сподівання і дисперсію знайдемо за формулами М(Х) = np, D(X) = npq. Маємо М(Х) = 1000 · 0,2 = 200, D(X)=1000·0,2·0,8=160. Користуючись нерівністю Чебишова при ε = 30, дістанемо

Приклад 9. Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити з допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що серед 1500 новонароджених хлопчиків буде від 700 до 800.

Розв’язання. Маємо біномінальний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому М(Х) = 1500 · 0,5 = 750, D(X) = 1500 · 0,5 · 0,5 = 375. Оскільки числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700<X<800 можна замінити еквівалентною їй X – 750 < 50.

Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85.

Номер інтервалу

Частковий інтервал (х_і,х_і+1)

[97,2; 98,3)

[98,3; 99,4)

[99,4; 100,5)

[100,5;101,6)

[101,6;102,7]

Сума частот варіант, які потрапили в частковий інтервал n_і

1.1. Скласти закон розподілу кількості попадань в ціль при шести пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі рівна 0,4.

1.2. Ймовірність того, що студент знайде в бібліотеці потрібну йому книгу, рівна 0,3. Скласти закон розподілу числа бібліотек, які він відвідає, якщо в місті чотири бібліотеки.

1.3. Мисливець стріляє по цілі до першого попадання, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Знайти дисперсію числа промахів, якщо ймовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,7.

1.4. Знайти математчине сподівання випадкової величини Х, якщо закон її розподілу заданий таблицею

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

1.5 На заводі працює 4 автоматичних лінії. Ймовірність того, що на протязі робочої зміни першій лінії не потрібно регулювання, рівна 0,9, другій – 0,8, третій – 0,75, четвертій – 0,7. Знайти математичне сподівання кількості ліній, яким на протязі зміни не потрібне регулювання.

1.6. Знайти дисперсію випадкової величини Х, знаючи закон її розподілу:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

1.7. Знайти математичне сподівання та дисперсію кількості бракованих виробів в партії з 5000 виробів, якщо кожен виріб може виявитися бракованим з ймовірністю 0,02.

1.8. З урни, яка містить 2 білі і 3 чорні кулі, навмання виймають дві кулі. Знайти МХ і DX, якщо Х – кількість вийнятих білих куль.

1.9. Маємо 4 лампи, кожна з яких з ймовірністю 1/3 має брак. При закручуванні в патрон бракована лампа зразу перегоряє, і тоді закручується наступна. Розглянути випадкову величину Х – кількість закручених ламп. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.

1.10. При киданні трьох гральних кубиків гравець виграє 10 гривень, якщо на всіх кубиках випаде по шість очок. У випадку, коли випало шість очок тільки на двох кубиках, гравець одержує одну гривню. Скільки повинен коштувати білет, який дає право на гру, щоб гра була вигідною організатору?

1.11. Мішень в тирі представляє собою круг, який розділений на три одинакові сектори, які пронумеровані цифрами 1,2,3. Під час пострілу мішень обертається так, що стрілок не бачить секторів, стріляє навмання. При попаданні в сектор 1 стрілок виграє 1 гривню, в сектор 2 – дві гривні, в сектор 3 – три гривні. Вартість квитка, який дає право на один постріл – півтори гривні. Чи вигідна така гра тому, хто попадає в мішень з ймовірністю 1) 0,7; 2)0,8; 3)0,75

Функція розподілу ймовірностей випадкової величини.

Як дискретну, так і неперервну випадкову величину можна задати функцією розподілу F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробувань прийме значення менше від х, тобто

(1)

Функція розподілу будь-якої випадкової величини є неспадною функцією аргументу х, причому

Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то F(x) = = 0 при х < a, F(x) = 1 при x > b.

Ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, яке задовольняє подвійну нерівність

(2)

Можна уточнити означення неперевної випадкової величини: випадкова величина Х називається неперевною, якщо її функція розподілу F(x) неперевна при всіх х, а похідна функції розподілу неперервна в усіх точках, крім, можливо, скінченного числа точок на будь-якому скінченному інтервалі.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме одне певне значення х₀, дорівнює нулю, тобто Р(Х = х₀) = 0. Тому для неперервної випадкової величини Х

Приклад 1. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу

х_і	2	4	5	6
р_і	0,1	0,2	0,4	0,3

1. Побудувати многокутник розподілу. 2. Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Розв’язання. 1. Побудуємо прямокутну систему координат, причому на осі абсцис будемо відкладати можливі значення х_і, а на осі ординат відповідні ймовірності р_і . Побудуємо точки М₁ (2;0,1), М₂(4;0,2), М₃(5;0,4), М₄(6;0,3) та з’єднаємо їх послідовно відрізками прямих. Одержимо шуканий многокутник розподілу:

Рис.5.

2. За означенням функція розподілу F(x) = P(X<x). Якщо x ≤ 2, то F(x) = 0, оскільки значень які менші від 2, випадкова величина Х не приймає.

Якщо , то F(x) = 0,1. Дійсно, Х може прийняти тільки значення 2 з ймовірністю 0,1. Якщо , то F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Дійсно, Х може прийняти значення 2 з ймовірністю 0,1 і значення 4 з ймовірністю 0,2; отже, одне з цих значень випадкова величина Х може прийняти з ймовірністю 0,3 (за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій). Якщо 5 < x < 6, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7 (пояснення аналогічне).

Якщо X>6, то F(x) = 1, оскільки в цьому випадку подія Х < x є достовірною.

Отже, шукана функція розподілу має вигляд

Побудуємо графік цієї функції

Рис.6.

Приклад 2. Неперервна випадкова величина Х задана на всій осі Ох функцією

розподілу

1. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (-1;1).

2. Побудувати графік функції F(x).

Розв’язання.

2. Побудуємо графік функції розподілу F(x).

Рис.7

Густина розподілу ймовірностей неперевної випадкової величини.

Густиною розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається перша похідна від її функції розподілу

(1)

Густина розподілу ймовірностей існує тільки для неперервних випадкових величин. Густина розподілу ймовірностей невід’ємна, тобто , оскільки F(x) – не спадна функція.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (a;b),

(2)

Невласний інтеграл , оскільки він визначає ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х в результаті випробування прийме будь-яке значення з інтервалу .

Якщо задана густина розподілу ймовірностей f(x) неперервної випадкової величини Х, то її функція розподілу F(x) визначається за формулою:

(3)

Приклад 1. Неперервна випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей:

Знайти: а) сталий параметр С; б) функцію розподілу F(x).

Розв’язання. А) Густина розподілу f(x) повинна задовольняти умову: . В даному випадку .

Оскільки , то С = 3.

