June 16, 2024

Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Моделирование процессов дифференциальными уравнениями

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Большинство законов природы имеют дифференциальный характер – они связывают бесконечно малые изменения рассматриваемых величин. Например, основной закон динамики

связывает бесконечно малое изменение импульса dp с силой F, действующей в течении бесконечно малого интервала времени dt. Можно сказать, что сила – это скорость изменения импульса:

В последнем соотношении производная вектора вычисляется как вектор из производных:

Вывод интегральных соотношений (соотношений, связывающих конечные изменения величин) на основании дифференциальных законов выполняется на основе результатов теории дифференциальных уравнений.

Пример 1. Движение в вязкой среде. Пусть частица постоянной массы падает под действием силы тяжести, причем сила сопротивления Fr, действующая на частицу со стороны внешней среды, пропорциональна скорости и противоположна ей по направлению:

, ,

где – постоянный коэффициент, характеризующий свойства среды.

Найдем зависимость, по которой изменяется скорость частицы. Согласно основному закону динамики

где m – масса частицы, t – время, Fg – сила тяжести, Fr – сила сопротивления. Это векторное уравнение равносильно системе из трех скалярных уравнений, вид которой зависит от выбора системы координат. Направим ось Ox вдоль направления движения (вертикально вниз). Тогда

, ,

где v – модуль скорости. В системе остается одно уравнение:

(1)

При решении задачи не удалось непосредственно найти закон, связывающий независимую переменную – время t – и искомую функцию – скорость ; была лишь установлена связь между искомой функцией и ее производной. Соотношения, подобные (1), называют дифференциальными уравнениями.

Можно убедиться, функция

(2)

при любом является решением уравнения (1). Действительно, подстановка (2) в (1) дает

;

уравнение (1) обратилось в тождество.

В решение (2) входит произвольная постоянная C. Для определения этой постоянной необходима дополнительная информация – начальное условие – значение скорости в начальный момент времени:

Подставляя начальное условие в решение (2), получим

, .

Искомая зависимость скорости от времени принимает вид

(3)

Таким образом, при движении частицы в среде с сопротивлением скорость возрастает от начального значения , асимптотически приближаясь к значению

при котором модуль силы сопротивления совпадает с модулем силы тяжести (рис. 1)

Рис. 1. Зависимость скорости от времени при движении в вязкой среде

Если сопротивление среды пренебрежимо мало (), то (3) переходит в известное уравнение кинематики:

Пример 2. Охлаждение тела. Пусть тело, имеющее температуру q0, в момент времени t0 = 0 помещено в среду с температурой . Требуется найти закон изменения температуры тела.

Известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды:

, , .

Можно проверить, что при любом функция

удовлетворяет полученному уравнению. Постоянная C может быть найдена из начального условия :

, .

Окончательно:

Здесь, как и в предыдущем примере, искомая величина – температура тела – асимптотически приближается к температуре окружающей среды.

Пример 3. Свободные колебания. Пусть частица движется вдоль оси Ox под действием квазиупругой силы, направленной к положению равновесия и пропорциональной смещению. Если абсцисса положения равновесия совпадает с началом координат, то проекция силы на ось Ox равна

где k – положительная константа.

Найдем зависимость координаты от времени. Из основного закона динамики:

(14)

Можно убедиться, что любая функция вида

(5)

где A и – произвольные постоянные, является решением дифференциального уравнения (5). Постоянную A называют амплитудой, а постоянную – начальной фазой колебаний. Амплитуда и начальная фаза определяются положением и скоростью частицы в начальный момент времени.

Постоянная

квадрат которой есть возвращающая сила на единицу смещения и единицу массы, называется круговой частотой. Зависимость (5) изображена на рис. 2.

Рис.2. Зависимость координаты от времени при свободных колебаниях

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Если неизвестная функция зависит от одной переменной x, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных , то уравнение называют уравнением в частных производных.

Замечание 1.1. Уравнения, в которые не входят производные неизвестной функции, называют конечными.

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие уравнения можно записать в виде:

Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в уравнение высшей производной. Степенью дифференциального уравнения называют степень высшей производной. Например

есть уравнение второго порядка первой степени; уравнение

есть уравнение первого порядка третьей степени; уравнение

является уравнением в частных производных.

Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Например, одним из решений уравнения

является функция . Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график его решения. Нахождение решений называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение считают проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или же определяется из конечного уравнения. В последнем случае это конечное уравнение называют интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Мы будем рассматривать только уравнения, разрешимые относительно производной:

(6)

Здесь функция устанавливает для точки плоскости xOy значение производной – значение соответствующего углового коэффициента касательной к интегральной кривой. Говорят, что уравнение на плоскости xOy определяет поле направлений. Геометрически задача интегрирования уравнения (6) заключается в нахождении интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Например, уравнение

в каждой (отличной от начала координат) точке определяет угловой коэффициент касательной , который совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку . Поэтому интегральными кривыми уравнения будут всевозможные прямые, проходящие через начало координат.

Справедлива теорема существования и единственности (теорема Коши).

Теорема 1.1. если в уравнении (6) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой окрестности точки , то в этой окрестности существует единственное решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию

(7)

Если для точки выполнены условия теоремы, то через эту точку проходит единственная интегральная кривая . Если для точки условия теоремы нарушены, то эту точку называют особой. В такой точке может нарушаться единственность решения или же решения может не быть вовсе; в первом случае через точку проходит несколько различных интегральных кривых, во втором – не проходит ни одна. Особые точки могут быть изолированы или же могут заполнять особые линии. Например, для дифференциального уравнения

ось ординат является особой линией (через точки этой линии не проходит ни одна интегральная кривая).

Задачу отыскания решения уравнения (6), удовлетворяющего начальному условию (7), называют задачей Коши.

Дифференциальное уравнение (в предположении о выполнении условий теоремы существования и единственности) имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют различным начальным условиям (существует бесконечно много интегральных кривых, которые проходят через различные точки).

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию

которая зависит от одной произвольной постоянной C и удовлетворяет двум условиям:

– является решением уравнения (6) при любом значении постоянной C;

– каково бы ни было начальное условие (7), можно найти такое значение постоянной , что решение удовлетворяет уравнению (6).

Если общее решение

получено в неявной форме, то его называют общим интегралом уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение

удовлетворяющее заданному начальному условию. Частное решение может быть получено из общего выбором соответствующего значения C₀ постоянной C.

Частное решение, полученное в неявной форме , называют частным интегралом.

Может оказаться, что функция является частным решением уравнения, однако не может быть получена из общего решения ни при каком выборе постоянной C. В этом случае функцию называют особым решением.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если для нахождения решения (или интеграла) дифференциального уравнения достаточно найти первообразные, то говорят, что дифференциальное уравнение приведено к квадратуре. Приведение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка к квадратуре называют разделением переменных.

Примером уравнения, приведенного к квадратуре, является уравнение

Его частное решение, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

или

где – какая-либо первообразная функции . В справедливости последних соотношений можно убедиться, дифференцируя обе части по переменной x.

Если уравнение первого порядка имеет вид

(8)

то говорят, что переменные в уравнении разделены; уравнение (8) называют с разделенными переменными. Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по переменной x, а правую – по переменной y, получим:

(9)

Последнее соотношение является конечным уравнением, связывающим независимую переменную, искомую функцию и произвольную постоянную. Поэтому (9) является общим интегралом уравнения (8).

Например, для разделения переменных в уравнении

достаточно умножить обе части на dx:

Поэтому общее решение имеет вид

Нетрудно получить частное решение, удовлетворяющее условию :

откуда

что совпадает с результатом, полученным выше по формуле Ньютона-Лейбница.

Если уравнение имеет вид

причем , то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение можно привести к виду

Например, в уравнении

для разделения переменных достаточно умножить обе части на :

откуда

, ,

;

функция является общим решением.

Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос о классах уравнений, приводящихся к квадратурам. Среди уравнений первого порядка к квадратурам приводятся, в частности, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и линейные уравнения.

Однородные уравнения

Уравнение

называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени:

Однородные уравнения интегрируются заменой

, , .

Пример. . Это уравнение – однородное; в этом можно убедиться, разрешая его относительно производной:

Полагая , получим

, , ;

, ,

, .

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(10)

Если , то уравнение (10) – однородное. Пусть c и c₁ одновременно не равны нулю. Выполним линейную замену

, ,

так, чтобы в новых переменных уравнение стало однородным. Имеем:

Достаточно выбрать a и b так, чтобы суммы в скобках обратились в ноль:

Если основной определитель последней системы отличен от нуля, то a и b определяются единственным образом. Если он равен нулю, то

, , ,

поэтому уравнение (10) имеет вид

Для разделения переменных следует выполнить замену .

Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(11)

причем для функций и выполнено

В этом случае правая часть (11) является полным дифференциалом некоторой функции ; уравнение (11) называют уравнением в полных дифференциалах.

Пусть функция обращает конечное уравнение

(12)

в тождество. Вычисляя дифференциалы обеих частей (12), получим

Следовательно, (12) является общим интегралом уравнения (11). Интегральными кривыми уравнения являются линии

на которых функция сохраняет постоянное значение.

Так как

то входящие в уравнение (11) функции и должны быть соответствующими частными производными:

, .

Интегрируя первое из этих равенств по переменной x, получим

где – произвольная функция, не зависящая от x. Для нахождения этой функции продифференцируем последнее соотношение по переменной y:

Любое частное решение полученного дифференциального уравнения будет искомой функцией (сохранять произвольную постоянную нет необходимости, так как она не оказывает влияния на вид общего интеграла исходного уравнения).

Пример. . Для функций и выполнено условие

(обе производные равны нулю), поэтому данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Имеем:

, , , ,

Обший интеграл уравнения имеет вид

, или .

Заметим, что в данном примере уравнение можно решить, разделив переменные:

, , ,

что совпадает с полученным выше результатом.

Может оказаться, что уравнение

не является уравнением в полных дифференциалах, однако становится им после умножения обеих частей на некоторую функцию . В этом случае последнюю функцию называют интегрирующим множителем. Поиск интегрирующего множителя является задачей не менее сложной, нежели интегрирование исходного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(13)

Если , то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Линейные однородные уравнения допускают разделение переменных:

, , ,

где – какая-либо первообразная функции .

Линейные неоднородные уравнения обычно интегрируются методом Бернулли. Решение ищется в виде

тогда

, , .

Функцию можно выбрать так, чтобы сумма в скобках обратилась в ноль:

, , , .

Постоянная C₁ может иметь любое отличное от нуля значение; полагая C₁=1, получим

Исходное уравнение примет вид

Разделяя в нем переменные, интегрируя и возвращаясь к исходной переменной, найдем решение.

Пример. . Пусть , тогда

, .

Пусть функция такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Одним из решений уравнения является функция . Подставляя ее в уравнение , получим

, , .

Окончательно:

Решение неоднородного уравнения можно выполнить иначе – используя метод вариации постоянной. Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Далее следует, считая C неизвестной функцией от x, подставить это решение в исходное неоднородное уравнение.

Для приведенного примера: , . Полагая и подставляя функцию в исходное уравнение, получим

, , , .

Уравнением Бернулли называется уравнение

, .

(14)

Это уравнение также интегрируется заменой .

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется обыкновенное дифференциальное уравнение

(15)

не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независимой переменной и искомой функции. Уравнение Лагранжа разрешимо в квадратурах методом введения параметра. Пусть (15) приводимо к виду

Полагая и дифференцируя обе части по переменной x, получим:

Последнее уравнение является линейным относительно функции .

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро:

(16)

К этому уравнению приводят многие геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по данному свойству ее касательных.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

(17)

Искомое решение является функцией

зависящей от двух произвольных постоянных.

Если уравнение (17) не содержит искомой функции, то понизить порядок уравнения можно заменой

, .

Например, пусть требуется решить уравнение . Выполняя замену , , получим

, , , .

Возвращаясь к искомой функции, будем иметь

, .

Если уравнение не содержит независимой переменной, то понизить порядок можно заменой

, .

Пример: . Выполняя замену , , получим

Одним из решений этого уравнения является функция . Пусть :

, .

Полученное решение включает функцию в качестве частного случая (соответствует значению ), поэтому отдельно рассматривать решение не нужно. Возвращаясь к искомой функции, получим

, , , .

Аналогично понижается степень в уравнениях вида

Пример: . Первоначально выполним замену , . Получим

Положим далее , , тогда

, , , ,

, , ,

откуда

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

(18)

в котором и являются константами.

Если правая часть (18) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Для нахождения общего решения однородного уравнения

(19)

следует найти два решения и , для которых определитель Вронского

;

такие решения называют линейно независимыми. Тогда линейная комбинация

будет искомым общим решением.

