Невизначений інтеграл. Визначений інтеграл.
Застосування інтегрального
числення.
ОЗНАЧЕННЯ ПЕРВІСНОЇ.
Означення. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):
Тоді функція F (x) називається первісною для функції f (x).
Якщо F (x) — одна з первісних функції f (x), то будь-яка інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С — довільна стала.
Отже, якщо функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.
Означення. Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом.
Невизначений інтеграл виразу f (x)dx позначають
(1)
Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis — цілісний.
Символ — початкова літера слова summa (сума).
Слово «невизначений» підкреслює, що до загального виразу первісної входить сталий доданок, який можна взяти довільно.
Вираз називають підінтегральним виразом, функцію f (x) — підінтегральною функцією, змінну x — змінною інтегрування.
Постають такі запитання: 1) чи завжди можна знайти невизначений інтеграл; 2) як можна знайти цей інтеграл, якщо він існує?
Відповідь на перше запитання частково дає наведена далі теорема, яка є основною теоремою інтегрального числення.
Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну.
Проте ця теорема не стверджує, що первісну даної неперервної функції можна знайти за допомогою скінченної кількості відомих дій і подати результат в елементарних функціях. Більш того, існують неперервні елементарні функції,інтеграли від яких не є елементарними функціями. Такі функції називають неінтегровними. Їх інтеграли не можуть бути знайдені за допомогою скінченної кількості елементарних функцій.
Наприклад, можна довести, що інтеграли
не подаються елементарними функціями, тобто відповідні підінтегральні функції є неінтегровними.
Зауважимо, що за правилами диференціального числення для будь-якої елементарної функції можна знайти її похідну (також елементарну). В інтегральному численні такі правила для відшукання первісної принципово неможливі.
Первісні для неінтегровних функцій, таких як
і т. ін., знаходять наближеними (чисельними) методами.
Загалом знаходження невизначених інтегралів — задача, істотно складніша порівняно з диференціюванням. Її розв’язування спрощується завдяки застосуванню математичних довідників і комп’ютерних пакетів програм, наприклад Mathсad, Mathematica 3.0 тощо.
Основні властивості
невизначеного інтеграла
Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:
● Продиференціювавши рівність (1) дістанемо:
Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:
(2)
● Рівність (2) випливає з (1), якщо взяти
Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
(3)
● Справді, згідно з властивістю 1 диференціал лівої частини
(4)
подається так само, як і диференціал правої частини:
(5)
Якщо диференціали (4) і (5) обох частин рівності (3) однакові, то ці частини відрізняються лише сталою, яка вважається включеною в позначення невизначеного інтеграла.
Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:
Формула доводиться безпосередньою перевіркою диференціюванням. Справді, диференціал лівої частини подається так:
Найпростіші інтеграли.
Таблиця основних інтегралів
За формулами, якими подаються диференціали функцій, легко дістати відповідні формули інтегрування.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Таблиця основних інтегралів
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Закінчення табл.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Метод заміни змінної
у невизначеному інтегралі
Нехай F’(x) = f(x). Тоді .
Згідно з інваріантністю форми першого диференціала рівність справджується і тоді, коли x — проміжний аргумент, тобто
Це означає, що формула виконується й при
. Таким чином,
або
Отже, справджується теорема.
Теорема 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку , а
— диференційовна на проміжку
функція, значення якої належать
, то
— первісна для
,
, і
(6)
Формула (6) називається формулою заміни змінної під знаком невизначеного інтеграла.
Метод заміни змінної дозволяє зводити інтеграли до табличних або до інтегралів, методи знаходження яких відомі. Після обчислення інтеграла потрібно знову замінити x на
Робоча формула
(7)
Зауваження. Вивчення методів інтегрування певних функцій загалом можна звести до з’ясування того, яку заміну змінної в підінтегральному виразі потрібно зробити. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, наскільки вдало виконано заміну змінних, яка спрощує даний інтеграл.
Знайти
·
Наслідок. Якщо то
(8)
Доведення. Згідно з формулою (7) маємо:
Знайти
●
Формула інтегрування частинами
Згідно з формулою диференціювання добутку двох функцій u(x) та v(x) маємо:
Інтегруючи цю рівність, дістаємо:
або
(9)
Ця формула відбиває методику інтегрування частинами.
Нею зручно користуватися в таких випадках:
1. Підінтегральний вираз містить як множник функції ,
,
,
,
. Якщо за
узяти ці функції, то підінтегральний вираз
нового інтеграла буде простіший за початковий.