Б) для знаходження функції розподілу F(x) використаємо формулу (3)

Якщо , то

Якщо

Отже, шукана функція розподілу

Числові характеристики випадкових величин.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається

сума добутків всіх її можливих значень на відповідні ймовірності

(1)

Якщо дискретна випадкова величина Х може приймати зчислену множину значень, то при умові, що цей ряд абсолютно збіжний.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю

(2)

де f(x) – густина розподілу ймовірностей випадкової величини Х. Припускається, що невласний інтеграл збігається абсолютно, тобто існує інтеграл .

Зокрема, якщо всі можливі значення неперервної випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то

(3)

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання:

D(X) = M[(X – M(X))²] (4)

Дисперсія випадкової величини Х є мірою розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Дисперсію обчислюють за формулою

D(X) = M(X²) – [M(X)]² (5)

Для дискретної випадкової величини Х формула (5) має вигляд:

(6)

Для неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі Ох, одержимо

(7)

Якщо можливі значення неперервної випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то

(8)

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь із її дисперсії

(9)

Приклад 1. В партії 25 деталей, серед яких є 6 нестандартних. Із цієї партії вибрані навмання для перевірки якості 3 деталі. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х – числа нестандартних деталей, що містяться у вибірці.

Розв’язання. Можливі значення випадкової величини Х: х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2; х₄ = 3. Ймовірність того, що в цій вибірці виявиться рівно m(m = 0,1,2,3) нестандартних деталей, обчислюється за формулою:

Виконавши обчислення, отримаємо:

Одержали закон розподілу даної випадкової величини Х

х_і	0	1	2	3
р_і	0,42	0,45	0,12	0,01

За формулою (1) математичне сподівання випадкової величини Х

Дисперсію випадкової величини Х обчислимо за формулою (6)

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х

Приклад 2. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу

Знайти: 1) Густину розподілу ймовірностей f(x). 2) Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Побудувати графік функції F(x) i f(x).

Розв’язання. 1. Густина розподілу ймовірностей f(x) дорівнює похідній від функції розподілу F(x): . Отже

2. Оскільки всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (0;π), то користуючись формулою (3) отримаємо:

Інтегруючи за частинами, знаходимо

Дисперсію D(X) обчислимо за формулою (8):

Інтегруючи двічі за частинами, одержимо

Остаточно отримаємо

Середнє квадратичне відхилення

Побудуємо графік функції F(x) і f(x).

Рис.8 Рис.9

Рівномірний та показниковий закони розподілу.

Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається рівномірним в інтервалі (a;b), якщо всі її можливі значення містяться в цьому інтервалі і густина розподілу ймовірностей стала на цьому інтервалі.

Якщо неперервна випадкова величина Х розподілена рівномірно в інтервалі (a;b), то її густина розподілу ймовірностей f(x) має вигляд:

(1)

Користуючись формулою (3.3), отримаємо функцію розподілу F(x) цієї випадкової величини Х:

(2)

Ймовірність того, що рівномірно розподілена на інтервалі (a;b) випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (a,β) , обчислюється за формулою:

. (3)

Математичне сподівання рівномірно розподіленої в інтервалі (a;b) випадкової величини Х

Дисперсія цієї випадкової величини Х

Приклад 1. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази амперметра заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відрахунку буде зроблена помилка: а) менша ніж 0,01А; б) більша ніж 0,03А.

Розв’язання. а) Помилку заокруглення можна розглядати як випадкову величину Х, яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми поділками шкали. В даній задачі довжина інтервалу, в якому містяться можливі значення випадкової величини Х, дорівнює 0,1. Помилка відрахунку буде менша від 0,01А, якщо 0 < X < 0,01 або 0,09 < X < 0,1.

Застосувавши формулу (3), отримаємо:

б) Помилка відрахунку буде більша від 0,03 А, якщо 0,03 < X < 0,07

Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається показниковим, якщо густина розподілу ймовірностей цієї випадкової величини має вигляд:

(4)

де λ – додатнє число.

Функція розподілу показникового закону

(5)

Ймовірність попадання в інтервал (α;β) неперервної випадкової величини Х, яка розподілена за показниковим законом, обчислюється за формулою:

(6)

Математичне сподівання випадкової величини Х, розподіленої за показниковим законом,

Дисперсія цієї випадкової величини Х

Середнє квадратичне відхилення

Приклад 2. Неперервна випадкова величина Т – тривалість часу безвідмовної роботи пристрою, розподілена за показниковим законом з функцією розподілу F(t) = 1- e^-0,03^t (t> 0) Знайти ймовірність того, що за час тривалістю t = 100 год: а) пристрій відмовить; б) пристрій не відмовить.

Розв’язання. а) Оскільки функція розподілу F(t) = P (T < t), то вона визначає ймовірність

того, що за час тривалістю t пристрій відмовить. Підставивши t = 100 у функцію розподілу, отримаємо ймовірність відмови пристрою за час тривалістю t = 100 год:

F(100) = 1 – e^-3 = 0,95

б) Події “пристрій відмовить за час тривалістю t = 100год” і “пристрій не відмовить за час тривалістю t = 100год” протилежні. Тому ймовірність того, що пристрій не відмовить за час тривалістю t = 100год.

Р = 1 – 0,95 = 0,05.

Нормальний закон розподілу. Поняття про центральну граничну теорему Ляпунова.

Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається нормальним, якщо густина роподілу ймовірностей цієї випадкової величини має вигляд

(1)

де а – математичне сподівання, σ – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

Ймовірність того, що нормально розподілена впадкова величини Х в результаті випробувань прийме значення, яке належить інтервалу (α;β), обчислюється за формулою:

(2)

де Ф(х) – функція Лапласа, .

Ймовірність того, що абсолютні величини відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від її математисного сподівання буде меншою від заданого числа ε > 0.

(3)

Нормальний закон є законом розподілу, який найчастіше зустрічається на практиці. За цим законом розподілено багато випадкових величин, наприклад випадкової похибки вимірювання, відхилення розмірів деталей від номінального, відхилення точки падіння снаряду від цілі. Чим це пояснюється? Відповідь на це питання дає центральна гранична теорема Ляпунова. Зміст цієї теореми: якщо випадкова величина Х є сумою дуже великого числа незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму дуже малий, то випадкова величини Х має розподіл, близький до нормального.

Сформулюємо центральну граничну теорему для однаково розподілених доданків: якщо Х₁, Х₂, Х₃, … Х_n – незалежні випадкові величини, які мають однакові закони розподілу з математичним сподіванням а і дисперсією σ² , то при необмеженому зростанні n закон розподілу суми Х=Х₁+ Х₂+ Х₃+ … + Х_n необмежено наближається до нормального.

Розглянемо середнє арифметичне цих випадкових величин . При

досить великому n випадкова величина також має розподіл, близький до нормального.

Оскільки , то ймовірність того, що в результаті випробування прийме значення з інтервалу (α;β)

(4)

Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середнього арифметичного від математичного сподівання а буде меншою від заданого числа ε > 0,

(5)

Приклад 1. Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнюють відповідно 10 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке знаходиться в інтервалі (8,15).

Розв’язання. Скористаємося формулою (2). Підставивши значення α = 8, β = 15 а = 10, σ= = 4, одержимо

За таблицею значень функції Лапласа знайдемо Ф(1,25) = 0,3944; Ф(0,5) = 0,1915. Шукана ймовірність Р(8 < X < 15) = 0,5859.

Приклад 2. Вимірюють діаметр вала без систематичних похибок. Випадкові похибки вимірювання Х підпорядковані нормальному закону з математичним сподіванням а = 0 і середнім квадратичним відхиленням σ = 20мм. Знайти ймовірність того, що із трьох незалежних вимірювань похибка хоча б одного вимірювання не перевищить по абсолютній величині 10мм.

Розв’язання. Спочатку знайдемо ймовірність того, що одне вимірювання буде виконане з похибкою, яка не перевищує по абсолютній величині 10мм. Використаємо формулу (3). Підставивши значення а = 0, σ = 20, ε = 10, отримаємо

Отже, р = 0,383. Ймовірність того, що одне вимірювання буде виконане з похибкою, яка перевищує по абсолютній величині 10мм, q = 1- p = 0,617. Нехай подія А полягаєв тому, що похибка хоч би одного з трьох незалежних вимірювань не перевищить по абсолютній величині 10мм. Тоді , де – протилежна подія, яка полягає в тому, що похибки всіх трьох вимірювань перевищать по абсолютній величині 10мм.

Шукана ймовірність Р(А) = 1 – 0,235 = 0,765.

Приклад 3. Нехай Х₁, Х₂, … Х_n – незалежні однаково розподілені випадкові величини з математичним сподіванням а і дисперсію σ² = 3; – середнє арифметичне випадкових величин Х₁, Х₂, … Х_n. Знайти таке додатнє число

ε, щоб з ймовірністю γ = 0,95 можна було чекати, що середнє арифметичне відхилиться від математичного сподівання а по абсолютній величині менше ніж на ε, якщо n = 2700.

Розв’язання. Використаємо формулу (5)

Позначимо , тоді 2Ф(t) = 0,95; Ф(t) = 0,475. За таблицею значень функції Лапласа знайдемо Ф(1,96) = 0,475.

Отже, t = 1,96, тобто . Для знаходження ε одержали рівняння

, звідки ε = 0,065.

Вправи.

1. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

Х	1	4	6
р	0,3	0,4	0,3

Знайти функцію розподілу F(x) і побудувати її графік.

2. Випадкова величина задана функцією розподілу

Потрібно: а) знайти густину розподілу ймовірностей; б)побудувати графік функції розподілу та густини розподілу ймовірностей; в) обчислити ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина набуде значення з проміжків (0,6;1,2), (1;2), використовуючи функцію розподілу; г) знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

3. Густина розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:

Знайти F(x) – функцію розподілу.

4. Нормально розподілена величина Х задана густиною розподілу у вигляді функції

Знайти ймовірність того, що величина х в результаті випробування:

а) набуде значення з інтервалу (-5;-2);

б) відхиляється від математичного сподівання не більше ніж на 3.

5. Деталь вважається бракованою, якщо її довжина відхиляється від заданої на 0,2. Знайти оцінку ймовірності того, що деталь, довжина якої задана законом розподілу

Х	0,3	0,6
р	0,2	0,8

вважатиметься бракованою.

Системи випадкових величин.

3.1. Закон розподілу ймовірностей системи двох дискретних випадкових величин.

Системою випадкових величин називається сукупність випадкових величин, яка розглядається як єдине ціле. Систему двох випадкових величин (Х,Y) можна тлумачити як випадкову точку М(Х;Y) на площині хОу або випадковий вектор .

Законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин називається співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями системи випадкових величин та їх ймовірностями.

Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин можна задати у вигляді таблиці.

Y X	х₁	х₂	…	х_і	…	х_n
у₁	p₁₁	p₂₁	…	p_i₁	…	p_n₁
у₂	p₁₂	p₂₂	…	p_i2	…	p_n2
…	…	…	…	…	…	…
у_j	p_1i	p_2i	…	p_ii	…	p_ni
…	…	…	…	…	…	…
у_т	p_1m	p_2m	…	p_im	…	p_nm

Перший рядок таблиці містить всі можливі значення Х, а перший стовпець – всі можливі значення складової Y. В клітинці, яка розміщена на перетині “стовпця х_і” та “рядка у_j” вказана ймовірність р_ij того, що система ( X,Y) прийме

значення (х_і, у_j) (і = 1,2,…n; j = =1,2,…m). Всі можливі події (Х = х_і, Y = y_j) при і = 1,2,…n; j =1,2,…m утворюють повну групу несумісних подій, тобто

Знаючи закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин, можна знайти закон розподілу її складових.

(1.2)

(і = 1,2,…,n) (j = 1,2,…m)

Приклад 1. Знайти закони розподілу складових системи двох дискретних випадкових величин, заданої законом розподілу

Y X	1	2	3
2	0,15	0,23	0,18
4	0,08	0,16	0,20

Розв’язання. Використаємо формули (1.2). Р(Х=1) = 0,15+0,08=0,23; Р(Х=2)=0,23+0,16=0,39; Р(Х=3)=0,18+0,20=0,38

Закон розподілу складової Х запишеться так:

Х	1	2	3
р	0,23	0,39	0,38

Р(Y=2)=0,15+0,23+0,18=0,56

Р(Y=4)=0,08+0,16+0,2=0,44

Закон розподілу складової Y:

Y	2	4
P	0,56	0,44

Функція розподілу системи двох випадкових величин.

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х,Y) називають функцію F(x,y), яка визначає для кожної пари чисел х,у ймовірність того, що Х прийме значення, менше від х, і при цьому Y прийме значення, менше від у:

F(x,y)=P(X<x,Y<y) (2.1)

Якщо скористатись геометричним тлумаченням системи двох випадкових величин, то функція розподілу F(x,y) є ймовірність попадання випадкової

точки (Х,Y) в нескінченний квадрат з вершиною в точці (х,у), який розміщений лівіше і нижче від неї. Функція розподілу F(x,y) має такі властивості:

а)

б) F(x,y) є неспадною функцією своїх аргументів

в)

г) При функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Х:

При функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y:

Користуючись функцією розподілу, можна знайти ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник

(2.2)

Функція розподілу системи існує для систем будь-яких випадкових величин (дискретних чи неперервних).

Приклад 1. Знайти ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник, обмежений прямими х = 0 , х = 4, у = 0, у = , якщо відома функція розподілу

Розв’язання. Застосуємо формулу (2.2)

Густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин.

Розподіл системи двох неперервних випадкових величин можна характеризувати як функцією розподілу, так і густиною розподілу ймовірностей. Густиною розподілу ймовірностей f(x,y) системи двох неперервних випадкових величин називається мішана частинна похідна другого порядку від функції розподілу F(x,y), тобто

(3.1)

Знаючи густину розподілу f(x,y), можна знайти функцію розподілу

(3.2)

Ймовірність попадання випадкової точки (Х,У) в область D на площині хОу визначається рівністю

(3.3)

Густина розподілу ймовірностей f(x,y) має такі властивості:

а) f(x,y) > 0

б) подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами інтегрування від густини розподілу ймовірностей f(x,y) дорівнює одиниці

(3.4)

Приклад 1. Усередині квадрата, обмеженого прямими , густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин f(x,y) = =Csin(x+y) поза цим квадратом f(x,y)=0. Знайти: а) сталий параметр С; б) функцію розподілу F(x,y) при .

Розв’язання. а) для знаходження параметра С скористаємось формулою (3.4)

Оскільки

б) оскільки f(x,y) = 0 поза даним квадратом, то при функція розподілу

Отже,

Приклад 2. Задана густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних величин

Знайти ймовірність попадання випадкової точки (Х,Y) в область D:

Розв’язання. Застосуємо формулу (3.3). Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в круг із радіусом r = 3 і центром в початку координат (область D)

Перейдемо до полярних координат:

Якщо відома густина розподілу ймовірностей f(x,y) системи двох неперервних випадкових величин, то можна знайти густину розподілу ймовірностей кожної складової. Густина розподілу ймовірностей складової Х

(3.5)

густина розподілу складової Y

(3.6)

Приклад 3. Густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин

Знайти густину розподілу ймовірностей складової Y.

Розв’язання. Скористаємось формулою (3.6).

Оскільки інтергал Пуассона , то остаточно отрмаємо:

Отже, густина розподілу ймовірностей випадкової величини Y

Умовні закони розподілу.

Розглянемо систему двох дискретних випадкових величин (X,Y) із законом розподілу (1.1).

Позначимо через р(х1/уj) умовну ймовірність того, що Х прийме значення хі при умові, що складова Y прийняла значення уJ. Умовним розподілом складової Х при Y=yj називають сукупніть умовних ймовірностей р(х1/уj), p(x2/yj), …, p(xn/yj). Аналогічно визначається умовний розподіл складової Y.

Якщо відомий закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X,Y), то можна знайти умовні закони розподілу складових. Умовні ймовірності складових X і Y обчислюються відповідно за формулами:

(4.1)

(4.2)

Для контролю обчислень доцільно переконатися, що сума ймовірностей умовного розподілу дорівнює одиниці.

Приклад 1. Втулки, що виробляють в цеху, сортують за відхиленням їхнього внутрішнього діаметра від номінального розміру на чотири групи за значеннями 0,01; 0,02; 0,03; 0,04 і за овальністю – на чотири групи за значеннями 0,02; 0,04; 0,06; 0,08. Розподіл відхилень діаметра Х та овальності Y наведені у таблиці

Х Y	0,01	0,02	0,03	0,04
0,02	0,01	0,05	0,04	0,03
0,04	0,03	0,25	0,15	0,04
0,06	0,05	0,12	0,10	0,03
0,08	0,01	0,04	0,03	0,02

Знайти: а) безумовні закони розподілу складових; б) умовний закон розподілу складової Х при умові, що складова Y прийняла значення у₃ = 0,06; в) умовний закон розподілу складової Y при умові, що Х=х₁=0,01

Розв’язання. а) Додавши ймовірності “по стовпцях”, отримаємо закон розподілу складової Х:

Х	0,01	0,02	0,03	0,04
р	0,10	0,46	0,32	0,12

Додавши ймовірності “по рядках”, одержимо закон розподілу складової Y:

Y	0,02	0,04	0,06	0,08
p	0,13	0,47	0,30	0,10

б) Умовні ймовірності можливих значень Х при умові, що складова Y прийняла значення у₃ = 0,06, обчислимо за формулою (4.1)

Запишемо шуканий умовний розподіл складової Х:

Х	0,01	0,02	0,03	0,04
р(Х/у₃)	0,17	0,40	0,33	0,10

в) Умовні ймовірності можливих значень Y при умові, що складова Х прийняла значення х₁ = 0,01 обчислимо за формулою (4.2)

Отже, шуканий умовний розподіл складової Y має вигляд:

Y	0,02	0,04	0,06	0,08
p(Y/x₁)	0,10	0,30	0,50	0,10

Якщо (Х, Y) – система двох неперервних випадкових величин, то умовною густиною розподілу ймовірностей складової Х, при умові, що складова Y прийняла значення у, називається відношення густини розподілу системи (Х,Y) до густини розподілу складової Y:

(4.3)

Аналогічно визначається умовна густина розподілу ймовірностей складової Y:

(4.4)

Формули (4.3) і (4.4) можна записати у вигляді:

(4.5)

Отже, густина розподілу системи двох неперервних випадкових величин дорівнює добутку густини розподілу однієї із величин на умовну густину розподілу ймовірностей іншої величини, обчислену в припущенні, що перша величина прийняла задане значення.

Для незалежних випадкових величин Х і Y умовні густини розподілу ймовірностей дорівнюють їх безумовним густинам, тобто

(4.6)

У цьому випадку із формул (4.5) одержуємо:

(4.7)

тобто густина розподілу системи незалежних неперервних випадкових величин дорівнює добутку густин розподілу окремих величин, що входять у систему.

Приклад 2. У середині квадрата, обмеженого прямими х=0, х=1, у=0, у=1, густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин f(x,y)=2-х-у. Поза цим квадратом f(x,y)=0. Знайти умовні закони розподілу величин, які входять у систему, і встановити, чи є ці випадкові величини залежними.

Розв’язання. За формулами (3.5) і (3.6) знайдемо густину розподілу ймовірностей кожної складової:

Отже,

Аналогічно отримаємо:

Скориставшись формулами (4.3) та (4.4), одержимо:

Оскільки, , то випадкові величини Х і Y залежні.

Умовне математичне сподівання.

Важливою характеристикою умовного розподілу ймовірностей є умовне математичне сподівання.

Умовним математичним сподіванням М(Y/x) дискретної випадкової величини Y при Х=х (х-певне можливе значення дискретної випадкової величини Х) називається сума добутків можливих значень Y на їх умовні ймовірності:

(5.1)

де х – одне із можливих значень х1,х2,…хn випадкової величини Х.

Для системи неперервних випадкових величин (Х,Y) М(Y/x) визначається

формулою:

(5.2)

де – умовна густина розподілу ймовірностей випадкової величини Y при умові, що випадкова величина Х прийняла значення х.

В обох випадках умовне математичне сподівання М(Y/x) є функцією від х:

(5.3)

яка називається регресією Y на Х.

Графік цієї функції називається лінією регресії Y на Х.

Аналогічно визначається умовне математичне сподівання M(X/y). Якщо випадкові величини Х і Y дискретні, то:

(5.4)

де у – одне з можливих значень у₁, у₂,…, у_m випадкової величини Y.

Для системи випадкових неперервних величин (Х,Y)

(5.5)

де – умовна густина розподілу ймовірностей випадкової величини Х при умові, що випадкова величина Y прийняла значення у.

Умовне математичне сподівання випадкової величини Х є функція від у:

(5.6)

Функція q(y) називається регресією Х на Y, а її графік – лінією регресії Х на Y.

Приклад 1. За законом розподілу системи двох випадкових величин, який розглядаєвся у прикладі 4.1., знайти умовне математичне сподівання випадкової величини Y при умові, що Х=х₄=0,04.

Розв’язання. Застосуємо формулу (5.1).

Обчислюємо умовні ймовірності

Отже,

Числові характеристики системи двох випадкових величин.

Якщо (X,Y) – система двох дискретних випадкових величин, закон розподілу якої має вигляд (1.1), то математичне сподівання для кожної складової системи визначається так:

(6.1)

Математичне сподівання для складових системи двох неперервних

випадкових величин визначається за формулами:

(6.2)

де f(x,y) – густина розподілу ймовірностей цієї системи.

Дисперсія кожної складової системи двох випадкових величин обчислюється за такими формулами:

у випадку дискретних випадкових величин

(6.3)

у випадку неперервних випадкових величин

(6.4)

Кореляційним моментом (моментом зв’язку) системи двох випадкових величин (X,Y) називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних сподівань

(6.5)

Легко переконатися, що кореляційний момент можна записати у вигляді:

Для обчислення кореляційного момента дискретних випадкових величин користуються формулами:

(6.6)

а для неперервних випадкових величин – формулами:

(6.7)

Коефіцієнтом кореляції r_xy випадкових величин Х і Y називається відношення кореляційного момету К_худо добутку середніх квадратичних відхилень цих

величин:

(6.8)

Коефіцієнт кореляції r_xy має такі властивості:

а) якщо Х і Y – незалежні випадкові величини, то К_xу=0 і r_xy=0;

б) абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці: ;

в) якщо випадкові величини Х і Y зв’язані лінійною функціональною залежністю

Y=aX+b (a,b – дійсні числа), то , причому r_xy =1 при a>0 I r_xy= – 1 при a<0.

Коефіцієнт кореляції r_xy характеризує силу лінійного зв’язку між випадковими величинами Х і У: чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим тісніший лінійний зв’язок; чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим лінійний зв’язок слабший.

Дві випадкові величини Х і Y називаються корельованими, якщо їх коефіцієнт кореляції ; Х і Y називаються некорельованими величинами, якщо r_xy=0.

Дві корельовані випадкові величини є також і залежними, але із залежності випадкових величин ще не випливає їх корельованість.

Із незалежності двох випадкових величин випливає їх некорельованість, але із некорельованості випадкових величин не можна зробити висновок про їх незалежність.

Приклад 1. Густина розподілу ймовірностей системи неперервних випадкових величин (Х,У) (координат амплітуди коливань кузова автомобіля при русі) f(x,y)=0,5sin(x+y) в квадраті ; поза цим квадратом f(x,y)=0. Знайти математичні сподіваннята дисперсії складових системи.

Розв’язання. Застосувавши формули (6.2), обчислимо М(Х) та М(Y).

Для обчислення визначеного інтеграла ми використали метод інтегрування за частинами.

Дисперсії складових X I Y знайдемо за формулами (6.4)

Інтегруючи двічі за частинами, одержимо:

Приклад 2. Система двох неперервних випадкових величин розподілена рівномірно в крузі . Довести, що X і Y – залежні випадкові величини, але некорельовані.

Розв’язання. Оскільки система (X,Y) розподілена рівномірно в крузі , то

Скориставшись властивістю густини розподілу ймовірностей системи одержимо:

Знайдемо густину розподілу кожної складової за формулами (3.5) і (3.6):

Аналогічно отримаємо

Умовну густину розподілу ймовірностей складової Х знайдемо за формулою (4.3).

Скориставшись співвідношенням (4.4), отримаємо:

Отже, випадкові величини Х і Y залежні.

Обчислимо кореляційний момент системи (Х,Y) за другою із формул (6.7).

де область D – круг .

М(Х)=0, оскільки графік густини розподілу f₁(x) величини Х симетричний відносно прямої х=0.

Аналогічно одержимо, що M(Y)=0.

Отже, кореляційний момент К_ху=0 і коефіцієнт кореляції r_xy=0, тобто випадкові величини X і Y некорельовані.

Нормальний закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин.

Розподіл ймовірностей системи (X,Y) називається нормальним, якщо густина розподілу має вигляд:

(7.1)

де a,b – математичні сподівання випадкових величин X i Y; σх, σу – їх середні квадратичні відхилення; rxy – коефіцієнт кореляції величин Х і Y.

Можна довести, що якщо система (X,Y) розподілена нормально з параметрами a,b,σх, σу,rxy, то її складові також розподілені за нормальним законом з параметрами, рівними відповідно а, σх, та b, σу .

Якщо складові Х і Y некорельовані, тобто rxy=0, то

(7.2)

де f1(x) і f2(y) – густини розподілу ймовірностей випадкових величин Х і Y.

Отже, якщо складові нормально розподіленої системи випадкових величин (X,Y) некорельовані, то густина розподілу системи дорівнює добутку густин розподілу складових, а це означає, що випадкові величини Х і У – незалежні. Таким чином, для нормально розподілених складових системи двох випадкових величин поняття незалежності та некорельованості еквівалентні.

Приклад 1. Координати (Х,У) випадкової точки на площині розподілені за нормальним законом з густиною

Визначити ймовірність того, що випадкова точка попаде в область, обмежену еліпсом з півосями λσ_х і λσ_у , якщо осі симетрії еліпса співпадають з координатними осями Ох та Оу.

Розв’язання. Рівняння цього еліпса має вигляд:

Область, обмежену даним еліпсом, позначимо через Е_λ . Застосувавши формулу (3.3), отримаємо:

(7.3)

Перейдемо в інтегралі (7.3) до узагальнених полярних координат:

(7.4)

Якобіан перетворення (7.4)

(7.5)

Виконавши заміну змінних, одержимо:

Якщо, наприклад, λ=2, тобто еліпс має півосі 2σ_х і 2σ_у , то

Математична статистика – це розділ математики, який вивчає методи збору, систематизації, обробки і використання статистичних даних для одержання науково обґрунтованих висновків і прийняття відповідних рішень.

Під статистичними даними розуміється сукупність чисел, які представляють кількісні характеристики ознак, які нас цікавлять в досліджуваному нами об’єкті. Так, послідовність чисел, які одержуємо в результаті неодноразового вимірювання деякої величини, наприклад зважування деякого тіла на аналітичній вазі, являється найпростішим прикладом статистичних даних. Розглянемо ще один приклад. З метою визначення якості електричних лампочок, які випускає завод, відмічають, скільки годин горить кожна лампочка до виходу з ладу. Одержана сукупність чисел представляє статистичні дані.

Статистичні дані по своїй суті залежать від багатьох випадкових факторів, тому математична статистика тісно зв’язана з теорією ймовірностей, яка є її теоретичною основою. Як ми знаємо, теорія ймовірностей встановлює правила знаходження ймовірностей суми, добутку і інших складних подій, а також числові характеристики (математичне сподівання, дисперсію) випадкових величин по заданих ймовірностях і законах розподілу даних подій і випадкових величин. На практиці часто зустрічаються випадки, коли ймовірності вихідних подій і закони розподілу випадкових величин, які розглядаються, були відомі завчасно. Повертаючись до нашого останнього прикладу, відмітимо, що для прогнозування запасів електричних лампочок доцільно мати попередні відомості про термін служби лампочок, які випускає завод. Однак до початку виробництва ці відомості залишаються невідомими. В таких випадках використовуються статистичні

методи дослідження, зміст яких полягає в тому, що відомості про досліджувану ознаку всієї сукупності об’єктів одержують, вивчаючи більш або менш обширну частину, яку належним чином відбирають із загальної сукупності об’єктів. Так, в нашому прикладі із всієї партії випадковим чином відбирають для дослідження деяку кількість лампочок. Одержані дані про термін роботи відібраних лампочок представляють собою вже відомі статистичні дані, які, будучи опрацьовані методами математичної статистики, дозволяють зробити висновки про якість всієї продукції даного заводу.

Серед основних задач математичної статистики можна виділити такі:

– оцінка невідомої ймовірності випадкової події;

– оцінка невідомого закону розподілу випадкової величини чи її числових характеристик (математичного сподівання, дисперсії);

– перевірка гіпотез (передбачень), зроблених відносно деяких випадкових подій, випадкових величин (про ймовірність події, про закон розподілу випадкової величини і т.д.).

Результати проведених методами математичної статистики досліджень застосовують для прийняття рішень, зокрема, при плануванні і організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, при контролі якості продукції, при виборі оптимального часу настройки чи заміні діючої апаратури – наприклад, визначення терміну заміни двигуна літака, окремих деталей станка і т.п.

Математична статистика виникла у XVIII столітті завдяки працям Я.Бернуллі, П.Лапласа. Великий вклад в математичну статистику внесли російські та радянські вчені В.Я. Буняковський (1804-1889), П.Л. Чебишов, А.А. Марков А.Н.Колмогоров, Б.В. Гніденко і багато інших.

Основні поняття математичної статистики.

Нехай потрібно вивчити дану (як правило, багаточисельну) сукупність об’єктів відносно деякої ознаки.

Наприклад, потрібно визначити, як параметри продукції, які випускає підприємство відповідають стандартним нормативам. Якщо кількість елементів в сукупності не є дуже великою і обстеження об’єкту не зв’язане з його знищенням і не потребує великих затрат, то можна досліджувати кожен елемент окремо, фіксувати значення ознаки, яку досліджуємо, і після відповідної обробки результатів зробити відповідний висновок про досліджувану ознаку.

Якщо ж сукупність складається з дуже великої кількості об’єктів, або проведення досліду пов’язане із знищенням об’єкту, або воно дорого коштує, то повне дослідження недоцільне. Немає змісту, наприклад, досліджувати на термін горіння всі лампочки даної партії, так як в результаті вся партія знешкодилася б. Тому досліджується менша партія, яка береться за певним правилом (кожен десятий, сотий і т.д.), або довільним випадковим чином. Тому основними поняттями математичної статистики є генеральна сукупність та вибіркова сукупність.

Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називається множина числових значень деякої ознаки всіх об’єктів, випадковим чином відібраних із всіх об’єктів, які розглядаються.

Нехай для вивчення кількісної (дискретної або неперервної) ознаки Х із генеральної сукупності зроблена вибірка об’єму n. Значення хі ознаки Х, які спостерігались у вибірці, називають варіантами; послідовність варіант, записаних в порядку зростання, називають варіаційним рядом. Якщо вибірка об’ємумістить k різних значень х1, х2, … , хk, причому значення хі трапляється ni разів (і =

1,2, … , k), то число ni називається частотою варіанти хі, а відношення називається відносною частотою варіанти хі. Очевидно, що

Статистичним розподілом вибірки у випадку дискретної ознаки Х називають перелік варіант і відповідних частот або відносних частот.

Статичним розподілом вибірки у випадку неперервної ознаки Х називають перелік інтервалів і відповідних частот або відносних частот (за частоту, що відповідає інтервалу, приймають суму частот варіант, які потрапляли в цей інтервал, без врахування правого кінця).

Модою варіаційного ряду називається варіанта, що має найбільшу частоту.

Медіаною варіаційного ряду називається варіанта, що ділить варіаційний ряд навпіл.

Розмахом варіації називається різниця між найбільшою та найменшою варіантою.

Емпіричною функцією розподілу називається функція , яка для кожного значення х визначає відносну частоту події X < x:

(1.1)

де n_x – число варіант, менших від х; n – об’єм вибірки. Емпірична функція розподілу F^*(x) є оцінкою для невідомої функції розподілу F(x) випадкової величини Х.

Функція F^*(x) має такі властивості:

а) значення емпіричної функції належить відрізку [0;1];

б) F^*(x) – неспадна функція;

в) якщо х₁ – найменша, а х_к – найбільша варіанта, то F^*(x)=0 при x<x₁ i F^*(x)=1 при x>x_k.

Приклад 1.1. Знайти емпіричну функцію F^*(x) за даним розподілом вибірки. Побудувати графік цієї функції.

х_і	1	3	4	5
n_i	6	8	6	5

Розв’язання. Об’єм вибірки n = 6 + 8 + 6 + 5 = 25. Найменша варіанта 1, тому F*(х) = 0 при х ≤ 1. Значення X < 3, а саме х₁ = 1, спостерігалось 6 разів. Отже, F*(х) = 6 / 25 = 0,24 при 1 < х ≤ 3.

Якщо , то F*(х) = 14 / 25 = 0,56, оскільки значення х₁= 1 і х₂ = 3 спостерігались 6 + 8 = 14 разів. Якщо , то F*(х) = 20 / 25 = 0,80, оскільки в цьому випадку п_х = 6 + 8 + 6 = 20. Оскільки найбільша варіанта дорівнює 5, то F*(х) = 1 при х > 5. Таким чином:

Графік цієї функції зображений на рис. 10.

Рис. 10

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки (х₁, n₁)_, (х_2, n₂),…, (x_k, n_k), де х_і – варіанти вибірки; п_і –відповідні частоти (i = 1, 2,…,k).

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки (x₁, w₁), (х₂, w₂),…, (х_k,, w_k), де w_i – відносні частоти, що відповідають варіантам х_і (і = 1, 2,…,k).

Приклад 1.2. В результаті перевірки партії деталей одержані такі результати за сортами: 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 3 ,1, 1,1, 2,1,1,4,2,2,1,1. Скласти статистичний розподіл ибірки, побудувати полігон відносних частот.

Розв’язання. Розмістимо варіанти в порядку зростання і обчислимо частоти, що відповідають даним варіантам. Отримаємо:

х_і	1	2	3	4
n_i	14	7	2	2

Знайдемо відносні частоти. Оскільки об’єм вибірки n=14+7+2+2=25, то

Побудувавши точки М₁(1;0,56), М₂(2;0,28), М₃(3;0,08), М₄(4;0,08) і з’єднавши їх відрізками прямих, одержимо шуканий полігон відносних частот (рис 11).

Рис. 11

У випадку неперервної ознаки Х інтервал, в якому містяться всі варіанти, ділять на часткові інтервали з довжиною h і знаходять n_і – суму частот варіант, що

потрапили в і-ий інтервал, а за х беруть середнє значення інтервалу.

Гістограмою частот називають фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали з довжиною h, а висоти дорівнюють густині частоти

Площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму вибірки n.

Гістограмою відносних частот називають фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали з довжиною h, а висоти дорівнюють густині відносної частоти . Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі усіх відносних частот, тобто одиниці.

Приклад 1.3. Із литва, що випускає завод, зроблена вибірка 50 штук литих деталей, зважування яких дало такі результати (в кг.):

99,2	101,5	99,5	102,2	99,7	101,1	100,2	98,8	99,3	100,4
100,9	100,5	99,8	102,1	101,7	100,8	101,1	99,9	99,6	99,1
100,3	102,4	98,9	98,8	100,4	99,7	97,6	101,2	99,4	98,2
100,1	98,3	100,7	101,2	97,2	99,9	101,3	100,6	100,7	101,6
102,7	98,6	99,6	99,7	98,2	100,7	101,2	99,6	100,3	99,8

Скласти статистичний розподіл вибірки та побудувати гістограму відносних частот.

Розв’язання. Найменша варіанта даної вибірки дорівнює 97,2, а найбільша 102,7. Інтервал (97,2; 102,7) поділимо, наприклад, на 5 часткових інтервалів. Довжина кожного часткового інтервалу . Обчислимо суму частот варіант, які потрапили в кожний частковий інтервал, і складемо таблицю:

Обчислимо відносні частоти. Оскільки об’єм вибірки n=50, то ;

Знайдемо густину відносних частот:

Побудуємо на осі абсцис часткові інтервали. Проведемо над кожним інтервалом відрізок, який паралельний до осі абсцис і знаходиться від неї на відстані, що дорівнює відповідній густині відносної частоти. Шукана гістограма відносних

частот зображена на рис. 12

Рис.12

Вправи.

1.1. При визначенні маси нового сорту кормових буряків було випадково відібрано для зважування 50 буряків, маса яких у кілограмах виявилась такою:

2,10	2,06	2,71	4,25	3,41	3,53	3,32	3,47	3,43	2,67
3,12	4,45	3,95	3,74	2,25	2,97	3,12	3,95	3,62	2,81
4,31	2,95	2,15	2,54	4,01	4,13	3,37	3,35	2,57	3,43
2,85	3,05	3,52	3,15	2,93	2,76	3,18	2,53	3,82	4,09
3,83	4,03	2,97	2,87	3,51	3,43	4,01	3,75	2,84	3,75

Скласти статистичний розподіл вибірки. Побудувати полігони частот і відносних частот, а також їх гістограми. Записати та побудувати емпіричну функцію

розподілу. Знайти моду, медіану, розмах вибірки.

1.2. При дослідженні тарифних розрядів робітників механічного цеху в кількості 1000 чоловік відмічено такі значення розрядів:

5	1	4	5	4	3	5	5	2	6	6	5	1	4	6	6	3	4	4
6	5	6	5	3	4	5	4	6	2	5	3	5	5	4	5	6	2	6
4	3	5	5	4	6	1	1	5	5	4	1	3	5	5	3	6	5	5
5	5	4	6	5	2	5	3	4	6	2	4	3	2	5	5	5	3	4
5	6	5	6	5	6	5	5	5	5	4	5	5	5	3	6	3	5	5

Знайти об’єм генеральної та вибіркової сукупностей. Скласти статистичний розподіл частот і відносних частот. Записати та побудувати емпіричну функцію розподілу. Знайти моду, медіану, розмах вибірки. Побудувати полігон частот і відносних частот.

1.3. Побудувати гістограми частот і відносних частот по даному розподілу вибірки (в першому стовпці вказано часткові інтервали, в другому відповідні їм частоти).

(1;6)	10
(6;11)	22
(11;16)	28
(16;21)	18
(21;26)	14

Точкові оцінки невідомих параметрів розподілу.

Нехай потрібно вивчити кількісну ознаку Х генеральної сукупності. Припустимо, що з теоретичних міркувань вдалось встановити, який розподіл має ця ознака. Тому виникає завдання оцінити параметри, які визначають цей розподіл.

Статистичною оцінкою θ* невідомого параметра θ теоретичного розподілу називають функцію від спостережуваних випадкових величин вибірки. Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом , де х1,х2,…хn – значення ознаки Х, що спостерігалась у вибірці.

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої при будь-якому об’ємі вибірки дорівнює параметру, який оцінюється. Зміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює параметру, що оцінюється.

Незміщеною оцінкою генеральної середньої (математичного сподівання випадкової величини Х) є вибіркова середня

(2.1)

де хі(і=1,2,…,к) – варіанти вибірки; ni(i=1,2,…,k) – відповідні частоти; – об’єм вибірки.

Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії (дисперсії випадкової величини Х) є вибіркова дисперсія (2.2)

оскільки

Для обчислення DВ зручною є формула

(2.3)

Вибірковим середнім квадратичним відхиленням називають квадратний корінь із вибіркової дисперсії

(2.4)

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія

(2.5)

Виправленим середнім квадратичним відхиленням називають квадратний корінь із виправленої вибіркової дисперсії.

Порівнюючи формули (2.2) і (2.5), бачимо, що вони відрізняються тільки знаменниками. Очевидно, що при досить великих значеннях n вибіркова і виправлена дисперсії незначно відрізняються одна від одної.

Зауваження 1. Якщо варіанти х_і – великі числа, то для спрощення розрахунку доцільно перейти до умовних: u_i=x_i-с (за с вигідно прийняти варіанту, яка розміщена приблизно у середині варіаційного ряду). Тоді

(2.6)

Зауваження 2. У випадку рівновіддалених варіант для спрощення розрахунку доцільно перейти до умовних варіант u_i=(x_i-с)/h, де h – крок, тобто різниця між будь-якими двома сусідніми початковими варіантами; с– хибний нуль (с вибирається так само, як і в попередньому випадку). Тоді

(2.7)

Приклад 2.1. Із генеральної сукупності зроблена вибірка об’єму n=10;

х_і	6	7	9	10
n_i	2	3	4	1

Знайти: а) вибіркову середню ; б) вибіркову дисперсію D_В та вибіркове середнє квадратичне відхилення σ_В; в) виправлену вибіркову дисперсію S² та виправлене середнє квадратичне відхилення S.

Розв’язання: а) Скориставшись формулою (2.1), отримаємо:

б) Для обчислення вибіркової дисперсії D_В використаємо формулу (2.3):

в) Обчислимо виправлену вибіркову дисперсію:

Приклад 2.2. Перевірено 100 приладів на термін безвідмовної роботи. Отримано такі результати:

Термін безвідмовної роботи (год)

300-

304

304-

308

308-

312

312-

316

316-

320

320-

324

324-

328

328-

332

332-

336

336-340

Кількість приладів n_i

Обчислити середній термін безвідмовної роботи приладів, а також вибіркову дисперсію D_B та вибіркове середнє квадратичне відхилення σ_В.

Розв’язання. Знайдемо середини даних інтервалів і приймемо їх за варіанти. Одержимо такий розподіл вибірки:

х_і	302	306	310	314	318	322	326	330	334	338
n_i	6	7	12	15	30	10	8	6	4	2

Оскільки варіанти рівновіддалені, то перейдемо до умовних варіант u_i. Нехай С=318 (варіанта 318 розміщена приблизно у середині варіаційного ряду). Згідно з умовою задачі h = 4, об’єм вибірки n=100. Умовні варіанти обчислимо за формулою

Для спрощення обчислень складемо розрахункову таблицю

х_і	n_i	u_i	n_iu_i	n_iu_i²	n_i(u_i+1)²
302	6	-4	-24	96	54
306	7	-3	-21	63	28
310	12	-2	-24	48	12
314	15	-1	-15	15	0
318	30	0	0	0	30
322	10	1	10	10	40
326	8	2	16	32	72
330	6	3	18	54	96

334	4	4	16	64	100
338	2	5	10	50	72
	n=100		Σn_iu_i=-14	Σn_iu_i²=432	Σn_i(u_i+1)²=504

Для контролю обчислень скористаємось тотожністю:

(2.8)

В даному випадку

Отже, тотожність (2.8) справджується.

Обчислимо та DB(u)

Користуючись формулами (2.7), знаходимо

Приклад . Ймовірність виходу з ладу за час t одного конденсатора дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів вийдуть з ладу: а) 18 конденсаторів; б) не менше 16 і не більше 26 конденсаторів.

Розв’язання. а) за формулою р=0,2; n = 100; m = 18; q = 1-0,2 = 0,8.

Оскільки n = 100 – досить велике число, то застосуємо локальну теорему Муавра – Лапласа. Обчислимо значення

Шукана ймовірність

За таблицею значень функції знайдемо . Отже

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, отримаємо

За таблицею значень функцій Лапласа знайдемо Ф(1,5) = 0,4332; Ф(1) =0,3413. Шукана ймовірність .

(3)

де

Для функції , яка є функцією двох змінних, складені таблиці (додаток 3).

Приклад . Завод відправив споживачу партію із 1000 виробів. Ймовірність пошкодження в дорозі кожного із виробів дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що споживач отримає 3 пошкоджені вироби.

Інтенсивністю λ потоку називається середнє число подій, які появляються за одиницю часу.

(1)

Приклад . Середнє число викликів, які надходять на АТС за 1 хв., дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за 3 хв. на АТС надійде: а) чотири виклики; б) менше чотирьох викликів.; в) не менше чотирьох викликів. Припускається, що потік викликів найпростіший.

Застосувавши формулу (3), отримаємо:

б) Помилка відрахунку буде більша від 0,03 А, якщо 0,03 < X < 0,07

(4)

де λ – додатнє число.

Функція розподілу показникового закону

(5)

(6)

Математичне сподівання випадкової величини Х, розподіленої за показниковим законом,

Дисперсія цієї випадкової величини Х

Середнє квадратичне відхилення

Розв’язання. а) Оскільки функція розподілу F(t) = P (T < t), то вона визначає ймовірність

F(100) = 1 – e^-3 = 0,95

Р = 1 – 0,95 = 0,05.

Нормальний закон розподілу. Поняття про центральну граничну теорему Ляпунова.

(1)

де а – математичне сподівання, σ – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

(2)

де Ф(х) – функція Лапласа, .

(3)

Розглянемо середнє арифметичне цих випадкових величин . При

досить великому n випадкова величина також має розподіл, близький до нормального.

Оскільки , то ймовірність того, що в результаті випробування прийме значення з інтервалу (α;β)

(4)

(5)

Приклад . Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнюють відповідно 10 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке знаходиться в інтервалі (8,15).

Розв’язання. Скористаємося формулою (2). Підставивши значення α = 8, β = 15 а = 10, σ= = 4, одержимо

За таблицею значень функції Лапласа знайдемо Ф(1,25) = 0,3944; Ф(0,5) = 0,1915. Шукана ймовірність Р(8 < X < 15) = 0,5859.