Решения y₁, y₂ следует искать в виде

Дифференцируя и подставляя в (*), получим:

; ; .

В силу :

(20)

Полученное уравнение называется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k₁ и k₂, то искомая пара линейно независимых решений:

, .

Общее решение:

Если уравнение (20) имеет два комплексно-сопряженных корня

, ,

то искомая пара линейно независимых решений:

, .

Общее решение:

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

то искомая пара линейно независимых решений

, .

Поэтому общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, однако для некоторых частных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

где y₀ – решение соответствующего однородного уравнения, y_r – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

, .

Если a не корнем (c), то частное решение ищется в виде

Дифференцируя y_r и подставляя результат в (a), получим:

(21)

Так как a не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Поэтому обе части (21) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A₁, A₂, … A_n. Общее решение будет иметь вид:

Пусть a является корнем (возможно, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (21) есть многочлен степени ниже n. Следовательно, уравнение (21) ни при каком Q_n не будет тождеством. В этом случае решение y_r ищется в виде

a) – если a является одним из корней;

b) – если a является двукратным корнем.

Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид:

где и – многочлены.

Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, где ,

в противном случае оно ищется в виде

Понятие о математическом моделировании

Ранее уже было отмечено, что реальность слишком сложна для того, быть предметом исследования в науке. Исследованию доступны лишь модели – умозрительные конструкции, которые должны отражать существенные свойства реального объекта. Замену исходного объекта его идеализированным образом – моделью – и последующее исследование модели называют моделированием. Если модель формулируется в терминах математики, то моделирование называют математическим. Оно сочетает в себе достоинства так экспериментальных, как теоретических методов. Использование моделей позволяет:

– изучить явление с подробностью и глубиной, присущей экспериментальным методам;

– относительно быстро исследовать явление в любых мыслимых ситуациях, в том числе в таких, которые невозможно реализовать экспериментально (когда натурный эксперимент долог, дорог, либо опасен).

Широкое распространение моделирования есть следствие высокой общности моделей, которые основаны на фундаментальных законах природы – законах сохранения массы, энергии, заряда, импульса и момента импульса. Общность выражается в том, что одни и те же модели описывают различные явления. Дифференциальный характер законов приводит к тому, что большинство математических моделей записываются в виде дифференциальных уравнений или систем таких уравнений.

Моделирование является многоэтапным циклическим процессом.

Первый и наиболее сложный этап связан с построением модели. Сложность этого этапа обусловлена тем, что здесь требуется привлечение как средств анализа, так и сведений из конкретной прикладной дисциплины. К модели предъявляется множество требований, из которых важнейшим является требование адекватности – модель должна отражать те характеристики объекта, которые принимаются как существенные.

На втором, наиболее простом этапе, построенная модель исследуется либо точными, либо приближенными (в частности, численными) методами. Сравнительная простота второго этапа математического моделирования обусловлена тем, что задача исследования является формальной, исключительно математической. Сведения из прикладной дисциплины здесь не используются, и для совпадающих по форме моделей совпадают и процедуры анализа.

Применение точных аналитических методов дает решение в конечном виде или, в случае операторных методов, как образ некоторого интегрального преобразования (обычно – преобразования Фурье или Лапласа). Использование приближенных аналитических методов дает решение в виде разложения по функциям от независимой переменной (как правило – в виде степенного ряда или ряда Фурье). Численные методы позволяют получить дискретный набор приближенных значений искомой величины.

Преимуществом аналитических методов является то, что полученное решение оставляет возможность анализа влияния существенных признаков на искомую величину (эти признаки входят в решение как параметры). Однако применение аналитических методов оправдано только тогда, когда модель сравнительно проста и может быть записана в виде одного или двух дифференциальных уравнений. На практике для исследования удобно применять программные пакеты символьной математики. Такие пакеты «самостоятельно» анализируют характер уравнения и дают решение в конечном виде (возможно, что полученное решение будет содержать неэлементарные функции). Рудиментарные средства символьной математики содержаться в пакете Mathcad; для решения сравнительно сложных задач достаточно пакета Maple.

В подавляющем большинстве случаев аналитическое решение не может быть получено или же столь громоздко, что его анализ невозможен. В этой ситуации единственная возможность анализа состоит в применении численных методов; при этом саму процедуру анализа называют вычислительным экспериментом или имитационным моделированием. На практике в процессе исследования можно использовать программные пакеты численного анализа. Как и ранее отметим, что ограниченные возможности численного анализа представлены в пакете Mathcad. Решение сложных задач общего характера часто можно выполнить при помощи пакета MATLAB. Задачи из важных прикладных областей (задачи моделирования механических конструкций, потоков жидкости и газа, электрических цепей и т.д.) решаются при помощи специализированных пакетов численного анализа. Кроме этого остается возможность, пользуясь общедоступным кодом процедур численного решения дифференциальных уравнений, разработать авторское программное обеспечение, предназначенное для решения отдельной задачи.

На третьем этапе результаты анализа интерпретируются в терминах прикладной дисциплины. Здесь дополнительно делаются выводы относительно адекватности модели. Более того, часто адекватность проверяется именно на тестовых задачах – объект искусственно помещается в такие условия, в которых его поведение известно заранее. Если оказывается, что модель приводит к неадекватным результатам, то она должна быть изменена (возврат к первому этапу).

Модели первого порядка

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят задачи, в которых скорость изменения некоторой величины связана с этой величиной. Если эта связь линейная, то исследование модели приводит к экспоненциальной зависимости для искомой величины.

Пример 1. Радиоактивный распад.

Пусть в начальный момент времени имеется некоторое количество распадающегося вещества (здесь под распадом может в равной пониматься как «полное исчезновение» вещества, так и его превращение в другое вещество). Пусть отдельные равные по массе области вещества распадаются независимо друг от друга. Тогда скорость распада будет пропорциональна массе вещества:

(22)

где коэффициент пропорциональности k – неотрицательная константа, характеризующая скорость распада (знак «–» в уравнении () обусловлен тем, что масса со временем может только уменьшаться).

Разделяя переменные в уравнении (22) и интегрируя, получим

где знаки модуля опущены исходя из физического смысла задачи. Постоянную интегрирования определим из начального условия :

Окончательно:

(23)

Из (23) следует, что масса вещества монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Время, за которое масса уменьшается в два раза

называют периодом полураспада.

Адекватность полученной модели определяется теми соображениями, которые были учтены при ее построении.

Во-первых, было принято, что отдельные области распадаются независимо друг от друга. В действительности это не так – под действием излучений, возникающих в процессе распада, скорость распада возрастает. Поэтому при достижении некоторой критической начальной массы все вещество распадается практически мгновенно с выделением большого количества энергии.

Во-вторых, при построении не был учтен дискретный характер вещества. Это приводит к парадоксальным выводам: от одного атома через период полураспада останется «половина», через два периода – «четверть», и т.д. На самом деле период полураспада следует понимать как время, за которое атом распадается в вероятностью ; удвоенный период – как время, за которое атом распадается в вероятностью , и т.д.

Аналогичная (23) зависимость возникает весьма часто и обычно носит специальное название. Например, в задаче о поглощении излучения веществом она носит название закона Бугера–Ламберта; аналогом периода полураспада в этом законе является толщина слоя половинного поглощения.

Пример 2. Динамика популяции.

Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.

В основе модели Мальтуса лежит утверждение о том, что скорость изменения численности N населения пропорциональна самой численности, умноженной на разность неотрицательных констант – коэффициентов рождаемости a и смертности b :

(24)

Частное решение (24) при начальном условии имеет вид:

Модель (24) совпадает с моделью (22) радиоактивного распада, однако при допускает и экспоненциально возрастающие решения. Если (рождаемость равна смертности), то численность населения остается постоянной, однако это равновесие неустойчиво: малейшее нарушение равенства приводит с течением времени ко все большему отличию функции от первоначального значения .

Пример 3. Уравнение Циолковского.

Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс системы есть величина постоянная:

Используем этот закон для моделирования реактивного движения тела переменной массы. Пусть продукты сгорания топлива покидают ракету с постоянной относительно нее скоростью . Пусть в некоторый момент времени импульс ракеты был равен mv (подразумевается, что единственная ось координат сонаправлена скорости ракеты; тогда скорость продуктов сгорания относительно Земли отрицательна), а после прохождения бесконечно малого отрезка времени dt стал равен . Тогда закон сохранения импульса можно записать в виде

где – импульс продуктов сгорания, – их скорость относительно Земли.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим:

Для определения постоянной интегрирования учтем, что начальная скорость ракеты была равна нулю, а ее начальная масса

складывалась из полезной mu и структурной ms масс (в структурную массу включается масса топлива и всех элементов, не предназначенных для вывода на орбиту). Имеем:

Окончательно:

(25)

Соотношение (25), полученное в предположении об отсутствии гравитации и сопротивления воздуха, позволяет сделать ряд выводов о конструкции ракеты. Для современных ракетных двигателей скорость u истечения продуктов сгорания составляет около 3 км/с. Пусть структурная масса на порядок превышает полезную. Тогда максимально достижимая скорость:

км/с.

Поэтому даже в идеальных условиях одноступенчатая ракета не способна достичь первой космической скорости. Причина этого – затраты топлива на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы.

Рассмотренные выше модели отличаются простотой, связанной с их линейностью – отклик объекта на изменение каких-либо параметров соразмерен величине этого изменения (например, двукратное увеличение скорости истечения продуктов сгорания влечет за собой соответствующее увеличение скорости ракеты).

Для нелинейных моделей знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а отклик объекта на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Большинство реальных процессов и соответствующих им моделей нелинейны; линейные модели служат лишь первым приближением к реальности. Например, модель динамики популяции становится нелинейной, если принять во внимание ограниченность доступных ресурсов. Положим, что существует некоторая равновесная Ne численность популяции, которую может обеспечить окружающая среда, а скорость изменения численности пропорциональна ее величине, умноженной на отклонение от равновесного значения:

(26)

Частное решение этого уравнения, соответствующее начальному условию , имеет вид

Последняя зависимость называется логистической: при любом значении N0 начальной численности ее величина N стремится к равновесному Ne значению, причем тем медленнее, чем ближе численность к этому значению. Поэтому здесь, в отличие от модели (24), равновесие устойчиво.

Модель динамики популяции становится нелинейной и в том случае, если коэффициенты рождаемости и смертности переменны. Пусть, например, рождаемость пропорциональна численности; тогда уравнение (24) преобразуется к виду

(27)

где a и b – положительные константы.

Частное решение (27) при начальном условии имеет вид

Если , то предэкспоненциальный множитель в знаменателе положителен, и численность монотонно уменьшается, стремясь к нулю. Если , то численность не зависит от времени. Если , то характер решения изменяется: численность растет со временем настолько быстро, что обращается в бесконечность за конечное время

тем меньшее, чем больше начальное значение численности.

Модели второго порядка

К дифференциальным уравнениям второго порядка приводят задачи, в которых искомая величина связана со скоростью изменения скорости этой величины.

Вновь обратимся к движению частицы массы m на пружине, точка крепления которой движется по закону . Действующая на частицу сила

направлена к положению равновесия и пропорциональна удлинению пружины.

Пусть также со стороны внешней среды на частицу действует сила трения, пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению:

, .

Найдем закон движения частицы. На основании основного закона динамики:

Далее производную по времени мы будем обозначать точкой:

, .

Введем обозначения: , , . Закон движения примет вид

(28)

Неоднородное уравнение (28) называется уравнением вынужденных колебаний. Соответствующее однородное уравнение

(29)

называется уравнением свободных колебаний. Движение частицы определяется типом корней характеристического уравнения

которые, в свою очередь, зависят от соотношения массы частицы, силы трения и упругости пружины.

Пусть . Тогда характеристическое уравнения имеет два действительных различных отрицательных корня. Общее решение уравнения свободных колебаний:

;

отклонение монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Если , то характеристическое уравнение имеет один двукратный отрицательный корень . Общее решение:

Отклонение также асимптотически стремится к нулю.

Пусть сила сопротивления отсутствует. Тогда характеристическое уравнение

имеет пару мнимых корней . Закон движения принимает вид

или

где амплитуда A и начальная фаза равны

Пусть , (сила сопротивления незначительна). В этом случае характеристическое уравнение также имеет мнимые корни; обозначая

получим

Последнее уравнение описывает затухающие колебания.

Обратимся к неоднородному уравнению вынужденных колебаний. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Уравнение принимает вид

(30)

Если трение невелико (, ), то общее решение этого уравнения

Первое слагаемое при стремится к нулю (по истечении достаточно большого промежутка времени свободными колебаниями на собственной частоте можно пренебречь). Второе слагаемое xr описывает вынужденные колебания. Частота w этих колебаний совпадает с частотой w вынуждающей силы.

Амплитуда A^* вынужденных колебаний возрастает с уменьшением трения. Считая амплитуду функцией частоты вынуждающей силы, исследуем ее на экстремум. После всех преобразований:

, при .

Если трение мало, то правая часть последнего равенства близка к единице, и максимальное значение амплитуды достигается при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний. Указанный случай соответствует явлению резонанса: через некоторый промежуток времени амплитуда колебаний частицы возрастает до значений, значительно превышающих амплитуду вынуждающей силы.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система

, ,

в каждое из n уравнений которой входят независимая переменная t, искомые функции , и их производные. Независимую переменную в большинстве задач удобно понимать как время; в этом случае производные можно обозначать точками.

Решением системы дифференциальных уравнений называется векторная функция скалярного аргумента (упорядоченный набор из n функций), при подстановке которой в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество. Общее решение системы включает n постоянных интегрирования:

, ,

Частное решение может быть получено из общего решения и системы из n начальных условий.

Нормальной, или динамической системой уравнений называется система, каждое из уравнений которой разрешено относительно производной, причем правые части не содержат производных:

или

, ,

(31)

где .

Нормальную систему можно записать в виде одного векторного уравнения

где .

Автономной нормальной системой называется нормальная система, правая часть которой не содержит времени:

, .

Если функции в правой части системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности точки , то существует единственная система функций , которая является решением системы (31) и удовлетворяет начальным условиям

, .

(32)

Начальное условие можно записать в векторной форме:

Решение определяет линию в n-мерном пространстве. Это пространство называют фазовым пространством, а линию называют фазовой траекторией.

Преобразование системы к уравнению высшего порядка

Систему дифференциальных уравнений можно заменить одним уравнением, порядок которого равен числу уравнений исходной системы. Для этого следует из уравнений системы и уравнений, полученных из них дифференцированием, исключить все неизвестные функции, кроме одной. Для определения последней будет получено уравнение высшего порядка. После нахождения этой функции остальные, по возможности без интегрирования, находятся из уравнений системы и уравнений, полученных в результате их дифференцирования.

Пусть, например, требуется решить систему

Дифференцируя первое уравнение системы, получим . Выражая производную и подставляя ее во второе уравнение, получим однородное линейное уравнение второго порядка относительно одной функции:

Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому первая из функций, составляющих общее решение, имеет вид

;

дифференцируя, найдем вторую функцию, входящую в решение:

Пусть требуется решить систему

Выразим из второго уравнения первую из неизвестных функций:

Дифференцируя обе части, выразим производную первой из неизвестных функций:

Подставляя выражения для x и в первое уравнение, получим

Решение того уравнения:

откуда

Пусть требуется решить систему из трех уравнений

Для решения системы здесь удается применить метод, называемый методом интегрируемых комбинаций. Складывая уравнения почленно, получим

откуда . Исключая z из исходной системы, понизим ее порядок до двух:

Далее, из первого уравнения ; тогда

Система сведена к неоднородному линейному уравнению второго порядка для одной неизвестной функции , из которого эта функция и может быть найдена. Дифференцируя, найдем , после чего определим третью из неизвестных функций.

Одна интегрируемая комбинация позволяет получить одно конечное уравнение (в последнем примере – уравнение), связывающее неизвестные функции и независимую переменную. Это конечное уравнение называют первым интегралом системы. После нахождения первого интеграла одна из функций выражается через остальные и тем самым порядок системы понижается на единицу.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Такая система, записанная в нормальной форме, имеет вид

, .

(33)

Введем обозначения

, , .

Тогда систему можно записать в векторной форме

(34)

Если , то систему

(35)

называют однородной. В противном случае ее называют неоднородной. Если коэффициенты aij не зависят от времени, то систему называют системой с постоянными коэффициентами.

Если известно общее решение однородной системы (35), и какое-либо частное решение неоднородной системы (34), то их сумма:

является общим решением неоднородной системы.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде

где .

Подставляя функции xi в систему (c), получим

, .

Сокращая на и перенося все слагаемые в левую часть, придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов aj:

, .

(36)

Определитель матрицы коэффициентов этой системы:

Ненулевые решения возможны только тогда, когда он равен нулю. Алгебраическое уравнение n-й степени

называется характеристическим уравнением системы (с). Это уравнение имеет ровно n действительных или комплексных корней l_i (считая с кратными), называемых собственными значениями однородной системы. Каждому корню соответствуют n собственных функций

где aik определяются из системы (36); при этом один из коэффициентов aik берется произвольно, так как в системе (36) только независимых уравнений. Если эти собственные функции линейно независимы, то общим решением однородной системы будет их линейная комбинация

содержащая n произвольно выбранных коэффициентов.

Пример. Решить систему:

Ее характеристическое уравнение

откуда . Подставляя найденные корни в систему (36), получим

Определитель этой системы равен нулю и одно из уравнений является следствием другого. Полагая , из первого уравнения получим: . Аналогично можно найти: , . Первому корню соответствует решение

второму корню – решение

комплексно сопряженное с первым.

За систему частных решений можно взять отдельно действительные или мнимые части. Общее решение имеет вид:

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

Если старший коэффициент q₀ (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение – это уравнение вида

Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям

где y₀, y₁, y₂, …, y_n_-1 – заданные числа. Для уравнения теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести к виду (17): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и p_i(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения заключался в том, что найдётся окрестность точки x₀, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений и вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), p_i(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x₀ – произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению и начальным условиям.

Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L_n(y), который отображает функцию y(x), имеющую производных, в функцию, имеющую k – n производных:

С помощью оператора L_n(y) неоднородное уравнение можно записать так:

L_n(y) = f(x);

однородное уравнение примет вид

L_n(y) = 0. Теорема. Дифференциальный оператор L_n(y) является линейным оператором.

Док-во непосредственно следует из свойств производных:

1. Если C = const, то

Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения, затем неоднородного уравнения, и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект – определитель Вронского.

Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .

Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).

Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация – многочлен степени – не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство для возможно только при .

2. Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация – многочлен степени – не может иметь на (a, b) больше n корней.

3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке .

4. Система функций также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.

Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент – определитель Вронского.

Определителем Вронского (вронскианом)

системы n – 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций.

Если система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

для .

Продифференцируем по x равенство n – 1 раз и составим систему уравнений

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы – определитель Вронского. В каждой точке эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е. на (a, b).

Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (или, что тоже самое), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых L_n(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y₁(x), y₂(x) – частные решения, то функции Cy, y₁(x) + y₂(x) – тоже частные решения. Действительно, пользуясь свойствами пункта. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим

если L_n(y) = 0, то L_n(Cy) = CL_n(y) = 0;

если L_n(y₁) = 0 и L_n(y₂) = 0, то L_n(y₁ + y₂) = L_n(y₁) + L_n(y₂) = 0.

Следствие. Если y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) – частные решения уравнения, то их линейная комбинация C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) – тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения.

Теорема. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) – частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x₀) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C₁, C₂, …, C_n. Рассмотрим линейную комбинацию функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с этими коэффициентами C₁, C₂, …, C_n: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ + C_n y_n(x). Эта функция удовлетворяет уравнению и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x₀, т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) = 0 для любого . Таким образом, система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема. Если определитель Вронского W(x) системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

Теорема. Если W(x) – определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Фундаментальной системой решений

линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x).

Док-во. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) – фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y_чо(x) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C₁, C₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C₁, C₂, …, C_n и сравним её с функцией y_чо(x). Функции y(x) и y_чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y_чо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + … + C_n y_n(x). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x₀ для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

L_n(y₁) = 0;

L_n(y₂) = 0;

L_n(y_n) = 0;

Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) – решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос – как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

Формула Лиувилля.

Теорема. Определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p₁(x) – коэффициент при n – 1 производной.

Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка . Пусть y₁(x), y₂(x) – частные решения этого уравнения, тогда , .

Так как y₁(x), y₂(x) – решения уравнения, то

, .	Умножим первое из этих уравнений на – y₂(x), второе – на y₁(x) и сложим:

. В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй – , поэтому , что и требовалось доказать.

Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

так как первые n – 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

т.е. .

Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если , то Интегрируем последнее выражение в пределах от x₀ до x:

(Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) – непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x₀) всегда имеют один знак). Окончательно

Формула называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x₀) = 0, то ; если , то ни в одной точке интервала (a, b).

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x).

Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно

y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x), система функций y(x), y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:

Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна y₁(x) = cos x, y₂(x)= x³. Решение:

Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений: Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором .

Понижение порядка линейного однородного уравнения, если известно одно его частное решение.

Для линейного уравнения

известно частное решение y₁(x). Заменой y(x) = z(x) y₁(x), это уравнение может быть преобразовано в уравнение, допускающее понижение порядка. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка . Пусть y₁(x) – частное решение этого уравнения, т.е. . Перейдём к переменной z(x), связанной с y(x) соотношением y(x)=z(x)y₁(x). Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение:

Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z(x), поэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается:

Можно доказать, что вронскиан системы функций равен , т.е. отличен от нуля и, следовательно, функции y₁(x), y₂(x) образуют фундаментальную систему решений. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y₂(x) исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишем формулу Лиувилля так

. Поделив это выражение на y₁(x), (y₁(x))², получим . Выражение слева – производная дроби , поэтому . Интегрируем: , , и так как мы ищем решение y₂(x), линейно независимое с y₁(x), то берём .

Пример: найти общее решение уравнения .

Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. В рассматриваемом случае в коэффициенты уравнения входят степени x и ln x, поэтому можно попытаться искать частное решение в виде y = x^k или y = ln x. Предположим, что уравнение имеет частное решение вида y₁= x^k. Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим , . Уравнение удовлетворяется, если это имеет место только при k = 1. Итак, функция y₁(x) = x – частное решение этого уравнения. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице: ,

и воспользуемся формулой :

Итак, фундаментальная система решений этого уравнения: y₁(x) = x, y₂(x) = ln x, общее его решение y(x) = C₁x + C₂ ln x.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений.

Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения:

y_он(x) = y_оо(x) + y_чн(x) = (C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x)) + y_чн(x).

Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y_чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как и y_чн(x), и – решения неоднородного уравнения (20), то L_n(y_чн(x))=f(x) и , следовательно, по линейности оператора L_n(y), . Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n: . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида ( – постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f₁(x), f(x)=f₂(x):

Теорема о наложении решений.

Если y_1,чн(x) – частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₁(x), y_2,чн(x) – частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₂(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения .

Док-во основано на линейности оператора L_n(y): , что и требовалось доказать.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

Пусть y₁(x), y₂(x) – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

y_оо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) – общее решение однородного уравнения. Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения в том же виде y(x)=C₁(x)y₁(x) + C₂ (x)y₂(x), предполагая, что постоянные C₁, C₂ – не постоянные, а функции, зависящие от x: C₁= C₁ (x), C₂= C₂(x). Мы должны найти эти функции. Находим производную : . Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y(x) мы ищем две функции C₁ (x) и C₂(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C₁ (x) и C₂(x), в качестве этой связи положим

Тогда .

Подставляем выражения для y(x) и её производных в уравнение:

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y₁(x), y₂(x) – решения однородного уравнения, поэтому окончательно

Уравнения, дают замкнутую систему для функций и :

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y₁(x), y₂(x) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение , . Находя это решения и интегрируя выражения производных для и , получим C₁ (x) и C₂(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x).

Пример: найти общее решение уравнения .Мы начали решать эту задачу в разделе.

Понижение порядка линейного однородного уравнения.

Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение y_оо (x) = C₁ x + C₂ ln x. В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной в виде y(x) = C₁(x) x + C₂(x) ln x. Система для производных коэффициентов и будет такой:

Ответ: общее решение уравнения y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) = (- x ln x + C₁⁰)x +

(в окончательном ответе индекс “0” у постоянных опущен).

В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка ,

если известна фундаментальная система решений y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде

y(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + …+ C_n(x) y_n(x). Тогда

Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций C_i(x), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

тогда

Опять положим , и т.д. Для n-ой производной получим

Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции y_i(x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим .

Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных получим систему уравнений

Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение . Находя это решение и интегрируя, найдём C_i(x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + …+ C_n(x) y_n(x).

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (p_i(x) = a_i = const, i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (a_i = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = e^kx. Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на e^kx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени

kⁿ + a₁kⁿ^-1 + a₂ kⁿ^-2 + a₃kⁿ^-3 + …. + a_n = 0 .

Уравнение называется характеристическим уравнением уравнения. Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k₁, k₂, …, k_n, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

Если k_j – простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР;

если k_j – действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k_j = k_j₊₁ = k_j₊₂ = …= k_j₊_r_-1), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;

если – простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь – мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k_j число . Паре корней k_j, k_j₊₁ соответствуют функции , в ФСР;

если – комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней k_j, k_j₊₁, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., , в ФСР.

Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

Его характеристическое уравнение k² + a₁k + a₂ = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a₁² – 4a₂, может иметь

1. действительные неравные корни k₁, k₂ (D > 0). Функции , по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения. Вронскиан этой системы функций

, следовательно – это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения в этом случае – .

2. действительные равные корни . Функция , как и в предыдущем случае, решение уравнения. Докажем, что функция тоже удовлетворяет уравнению:

, так как k₁ – корень характеристического уравнения: . Функции – фундаментальная система решений, так как

. Общее решение уравнения в этом случае – .

3. комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим:

, подставляем в уравнение:

Рассмотрим по отдельности коэффициенты при и при : , . Итак, , т.е. функция – действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция – решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

, т.е. это – фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае – .

Примеры:

1. .

Характеристическое уравнение k² + 4k – 5 = 0. Его корни k₂= 1. Фундаментальная система решений y₁(x) = e ^-5^x, y₂(x) = e ^x, общее решение y(x) = C₁ e ^-5^x + C₂e^x.

2. .

Характеристическое уравнение 16k² – 40k + 73 = 0. Его корни Фундаментальная система решений , общее решение .

3. .

Характеристическое уравнение 64k² + 112k + 49 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений , общее решение .

4. .

Это уравнение 7-го порядка, его характеристическое уравнение k ⁷ + 2k ⁶ + 8k ⁴ +16k ³ = 0. Преобразуем его левую часть: k ³ (k ⁴+ 2 k ³+ 8 k + 16) = k ³ [k ³ (k + 2) + 8(k + 2)] = k ³ (k + 2)( k ³ + 8) =

= k ³ (k + 2)( k + 2)( k ² -2 k + 4) = k ³ (k + 2)² (k ² – 2 k + 4). Корни: k_1,2,3= 0, k_4,5= -2, .

Фундаментальная система решений y₁ = e⁰^x = 1, y₂ = xe⁰^x = x, y₂ = x²e⁰^x = x², y₄ = e^-2^x, y₅ = xe^-2^x, общее решение .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения . По теореме о структуре общего решения неоднородного уравнения общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения: k² + 4k – 5 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений y₁(x) = e ^-5^x, y₂(x) = e ^x, y_оо(x) = C₁ e ^-5^x + C₂ e^x. Ищем решение исходного уравнения в виде y(x) = C₁(x) e ^-5^x + C₂(x)e^x. В соответствии с методом вариации система для нахождения будет Решаем эту систему:

Общее решение: (константы в окончательном ответе переобозначены).

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении имеет вид

где и – многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r – кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m(x) и S_m(x) – многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) и S_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x).

Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

1. Если f(x) = P_m(x) (т.е. f(x) – многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y_чн(x)= R_m(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y_чн(x)= x^r R_m(x), если число 0 – корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) – многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = P_m(x) в виде f(x) = e⁰^x [P_m(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s₀ = 0 + 0i =0, m₁ = m, m₂ = 0, max(m₁,m₂) = m, поэтому

y_чн(x)= x^r e^{0 x} [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) .

Примеры: 1. Найти общее решение уравнения .

Решение: характеристическое уравнение k² – 5k + 6 = 0, его корни k₁= 2, k₂= 3, y_oo = C₁e ²^x+ C₃e ³^x. Степень многочлена m = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому y_чн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами: y_чн(x)= x^r R_m(x) = Ax³ + Bx² + Dx + E. Тогда ; подстановка этих выражений в уравнение даст [6Ax + 2B] – 5[3Ax² + 2Bx + D] + 6[Ax³ + Bx² + Dx + E] = x³ – 2x. Приводим подобные члены: 6Ax³ + [-15A + 6B] x² + [6A – 10B + 6D]x + [2B – 5D +6E] = x³ – 2x. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

x³

x²

6A = 1;

– 15A + 6B =0;

6A – 10B + 6D = -2;

2B – 5D + 6E = 0;

A = 1/6;

B = 15A/6 = 5/12;

D = 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36;

E = 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

Итак,

2. .

k² – 5k = 0, k₁= 0, k₂= 5, y_oo = C₁+ C₃e ^5x. Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому y_чн(x) ищем в виде

y_чн(x) = x(Ax³ + Bx² + Dx + E) = Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex. Тогда

[12Ax² + 6Bx + 2D] – 5[4Ax³ + 3Bx² + 2Dx + E] = x³ – 2xE,

x³

x²

– 20A = 1;

12A – 15B =0;

6B – 10D = -2;

2D – 5E = 0;

A = – 1/20;

B = 4A/5 = – 1/25;

D = 3B/5 + 2/10 = – 3/125 + 2/10 = 44/250 = 22/125;

E = 2D/5 = 44/625.

3. .

k⁴ – 5k² = 0, k² (k² – 5) = 0, k_1,2= 0, , . Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому y_чн(x) ищем в виде y_чн(x) = x²(Ax³ + Bx² + Dx + E) = Ax⁵ + Bx⁴ + Dx³ + Ex². Тогда

x³

x²

– 100A = 1;

60B =0;

120A – 30D = -2;

24B – 10E = 0;

A = – 1/100;

B = 0;

D = 4A/5 + 2/30 = – 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75;

E = 24B/10 = 0.

2. Если , то частное решение ищется в виде , если число не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число – корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) – многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать в виде . В этом случае , поэтому .

Примеры: 4. Найти общее решение уравнения .

Решение: характеристическое уравнение k² – 4k + 4 = 0, (k – 2)² = 0, его корни k_1,2= 2,

у_оо = С₁е²^x + С₂хе²^x . Степень многочлена m = 3, число является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому y_чн(x) ищем в виде

y_чн(x) = x²e²^x[Ax³ + Bx² + Dx + E] = e²^x (Ax⁵ + Bx⁴ + Dx³ + Ex²). Тогда

подстановка этих выражений в уравнение даст

После приведения подобных членов и сокращения на e²^x сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x³

x²

20A = 1;

12B =0;

6D = -2;

2E = 0;

A = 1/20;

B = 0;

D = – 1/3;

E = 0.

5. .

k² – 5k + 6 = 0, k₁= 2, k₂= 3, y_oo = C₁e ²^x+ C₃e ³^x. m = 3, число является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому y_чн(x) ищем в виде

y_чн(x) = x¹e²^x(Ax³ + Bx² + Dx + E) = e²^x(Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex). Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах.

6. .

, . m = 3, число не является корнем характеристического уравнения, поэтому y_чн(x) = e²^x(Ax³ + Bx² + Dx + E). Дальнейшие выкладки опускаем.

Пример на применение общего правила:

7. .

, y_oo = e^3x(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x). Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна: второе содержит функцию e³^x, первое – нет (более точно, первое содержит функцию e⁰^x = 1), поэтому мы должны искать два частных решения (т.е. воспользоваться теоремой о наложении решений). Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению

Запишем правую часть как f(x) = (75x² – 86x + 18) sin 2x = e⁰^x[0 cos 2x + (75x² – 86x + 18) sin 2x ]. Здесь число s₀ не является корнем характеристического уравнения (r = 0), m = max(m₁, m₂) = 2 (это означает, что в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены второй степени, несмотря на то, что cos 2x в функции f(x) отсутствует), поэтому y_чн,1(x) = е⁰^x[(Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x] = (Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x. Находим производные этой функции и подставляем в уравнение:

(2A+8Ex+4F-4Ax²-4Bx-4D)cos2x+(2E-8Ax-4B-4Ex²-4Fx-4G)sin2x–

-6[(2Ax+B+2Ex²+2Fx+2G)cos2x+[(2Ex+F-2Ax²-2Bx-2D)sin2x]+13[(Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x]=

= (75x² -86 x + 18) sin 2x

Сравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и одинаковых степенях x:

x²cos2x

x cos2x

cos2x

x²sin2x

x sin2x

sin2x

-4A – 12E + 13A = 0; 9A =12E; 3A =4E;

8E – 4B – 12A – 12F + 13B = 0;

2A + 4F – 4D – 6B – 12G + 13D = 0;

-4E + 12A + 13E =75;9E +12A =75; 3E +4A=25;

-8A – 4F – 12E + 12B + 13F = 86;

2E – 4B – 4G – 6F + 12D + 13G =18;

Из первого и четвёртого уравнений находим

A = 4/3E, 3E + 16/3E = 25, 25/3E =25, E = 3, A = 4. Перепишем второе и четвёртое уравнения с найденными значениями и :

9B – 12F = 12A – 8E = 24, 3B – 4F = 8,

9F + 12B = -86 + 8A + 12F = -86 + 32 + 36,

3F + 4B = -6,

Решая систему находим 9B + 16B = 24 – 24 = 0, B = 0, F = -2. Третьё и шестое уравнения теперь примут вид , откуда D = G = 0.

Окончательно у_чн,1(x) = 4x² cos 2x + (3x² -2x ) sin 2x.

Ищем второе частное решение, удовлетворяющее уравнению

Запишем правую часть как f(x) = e³^x[16x cos 2x + 0 sin 2x ]. Здесь число s₀ является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, m = max(m₁, m₂) = 1 (т.е. в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены первой степени), поэтому

y_чн_,2(x) = е^3x[(Hx + I) cos 2x + (Jx + K) sin 2x] x ^r = [(Hx² + Ix) cos 2x + (Jx² + Kx) sin 2x].

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

kⁿ + a₁kⁿ^-1 + a₂ kⁿ^-2 + a₃kⁿ^-3 + …. + a_n = 0 .

Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

, следовательно – это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения в этом случае – .

, так как k₁ – корень характеристического уравнения: . Функции – фундаментальная система решений, так как

. Общее решение уравнения в этом случае – .

3. комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим:

, подставляем в уравнение:

, т.е. это – фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае – .

Примеры:

5. .

6. .

Характеристическое уравнение 16k² – 40k + 73 = 0. Его корни Фундаментальная система решений , общее решение .

7. .

Характеристическое уравнение 64k² + 112k + 49 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений , общее решение .

8. .

= k ³ (k + 2)( k + 2)( k ² -2 k + 4) = k ³ (k + 2)² (k ² – 2 k + 4). Корни: k_1,2,3= 0, k_4,5= -2, .

Фундаментальная система решений y₁ = e⁰^x = 1, y₂ = xe⁰^x = x, y₂ = x²e⁰^x = x², y₄ = e^-2^x, y₅ = xe^-2^x, общее решение .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение: (константы в окончательном ответе переобозначены).

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

y_чн(x)= x^r e^{0 x} [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) .

Примеры: 1. Найти общее решение уравнения .

x³

x²

6A = 1;

– 15A + 6B =0;

6A – 10B + 6D = -2;

2B – 5D + 6E = 0;

A = 1/6;

B = 15A/6 = 5/12;

D = 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36;

E = 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

Итак,

2. .

y_чн(x) = x(Ax³ + Bx² + Dx + E) = Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex. Тогда

[12Ax² + 6Bx + 2D] – 5[4Ax³ + 3Bx² + 2Dx + E] = x³ – 2xE,

x³

x²

– 20A = 1;

12A – 15B =0;

6B – 10D = -2;

2D – 5E = 0;

A = – 1/20;

B = 4A/5 = – 1/25;

D = 3B/5 + 2/10 = – 3/125 + 2/10 = 44/250 = 22/125;

E = 2D/5 = 44/625.

3. .

x³

x²

– 100A = 1;

60B =0;

120A – 30D = -2;

24B – 10E = 0;

A = – 1/100;

B = 0;

D = 4A/5 + 2/30 = – 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75;

E = 24B/10 = 0.

3. Если , то частное решение ищется в виде , если число не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число – корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) – многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать в виде . В этом случае , поэтому .

Примеры: 4. Найти общее решение уравнения .

Решение: характеристическое уравнение k² – 4k + 4 = 0, (k – 2)² = 0, его корни k_1,2= 2,

y_чн(x) = x²e^2x[Ax³ + Bx² + Dx + E] = e^2x (Ax⁵ + Bx⁴ + Dx³ + Ex²). Тогда

подстановка этих выражений в уравнение даст

После приведения подобных членов и сокращения на e²^x сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x³

x²

20A = 1;

12B =0;

6D = -2;

2E = 0;

A = 1/20;

B = 0;

D = – 1/3;

E = 0.

5. .

y_чн(x) = x¹e^2x(Ax³ + Bx² + Dx + E) = e^2x(Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex). Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах.

6. .

Пример на применение общего правила:

7. .

, y_oo = e³^x(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x). Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна: второе содержит функцию e³^x, первое – нет (более точно, первое содержит функцию e⁰^x = 1), поэтому мы должны искать два частных решения (т.е. воспользоваться теоремой о наложении решений). Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению