Диференціальне числення

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту Dх. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

Dу = f(x + Dx) – f(x)

Означення. Відношення  приросту Dу функції у = f(x) до приросту  незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

                          (1)

Відношення  є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При  січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута a нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f(x) називається диференційовною в точці х = х0, якщо існує границя .

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції
у = f(x) у точці х₀ і позначається

 

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f¢ (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

·

Похідні основних
елементарних функцій

¨ Диференціальне відношення (1) дорівнює

.

Згідно з наслідком 4 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже,

.

У частинному випадку при а = е дістаємо:

.

¨ Записуємо диференціальне відношення (1):

Користуючись другою визначною границею, дістаємо

.

Отже, при  шукана похідна подається так:

Зокрема, коли а = е, маємо:

. ¨

¨ 1. Для функції у = sinx диференціальне відношення (1) подається так:

.

Згідно з першою визначною границею маємо:

.

Отже,

.

2. Аналогічно для функції у = cosx дістаємо:

3. Для функції у = tgх диференціальне відношення (1) набуває вигляду:

Згідно з наслідком 1 і п. 4.2.5 .

Отже,

.

4. Аналогічно для функції у = ctgx записуємо:

 Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst)¢ = 0.

¨  ¨

 

.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu¢.

¨

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції: .

¨ Нехай у = u + v. Якщо Du і Dv — прирости функцій u та v відносно приросту Dх аргументу х, то приріст функції у такий:

.

Остаточно маємо:

 

 

Правило 4. Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією .

 Нехай у = uv, де u і v — диференційовні функції від х; ∆х — приріст аргументу х; Du і Dv — прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:

 

Отже,

.

Коли Dх прямує до нуля, маємо:

.

Тоді

¨

Правило 5. У точках, в яких , відношення  двох дифе­ренційовних функцій є функція диференційовна, причому .

¨ Розглянемо точки, в яких виконуються умови: ; u i v — диференційовні.

Нехай х набуває приросту Dх; Dу, Du, Dv — відповідні прирости функцій у, u і v.

Якщо  в точці х, , коли Dх близьке до нуля. Тоді виконується рівність

.

Віднімаючи від неї вираз , дістаємо:

,

або

.

Якщо Dх прямує до 0, маємо:

. ¨

Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

.                            (4)

Доведення. Нехай Dу — приріст змінної у, а Dх — відповідний приріст змінної х. Тоді

.

Звідси

.

Оскільки обернена функція також неперервна, дістаємо

.

Отже,

.

 Якщо , то для функцій  оберненими є відповідно такі:

За теоремою 1 маємо:

;

;

;

.

 

Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції :  — правило ланцюга.

Доведення. Позначимо u = j(х). Тоді у = f(u). Знайдемо прирости функцій у = f(u), u = j(x):

Далі запишемо диференціальне відношення (1):

Коли то й . Тому

.

 

Логарифмічна похідна

Нехай у = f(x) диференційовна функція. Тоді можемо записати

                                                      (6)

 При f(x) > 0, безпосередньо маємо (6); при f(x) < 0 дістаємо .

Отже,

.

Означення. Похідна функції , обчислена за формулою (6), називається логарифмічною похідною  f  у точці х.

Якщо  і , дістаємо такі формули для обчислення логарифмічних похідних функцій F(x) i G(x):

 (7)

 

Похідна показниково-степеневої функції

Означення. Функція  називається показниково-степеневою функцією.

Прологарифмуємо рівняння

                             

.

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

                              (9)

 

 

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = a.

Тоді

Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽²⁾.

Аналогічно, похідною n-го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^(n-1), якщо вона існує і диферен­ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ  або Dⁿy, Dⁿf(x).

 

Правила знаходження
похідних n–го порядку

На похідні n-го порядку легко поширюються правила, розглянуті в підрозд. 5.1.3.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n-го порядку від добутку двох функцій u(x) та v(x). Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому:

Вираз (u + v)ⁿ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені
(u⁰ = v⁰), що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

 

 

Поняття диференціала

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

                      (1)

де функція  при  задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:       

Геометрична інтерпретація:

Диференціал  є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація)

 

Правила обчислення диференціала