2. Підінтегральна функція має вигляд ,
,
, де
— многочлен від х. Тоді, узявши за
, дістанемо інтеграл такого самого вигляду, але степінь його буде вже на одиницю меншим. Беручи цей многочлен за
, можна знову знизити степінь на одиницю, і т. д.
3. Підінтегральна функція має вигляд ,
,
,
і т. ін.
Після двократного інтегрування частинами дістанемо початковий інтеграл з деяким коефіцієнтом. Здобута рівність є лінійним алгебраїчним рівнянням відносно шуканого інтеграла.
Підставивши значення інтеграла 2 у праву частину інтеграла 1 і навпаки та розв’язавши рівняння, дістанемо:
Узагальнена формула інтегрування частинами:
(10)
Зауваження. Формулою (10) зручно користуватися, ко-
ли один із множників підінтегральної функції є много-
член.
Інтегрування раціональних дробів.
Стандартний підхід
Інтегрування основних простих дробів
Класифікуючи елементарні функції, виокремлюють важливий клас раціональних функцій, які можна подати у вигляді дробу , де
і
— многочлени. Якщо степінь чисельника не менший за степінь знаменника, то такий дріб є неправильним. У такому разі, виконуючи ділення, знаходимо:
де — деякий многочлен, а дріб
є правильним дробом, в якого степінь чисельника менший за степінь знаменника.
Виокремимо з класу правильних дробів основні прості дроби. Такі дроби бувають чотирьох типів.
І. ІІІ.
ІІ. ІV.
,
Тут — дійсні числа,
— ціле число.
Розглянемо інтеграли від наведених чотирьох основних типів.
Дроби типів І і ІІ інтегруються за допомогою підстановки
1.
2.
3. Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виокремимо із тричлена у знаменнику повний квадрат:
Далі за допомогою підстановки х + р = t зведемо інтеграл до суми двох табличних:
Остаточно маємо:
(11)
Знайти .
● Можна повторити весь процес знаходження інтегралів типу ІІІ, а можна скористатися формулою (11), підставивши в неї значення ,
,
,
. Дістанемо:
4. Знайдемо інтеграл від дробу типу IV:
Обчислимо інтеграл .
Після зведення подібних членів дістанемо:
(12)
Інтеграл виражено через
. Формули виду (12) називаються рекурентними. Для обчислення
при будь-якому
немає потреби виконувати інтегрування: знаючи значення
, з виразу
за формулою (12) знаходимо послідовно
.
Знайти .
●
Зводячи разом обчислені інтеграли, остаточно дістаємо рекурентну формулу для обчислення інтеграла від дробу типу ІV:
(13)
де
Обчислити інтеграл .
● Не повторюючи виведення формули (13), виконаємо такі підстановки:
Дістанемо
Стислі відомості про алгебраїчні рівняння
Теорема (Безу). При діленні многочлена на
остача від ділення дорівнює
.
Доведення. Поділивши на
, дістанемо частку
і остачу
Звідси
Нехай , тоді
Дано
Поділимо на
Отже, . Водночас за теоремою Безу
.
Наслідок. Для того, щоб многочлен ділився без остачі на
, необхідно і достатньо, щоб
Сформулюємо без доведення основну теорему алгебри, автором якої є К. Гаусс.
Теорема. Будь-який алгебраїчний многочлен при має дійсний (або комплексний) корінь.
З теореми Гаусса випливає, що кожний многочлен n-го степеня можна розкласти на множники:
,
де — корені цього многочлена.
Тотожна рівність двох многочленів
Розглянемо два многочлени n-го степеня:
,
.
Означення. Якщо тобто всі відповідні коефіцієнти многочленів рівні між собою, то говорять, що многочлени
і
тотожно рівні між собою. Записують:
.
Теорема. Якщо , то відповідні коефіцієнти много-
членів однакові:
.
Теорема. Якщо значення двох многочленів n-го степеня збігаються в точці, то многочлени тотожно рівні між собою.
Розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами
Теорема. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то він має і комплексно спряжений корінь
.
Візьмемо довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами й розкладемо його на лінійні множники:
.
Серед коренів можуть бути дійсні та комплексні. Згрупувавши однакові корені, дістанемо:
де — дійсні корені многочлена
;
— цілі числа, так зва-
ні кратності коренів многочлена; — цілі числа, так звані крат-
ності квадратних тричленів; — дійсні числа. При цьому
, де n — степінь многочлена
.
Розклад правильного раціонального дробу
на найпростіші
Теорема. Якщо — правильний раціональний дріб, то його можна записати у вигляді:
,
де всі дроби є правильними.
Теорема . Правильний раціональний дріб
у разі, якщо не ділиться на
, можна подати у вигляді:
Теорема (Ейлера). Нехай — правильний раціональний дріб, знаменник якого записано в зазначеному щойно вигляді, тоді цей дріб можна єдиним чином подати як суму найпростіших дробів:
Наведений вираз називається розкладом раціонального дробу на найпростіші дроби.
Для визначення невідомих коефіцієнтів існують кілька способів.
Рівність між многочленом у лівій частині і многочленом у правій частині має виконуватися для всіх
, тому коефіцієнти при однакових степенях
в обох частинах мають збігатися. Зрівнюючи їх, дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Цей метод знаходження коефіцієнтів розкладу правильного раціонального дробу на суму найпростіших дробів називається методом невизначених коефіцієнтів.
● Зведемо ліву і праву частини до спільного знаменника:
1. Якщо містить
лінійних множників, то, підставляючи в обидві частини останньої рівності замість х значення відповідних коренів, знайдемо коефіцієнти:
2. Підставивши в обидві частини цієї ж рівності замість х певні значення (наприклад, отримаємо систему алгебраїчних рівнянь, розв’язавши яку знайдемо коефіці-
єнти Інший шлях: коефіцієнти
знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Потрібно розкрити дужки, звести подібні члени й розв’язати утворену систему рівнянь.
Знайти .
●
Розкладаємо спочатку підінтегральний дріб на прості дроби за теоремою 2.5
Коефіцієнт знайдемо підставлянням значення кореня
:
Коефіцієнти знайдемо методом невизначених коефіцієнтів:
Степені |
Рівності, отримані при порівнянні коефіцієнтів при відповідних степенях |
Знайти .
●
Знайти .
·
Інтегрування раціональних дробів:
інший підхід
Найпростішим класом функцій, інтеграли від яких подаються елементарними функціями, є клас раціональних функцій.
Будь-яку раціональну функцію можна подати у вигляді раціонального дробу, тобто як відношення двох многочленів:
(14)
Властивості раціональних функцій
1. Сума (різниця) раціональних функцій є раціональна функція.
2. Добуток (частка) раціональних функцій є раціональна функція.
3. Раціональна функція від аргументу, який є раціональною функцією, є раціональною функцією.
Не обмежуючи загальності, припустимо, що многочлени і
не мають спільних коренів.
Означення. Якщо степінь многочлена чисельника нижчий за степінь многочлена знаменника, дріб (14) називається правильним , у противному разі дріб називається неправильним
.
Якщо дріб неправильний, то, поділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна подати цей дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.
(15)
Неправильний дріб |
Многочлен |
Правильний дріб |
Неправильний раціональний дріб можна подати за формулою (15):
–,
|
–
Тому
Інтегрування многочленів не становить труднощів, а тому головне — зінтегрувати правильні раціональні дроби.
Як уже відомо, будь-який раціональний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів:
1) 3)
2) 4)
Доведемо це твердження.
1. Нехай — корінь многочлена
кратності
. Тоді
, де
— многочлен, який ділиться на
, і тому
Рівність
(16)
справджується для будь-якого А. Із (16) маємо:
.
Візьмемо число А таке, щоб чисельник другого дробу правої частини ділився на . Дістанемо рівняння:
(17)
Із (17) знаходимо
Визначивши А, скоротимо другий дріб і, узявши
,
дістанемо
.
Степінь чисельника буде нижчим за степінь знаменника, оскільки степінь
нижчий за степінь
Якщо , то з другим дробом діємо так, як із даним:
,
де — многочлен степеня, нижчого за степінь
.
У дробу знаменник уже не має кореня
. Якщо
є коренем кратності
многочлена
, а отже, і многочлена
, то дріб
можна розкласти так само, як і даний дріб. Якщо
— корені кратності відповідно
, то, виконуючи й далі описаний щойно розклад, остаточно дістаємо:
(18)
Формула (18) є формулою розкладу правильного дробу на найпростіші.
2. Нехай — прості корені многочлена
тоді формула (18) записується у вигляді
(19)
Сталі А, В, …, К визначаються розглянутим раніше способом. Беручи
, (20)
знаходимо
.
Диференціюючи рівняння (20), маємо:
(21)
При із (21) випливає
,
тому
(22)
Далі маємо:
(23)
Формули (22), (23) зручніші для обчислення коефіцієнтів, оскільки похідну від утворювати легше, ніж частки від ділення
Якщо
то
а тому
(24)
Аналогічно знаходимо:
(25)
Підставляючи вирази (24), (25) у формулу (19) і домножуючи на , маємо:
(26)
Формула (26) відома під назвою інтерполяційної формули Лагранжа.
Диференціальне числення дає зручні засоби для визначення чисельників частинних дробів і в разі кратних коренів функції .
Помноживши обидві частини рівняння
,
де
,
на , дістанемо:
(27)
Якщо в рівнянні (27) узяти , то права частина зведеться до А, а в лівій частині утвориться вираз
або вираз виду
, границю якого можна знайти за відомими правилами. Якщо попередньо продиференціювати це рівняння, а потім узяти
, то права частина зведеться до
, а ліва частина дасть вираз цього коефіцієнта у двох різних формах, і т. д.
Можна також помітити, що наведене рівняння дає розклад у вигляді многочлена, розміщеного за степенями
і доповненого залишковим членом
, який можна визначити або за формулою Тейлора або алгебраїчним діленням.
Зауваження. Усе, щойно сказане, справджується й для випадку, коли коефіцієнти многочлена комплексні. Але якщо коефіцієнти многочлена
дійсні і він має комплексні корені, то в інтегралі з’являються комплексні вирази, чого бажано уникнути.
Зазначимо, що коли — комплексний корінь кратності
многочлена
, то і спряжене з
комплексне число
буде коренем цього многочлена такої самої кратності.
3. Нехай многочлен має комплексні корені. Тоді обидва члени
і їх інтеграли при
тобто числа
будуть комплексно спряженими, а отже, сума їх дійсна.
При маємо:
(28)
Беручи
дістаємо в інтегралі (28) вираз
або, за відомими формулами:
що після спрощення зводиться до інтеграла
(29)
Інтеграл (28) можна дістати іншим способом, скориставшись (19). Зводячи дроби до спільного знаменника у виразі (19), дістаємо:
Оскільки , маємо (29).
Інтеграл обчислено в попередньому прикладі.
Обчислити , де
— многочлен степеня, меншого за
.
● За формулою Тейлора маємо:
.
Звідси
,
а тому
(30)
(31)
Розклад дробу на найпростіші можна дістати також за теоремою, яку наводимо без доведення.
Теорем . Раціональний дріб
в якому
— взаємно прості поліноми степенів а
— поліном степеня, нижчого за степінь добутку , може бути розкладений на суму двох дробів:
де — поліноми степенів, нижчих за степені відповідних знаменників.
Інтегрування ірраціональних виразів
Інтеграли від ірраціональних функцій за допомогою підстановок, які залежать від типу підінтегральних виразів, зводяться до інтегралів від раціональних функцій.
Розглянемо основні типи ірраціональних підінтегральних виразів та підстановки, за якими вони раціоналізуються.
1.
2
3.
4.
5.1.
5.2.
6.
7.
де
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
8.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
9. Підстановки Ейлера, за допомогою яких завжди раціоналізується вираз виду , де
— раціональна функція.
Перша підстановка :
.
Друга підстановка :
.
Третя підстановка :
або
.
10. Виокремити алгебраїчну частину з інтеграла , де
— многочлен
-го степеня, можна за формулою
(32)
де — многочлен n-го степеня,
Коефіцієнти цього многочлена знайдемо за методом невизначених коефіцієнтів. Продиференціювавши (32) і помноживши здобуту рівність на
, дістанемо:
(33)
Звідси методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .
Біноміальний диференціал
Означення. Вираз виду
(34)
де і
— сталі показники,
— раціональні числа, називається біноміальним диференціалом.
Диференціал (34) введенням нової змінної можна перетворити на диференціал такого самого виду, але з цілими показниками.
● Справді, беручи дістаємо
Узявши так, щоб
і
були цілими, знайдемо біноміальний диференціал з цілими показниками.
Далі з тотожності випливає, що диференціал (34) може бути перетворений на диференціал
типу , але до нього замість
входить –n, а отже, в одному з двох диференціалів показник буде додатним. Таким чином, не порушуючи загальності, можемо вважати, що
і
— цілі числа і
— додатне.
Три випадки інтегровності у скінченному вигляді
біноміальних диференціалів (34)
І. — ціле число. Тоді диференціал (34) — раціональна функція.
ІІ. Тоді диференціал (34) заміною
перетворюється на раціональну функцію.
●
·
ІІІ. Тоді, застосувавши заміну
до виразу
дістанемо:
●
·
Ці випадки інтегрованості були відомі ще Ньютонові. Але лише П. Л. Чебишов встановив, що інших випадків інтегрованості у скінченному вигляді для біноміальних диференціалів не існує.
У разі, якщо , а p, q — цілі числа, для обчислення інтегралів від біноміального диференціала можна застосувати формули зведення.
Інтеграл можна звести до інтегралів
або
:
Інтегрування тригонометричних виразів
Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
де — раціональна функція від
І. Універсальна підстановка
В окремих випадках можна користуватися простішими підстановками.
ІІ. Якщо інтеграл зводиться до виду
,
то застосовуємо заміну
Із цим випадком стикаємося щоразу, коли підінтегральний вираз містить парні степені і
оскільки
,
.
ІІІ. Якщо інтеграл зводиться до виду
,
то виконуємо заміну
ІV. Якщо інтеграл зводиться до виду
то виконуємо підстановку
.
V. Якщо інтеграл зводиться до виду
де — цілі числа, то підінтегральний диференціал є раціональна функція від
і
, яку можна зінтегрувати відомими методами.
Розв’язуючи здобуте рівняння відносно даного інтеграла, дістаємо:
VI. Деякі підінтегральні вирази, що зводяться до раціонального вигляду підстановками 1—4, можуть бути безпосередньо знайдені за допомогою штучних прийомів.
Тригонометричні підстановки
для раціоналізації ірраціональних виразів
Інтегруючи вирази виду або
, найчастіше користуються такими підстановками:
для виразів, що містять підстановкою
або
для виразів, що містять підстановкою
або
для виразів, що містять підстановкою
або
1.
2.
Визначений інтеграл
Існує кілька підходів до викладання визначених інтегралів. Розглянемо основні, що мають історичні корені і найбільш близькі до початків інтегрального числення.
Підсумовування нескінченно малих
Нехай задано неперерву функцію на відрізку [a; b] і F(x) —будь-яка її первісна. Розіб’ємо відрізок [a; b] начастин і утворимо різницю
F(b) – F(a) (1)
значень первісної на його кінцях.
Різниця (1) дорівнює сумі таких самих різниць, складених для відрізків, на які розбито даний:
(2)
Рис 1
За теоремою Лагранжа про скінченний приріст маємо:
F(хі) – F(хі – 1) = (хі – хі – 1)F¢(xi – 1),
де xi Î [хі; хі–1] (рис. 2.1).
Позначивши хі – хі–1 = D хі–1 і врахувавши, що
F¢(xi–1) = f(xi–1),
рівність (2) подамо так:
F(b) – F(a) = f(x0)Dх0 + f(x1)Dх1 + … + f(xn–1)Dхn – 1. (3)
Залежність (3) справджується лише для значень x0, x1, … xn, які задовольняють теорему Лагранжа. Але коли необмежено збільшувати кількість n частин відрізка [a; b] так, щоб довжина відрізка Dхі – 1 прямувала до нуля, то рівність (3) виконуватиметься і різниця F(b) – F(a) буде сумою нескінченної кількості спадних доданків:
(4)
Рівність (3) справджується не лише за певного, а й за будь-якого вибору точок x0, x1, … xn–1, тому (4) є формулою суми нескінченно малих, яку вивели Лейбніц і Ньютон.
Поняття визначеного інтеграла.
Перший підхід
Означення. Сума
називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.
Означення. Скінченна границя І суми s при називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку
[a; b] і позначається
(5)
де а, b — відповідно нижня та верхня межі інтегрування, ò — знак інтеграла, введений Лейбніцем. (Лейбніц увів знак інтеграла ò як витягнуту букву S, що позначає підсумовування.) У разі існування границі І функція f(x) називається інтегровною на про-
міжку [a; b].
Вводячи поняття про визначений інтеграл як границю інтегральної суми й застосовуючи його позначення та формулу (5), рівність (4) можна переписати у вигляді:
(6)
Це відома формула Ньютона—Лейбніца, яка поєднує диференціальне числення з інтегральним.
В інтегралі символ х позначає змінну інтегрування. Цю змінну можна позначати будь-якою іншою буквою, а отже, завжди маємо:
Зауважимо, що означення визначеного інтеграла можна застосувати лише до обмеженої функції.
Теорема (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.
Доведення. Припустимо супротивне. Нехай функція f(x) на проміжку необмежена. Тоді за будь-якого розбиття проміжку на частини функція f(x) зберігає цю властивість хоча б в одній із частин. Завдяки вибору на цій частині точки x можна зробити значення f(x), а з нею і суму s як завгодно великою. За цих умов скінченні границі для s існувати не можуть.
Властивості визначеного інтеграла
Властивість 1. Визначений інтеграл є міра площі.
● Справді, інтегральна сума
(7)
утворена з добутків виду
(8)
Нехай xі–1 = хі–1. Тоді добуток (8) є площа прямокутника, основу якого становить різниця хі – хі–1 = Dхі–1, а висоту — ордината f(xi–1). Отже, інтегральна сума (7) являє собою суму площ таких прямокутників, або площу східчастої фігури, вписаної у криволінійну трапецію АabB, обмежену кривою у = f(x) (рис.2).
Рис. 2
Площа криволінійної трапеції АabB більша за інтегральну суму (7). Але якщо вибрати за точки xі(і = 0, …, n – 1) праві кінці відрізків [хі–1; хі], то дістанемо фігуру, описану навколо криволінійної трапеції АabB. Тому площа криволінійної трапеції АabB дещо менша за інтегральну суму (7).
Границя інтегральної суми (7) при будь-якому виборі точок xі і при за означенням є визначений інтеграл
.
Отже, доходимо висновку:
Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.
Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.
● Узявши a < b і а < x1 < x2 < … < xn–1 < b, за означенням дістанемо:
.
Переставивши межі інтегрування а та b, розглядатимемо вже відрізок [b; a] і, узявши ті самі точки розбиття, дістанемо відрізки [хі; хі–1], а не [хі–1; хі]. Отже,
Звідси випливає таке співвідношення:
(9)
Зауваження. Цю властивість можна довести також за формулою Ньютона—Лейбніца (6), яка справджується для будь-яких а і b. Зокрема, вона виконується, коли числа а та b поміняти місцями:
Таким чином, знову маємо формулу (9).
Наслідок.
● Справді, узявши у формулі (9) b = а, дістанемо
Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c Î [а; b]. Тоді
(10)
● Справді, якщо F(x) — будь-яка первісна для функції f(x) на відрізку [а; b], то F(x) є первісною і для функції f(x) на відрізках [а, с] і [с, b]. Отже, за формулою Ньютона—Лейбніца записуємо
Звідси
Остання рівність і доводить формулу (10).
Геометрична інтерпретація
Рис.3
Площа криволінійної трапеції АаbB дорівнює сумі площ криволінійних трапецій АасС і СсbB (рис.3).
Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)
1. Якщо f(x) > 0 для х Î (а; b), a < b, то
2. Якщо f(x) < 0 для х Î (а, b), a < b, то
● За означенням визначений інтеграл є границя інтегральної суми:
1. У разі f(x) > 0, a < b доданки f(xі)Dхі інтегральної суми до-
датні, оскільки додатні обидва множники f(хі–1) і Dхі–1.
2. Якщо a > b, то хоча f(хі–1) > 0, множник Dхі–1 від’ємний. Справді:
Dхі–1 = хі – хі–1 і а > x1 > x2 > … > хі–1 > хі > … > b.
3. Розглядаючи доданки f(хі–1)Dхі–1 інтегральної суми, встановлюємо, що множник f(xі) < 0, множник Dхі–1 додатний, оскільки
a < b.
Геометрична інтерпретація
1. Площа, обмежена кривою В’АВ, має різні знаки по різні боки кожної межі інтегрування а (рис.4).
Рис. 4
2. Площі кривих, розміщених над віссю абсцис, вважаються додатними, а площі кривих, розміщених під віссю абсцис, — від’ємними (рис.5).
Рис.5
Знайти суму площ двох сусідніх хвиль синусоїди
● (рис.6).
Рис.6
Властивість 5. Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:
● Визначимо знак різниці:
За властивістю 4 останній інтеграл додатний.
Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:
(11)
● Розглянемо інтегральну суму
яку згідно з властивістю дистрибутивності можна розкласти на дві суми:
Переходячи до границі при , маємо:
тобто виконується (11).
Властивість 7. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
(12)
● За означенням визначеного інтеграла записуємо:
А оскільки в інтегральній сумі сталий множник можна винести за знак цієї суми, дістаємо:
Переходячи до границі, маємо:
Отже, виконується (6).
Властивість 8. Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то
(13)
● Рівність (13) легко дістати, перейшовши безпосередньо до границь у нерівності для інтегральних сум:
Властивість 9. Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність
то
(14)
● Рівність (14) дістанемо, безпосередньо перейшовши до границь у нерівності
та взявши до уваги, що .
Властивість 10. (Теорема про середнє значення.) Нехай f(x) — інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку Тоді
(15)
де
Доведення. Якщо а < b, то за властивістю 9 маємо:
.
Звідси
.
Узявши
,
знайдемо рівність (14).
Якщо а > b, то на підставі аналогічних міркувань (з преставленням межі інтегрування) дістаємо (14).
Випадок неперервної функції f(x). Якщо числа m i M — відповідно найбільше і найменше значення функції (вони існують за теоремою Вейєрштрасса), то за теоремою Больцано—Коші проміжного значення m функція f(x) набуває в деякій точці с проміжку [a, b].
Таким чином,
Геометрична ілюстрація. Нехай f(x) ³ 0. Розглянемо криволінійну фігуру АВСD, обмежену кривою у = f(x) (рис.7). Площа такої фігури (виражена визначеним інтегралом) дорівнює площі прямокутника з основою АВ і висотою LM.
Рис..7
Властивість 11. (Узагальнена теорема про середнє значення.)
Нехай виконуються такі умови:
1) f(x) і g(x) — інтегровні у проміжку [a; b];
2) m £ f(x) £ M;
3) g(x) ³ 0 (або g(x) £ 0).
Тоді
де m £ m £ M. (16)
Доведення. Не порушуючи загальності, візьмемо g(x) ³ 0 і а < b. За такої умови дістанемо:
.
Звідси згідно з властивостями 6 і 3 маємо:
. (17)
А оскільки g(x) ³ 0, то згідно з властивістю 5
.
Якщо цей інтеграл дорівнює нулеві, то з попередніх нерівностей випливає співвідношення:
,
а отже, і твердження теореми.
Метод заміни змінної
у невизначеному інтегралі
Нехай F’(x) = f(x). Тоді .
Згідно з інваріантністю форми першого диференціала рівність справджується і тоді, коли x — проміжний аргумент, тобто
Це означає, що формула виконується й при
. Таким чином,
або
Отже, справджується теорема.
Теорема 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку , а
— диференційовна на проміжку
функція, значення якої належать
, то
— первісна для
,
, і
(6)
Формула (6) називається формулою заміни змінної під знаком невизначеного інтеграла.
Метод заміни змінної дозволяє зводити інтеграли до табличних або до інтегралів, методи знаходження яких відомі. Після обчислення інтеграла потрібно знову замінити x на
Робоча формула
(7)
Зауваження. Вивчення методів інтегрування певних функцій загалом можна звести до з’ясування того, яку заміну змінної в підінтегральному виразі потрібно зробити. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, наскільки вдало виконано заміну змінних, яка спрощує даний інтеграл.
Знайти
·
Наслідок. Якщо то
(8)
Доведення. Згідно з формулою (7) маємо:
Знайти
●
Формула інтегрування частинами
Згідно з формулою диференціювання добутку двох функцій u(x) та v(x) маємо:
Інтегруючи цю рівність, дістаємо:
або
(9)
Ця формула відбиває методику інтегрування частинами.
Нею зручно користуватися в таких випадках:
1. Підінтегральний вираз містить як множник функції ,
,
,
,
. Якщо за
узяти ці функції, то підінтегральний вираз
нового інтеграла буде простіший за початковий.
2. Підінтегральна функція має вигляд ,
,
, де
— многочлен від х. Тоді, узявши за
, дістанемо інтеграл такого самого вигляду, але степінь його буде вже на одиницю меншим. Беручи цей многочлен за
, можна знову знизити степінь на одиницю, і т. д.
3. Підінтегральна функція має вигляд ,
,
,
і т. ін.
Після двократного інтегрування частинами дістанемо початковий інтеграл з деяким коефіцієнтом. Здобута рівність є лінійним алгебраїчним рівнянням відносно шуканого інтеграла.
Підставивши значення інтеграла 2 у праву частину інтеграла 1 і навпаки та розв’язавши рівняння, дістанемо:
Узагальнена формула інтегрування частинами:
(10)
Зауваження. Формулою (10) зручно користуватися, ко-
ли один із множників підінтегральної функції є много-
член.
Інтегрування раціональних дробів.
Стандартний підхід
Інтегрування основних простих дробів
Класифікуючи елементарні функції, виокремлюють важливий клас раціональних функцій, які можна подати у вигляді дробу , де
і
— многочлени. Якщо степінь чисельника не менший за степінь знаменника, то такий дріб є неправильним. У такому разі, виконуючи ділення, знаходимо:
де — деякий многочлен, а дріб
є правильним дробом, в якого степінь чисельника менший за степінь знаменника.
Виокремимо з класу правильних дробів основні прості дроби. Такі дроби бувають чотирьох типів.
І. ІІІ.
ІІ. ІV.
,
Тут — дійсні числа,
— ціле число.
Розглянемо інтеграли від наведених чотирьох основних типів.
Дроби типів І і ІІ інтегруються за допомогою підстановки
1.
2.
3. Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виокремимо із тричлена у знаменнику повний квадрат:
Далі за допомогою підстановки х + р = t зведемо інтеграл до суми двох табличних:
Остаточно маємо:
(11)
Знайти .
● Можна повторити весь процес знаходження інтегралів типу ІІІ, а можна скористатися формулою (11), підставивши в неї значення ,
,
,
. Дістанемо:
4. Знайдемо інтеграл від дробу типу IV:
Обчислимо інтеграл .
Після зведення подібних членів дістанемо:
Інтеграл виражено через
. Формули виду (12) називаються рекурентними. Для обчислення
при будь-якому
немає потреби виконувати інтегрування: знаючи значення
, з виразу
за формулою (12) знаходимо послідовно
.
Знайти .
●
Зводячи разом обчислені інтеграли, остаточно дістаємо рекурентну формулу для обчислення інтеграла від дробу типу ІV:
де
Обчислити інтеграл .
● Не повторюючи виведення формули (13), виконаємо такі підстановки:
Дістанемо
Інтегрування раціональних дробів:
інший підхід
Найпростішим класом функцій, інтеграли від яких подаються елементарними функціями, є клас раціональних функцій.
Будь-яку раціональну функцію можна подати у вигляді раціонального дробу, тобто як відношення двох многочленів:
Властивості раціональних функцій
4. Сума (різниця) раціональних функцій є раціональна функція.
5. Добуток (частка) раціональних функцій є раціональна функція.
6. Раціональна функція від аргументу, який є раціональною функцією, є раціональною функцією.
Не обмежуючи загальності, припустимо, що многочлени і
не мають спільних коренів.
Означення. Якщо степінь многочлена чисельника нижчий за степінь многочлена знаменника, дріб (14) називається правильним , у противному разі дріб називається неправильним
.
Якщо дріб неправильний, то, поділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна подати цей дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.
(15)
Неправильний дріб |
Многочлен |
Правильний дріб |
Неправильний раціональний дріб можна подати за формулою (15):
–,
|
–
Тому
Інтегрування многочленів не становить труднощів, а тому головне — зінтегрувати правильні раціональні дроби.
Як уже відомо, будь-який раціональний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів:
1) 3)
2) 4)
Доведемо це твердження.
1. Нехай — корінь многочлена
кратності
. Тоді
, де
— многочлен, який ділиться на
, і тому
Рівність
справджується для будь-якого А. Із (16) маємо:
.
Візьмемо число А таке, щоб чисельник другого дробу правої частини ділився на . Дістанемо рівняння:
Із (17) знаходимо
Визначивши А, скоротимо другий дріб і, узявши
,
дістанемо
.
Степінь чисельника буде нижчим за степінь знаменника, оскільки степінь
нижчий за степінь
Якщо , то з другим дробом діємо так, як із даним:
,
де — многочлен степеня, нижчого за степінь
.
У дробу знаменник уже не має кореня
. Якщо
є коренем кратності
многочлена
, а отже, і многочлена
, то дріб
можна розкласти так само, як і даний дріб. Якщо
— корені кратності відповідно
, то, виконуючи й далі описаний щойно розклад, остаточно дістаємо:
Формула (18) є формулою розкладу правильного дробу на найпростіші.
2. Нехай — прості корені многочлена
тоді формула (18) записується у вигляді
Сталі А, В, …, К визначаються розглянутим раніше способом. Беручи
,
знаходимо
.
Диференціюючи рівняння (20), маємо:
При із (21) випливає
,
тому
Далі маємо:
Формули (22), (23) зручніші для обчислення коефіцієнтів, оскільки похідну від утворювати легше, ніж частки від ділення
Якщо
то
а тому
Аналогічно знаходимо:
Підставляючи вирази (24), (25) у формулу (19) і домножуючи на , маємо:
Формула (26) відома під назвою інтерполяційної формули Лагранжа.
Диференціальне числення дає зручні засоби для визначення чисельників частинних дробів і в разі кратних коренів функції .
Помноживши обидві частини рівняння
,
де
,
на , дістанемо: