Граничні теореми  теорії  ймовірностей

Закон великих чисел

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю.

Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова

Якщо випадкова величина Х має обмежені М (Х); D (Х), то ймовір­ність відхилення цієї величини від свого математичного сподівання, взятого за абсолютною величиною e (e > 0), не перевищуватиме величини: .

Це можна записати так:

.

Доведення нерівності. Нехай випадкова величина Х є неперервна, закон розподілу ймовірностей якої f (х); M (Х), D (Х) — обмежені величини. Випадкові події  і  будуть протилежними  (рис. 1).

Рис. 1

А тому

                                  

                  .              (а)

Отже, знаючи оцінку для , ми згідно з (а), знай­демо оцінку і для .

Розглянемо нерівність:

.                                                      (б)

Помноживши ліву і праву частини нерівності (б) на f (x) (f (x) > 0), дістанемо:

.                                                (в)

Зінтегруємо праву і ліву частини нерівності (в) на проміжках

                                             (г)

^або          .          (д)

Згідно з рис. 105 запишемо: ,

оскільки

.

З огляду на те, що  маємо:

Зрештою, нерівність (д) набере такого вигляду:

    .                                            (е)

Отже,

  .                                         

Підставивши оцінку для  (330) в (329), дістанемо:

, що й потрібно було довести.

Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу
N (– 2; 4).

Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність , якщо e = 4s.

Розв’язання.

Оскільки a = – 2, sx = 4, D (Х) = 16, то згідно з (328) маємо:

.

Приклад 2. Імовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події , якщо e = 10.

Розв’язання: За умовою задачі маємо: n = 400, p = 0,9; q = 0,1; e = 10.

M (Х) = np = 400 × 0,9 = 360;  D (Х) = npq = 360 × 0,1 = 36.

.

Теорема Чебишова

Нехай заданонезалежних випадкових величин X1, X2, … Xn, які мають обмежені M (Хі) (і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Хі) не перевищують деякої сталої С (С > 0), тобто D(Хі) £ C. Тоді для будь-якого малого додатного числа e імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

,

взятого за абсолютним значенням на величину e, прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

або

 .                                           

Доведення. Оскільки Хі — випадкові величини, то і  буде випадковою. Числові характеристики для :

;         .

Застосуємо нерівність Чебишова для випадкової величини

 або .

Ураховуючи умову D(Хi) £ C, записуємо:

.

Тоді при® ¥  дістаємо

.

Оскільки ймовірність не може бути більшою за одиницю, а нерів­ність є не строгою, одержимо

або  

що й потрібно було довести.

Приклад 3. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.

Розв’язання.

Використовуючи нерівність Чебишoва для теореми Чебишoва, одержимо:

Приклад 4. Унаслідок медичного огляду 900 допризовників було виявлено, що середня маса кожного з них на 1,2 кг більша від середньої маси попереднього призову. Чи можна це констатувати як випадковість, якщо середнє відхилення маси допризовника дорівнює 8 кг?

Розв’язання.

Оскільки ця ймовірність дуже мала, відхилення маси можна вважати невипадковим.

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному знезалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n ® ¥ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на e (e > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

                                                       

Доведення. Оскільки W(A) = m / n, де m — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась,— загальне
число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Хі — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Хі можна записати так:

Числові характеристики Хі:

M(Xi) = 0 q + 1 p = p;

M(X2i) = p;

D(Xi) = M(X2i) – M2(Xi) = p – p2 = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

.            (333)

Отже, доведено, що

Приклад 5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовір­ність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

Розв’язання. За умовою задачі: р = 0,95; q = 0,05; n = 400. На підставі (333) дістаємо:

Приклад 6. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р = 0,85, взяте за абсолютною величиною, на e = 0,001, була б не меншою за 0,99.

Розв’язання. Із умови задачі маємо р = 0,85; q = 0,15; e = 0,001,

Центральна гранична теорема теорії ймовірностей (теорема Ляпунова)

Для доведення центральної граничної теореми використовуються характеристичні функції.

Розглядається випадкова величина , де Х — дійсна випадкова величина, закон розподілу якої відомий, t — параметр, а  — уявна одиниця.

Така випадкова величина називається комплексною.

Характеристичною функцією називають математичне сподівання від eitХ:

.                                                  

Якщо Х є дискретною, то

.                                                          

Якщо Х є неперервною, то

.                                                     

Основні властивості ax(t):

1.             ax(0) = 1, оскільки в цьому разі (t = 0), то

2.             Якщо взяти похідну від ax(t) по t, то . Прирівнявши параметр t = 0, одержимо

,                                           

оскільки і2 = – 1 .

3.             Якщо взяти другу похідну від ax(t) за параметром і при цьому t = 0, то одержимо:

.

Отже,

.                                             

4. Якщо випадкові величини Y і Х пов’язані співвідношенням Y = ах + b, де а і b є сталими, то їх характеристичні функції пов’язані між собою так:

.

Отже,

.                                                        

5. Якщо випадкові величини Х1, Х2, … Хn є незалежними і відомі їх характеристичні функції , то для випадкової величини характеристична функція:

.              

6. Якщо випадкові величини Х1, Х2, … Хn є незалежними, кожна із них має один і той самий закон розподілу, то характеристична функція для                         _.                                                                                                                   

Приклад 7. Неперервна випадкова величина X має закон розподілу N (0; 1). Знайти характеристичну функцію для цього закону.

Розв’язання. Оскільки , то

,

через те, що , де , .

Отже, для нормованого нормального закону розподілу випадкової величини Х характеристична функція

.                                                               

5.2. Центральна гранична теорема

Розглядається один із найпростіших варіантів цієї теореми.

Теорема. Нехай заданонезалежних випадкових величин Х1, Х2, … Хn, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із M(Хi) = 0, s (Х) = s і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числазакон розподілу  наближатиметься до нормального.

Доведення. Оскільки випадкові величини Хі мають один і той самий закон розподілу, то кожна із них має одну і ту ж характеристичну функцію ax(t). Згідно з маємо:

.

Розвинувши aY(t) в ряд Маклорена в околі точки t = 0 і обмежив­шись при цьому трьома членами й залишковим членом в формі Лагранжа, запишемо:

,                       

де .

Із властивостей характеристичної функції випливає:

ax(0) = 1; a¢x(0) = iM(Х) = 0, оскільки M(Х) = 0;

 = – M(Х 2) = – s2.

Тоді вираз набирає такого вигляду:

.                                              

Оскільки   і при цьому

.

Це випливає з того, що

.

Уведемо випадкову величину .

Маємо: 

Використовуючи властивість характеристичної функції (339), дістаємо:

,                                  

де

.                                                    

Прологарифмуємо вираз (345): .                           

Використовуючи в (347) при п ® ¥ еквівалентність нескінченно малих , одержимо:

Оскільки  то

.

Звідси випливає, що

.

Таким чином, доведено, що характеристична функція випадкової величини Z при n ® ¥ дорівнює характеристичній функції нормованого нормального закону, а звідси випливає, що Z і пов’язана лінійною залежністю величина Y наближатимуться до нормального закону розподілу.

Приклад 8. Кожна із 100 незалежних випадкових величин Xі має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 0,12]. Записати наближено закон розподілу для випадкової величини

Розв’язання.

Знаходимо числові характеристики для Хі: M(Хі) = 0,06; D (Х) = 0,1.

Тоді

На підставі центральної граничної теореми маємо

.

Центральна гранична теорема була вперше використана для доведення інтегральної теореми Муавра—Лапласа.

6. Теорема Муавра—Лапласа

У загальному випадку випадкові величини Х1, Х2, … Хn, що розглядаються в центральній граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу.

Якщо Хі є дискретними і мають лише два значення: P (Хі = 0) = q, P (Xі = 1) = p, то приходимо до теореми Муавра—Лапласа, яка є найпростішим випадком центральної граничної теореми.

Якщо здійснюєтьсянезалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює  p, то для інтервалу [a; b) справедлива рівність:

                                        

Доведення. Нехай проводитьсянезалежних експериментів, у кожному з яких випадкова подія А може здійснитися зі сталою ймовірністю р. Тоді  — поява випадкової події векспериментах є випадковою величиною із числовими характеристиками:

M (Y) = np, D (Y) = npq, .

На підставі центральної граничної теореми розподіл випадкової величини Y зі зростанням наближатиметься до нормального. Тому для обчислення ймовірності події a < Y < b використовується формула (261): що і треба було довести.

Приклад 9. Завод виготовляє 80% виробів першого сорту. Навмання вибирають 800 виробів. Яка ймовірність того, що число виробів першого сорту виявиться в межах від 600 до 680 штук?

Розв’язання. Із умови задачі маємо p = 0,8; q = 0,2; n = 800; a = 700, b = 620.

Oбчислимо: np = 800 × 0,8 = 640;

Згідно з (259) дістанемо:

 

Основні формули комбінаторики.

Розміщеннями зелементів по k елементів  називають групи елементів, кожна з яких містить k елементів з данихелементів і які відрізняються одна від одної або елементами, або їх порядком. Число розміщень дорівнює

                                                                                                                                                                                       

Перестановками зелементів називають групи елементів, кожна з яких містить  данихелементів і які відрізняються одна від одної тільки порядком елементів. Перестановки зелементів – це розміщення зелементів по n. Число перестановок дорівнює

                                                                                                .

Комбінаціями зелементів по k елементів  називають групи елементів, кожна з яких містить k елементів з данихелементів і які відрізняються одна від одної хоча б одним елементом. Число комбінацій дорівнює

                                                                                                                                                                              

або

                                                                                                .       

 

Класичне та статистичне означення ймовірності.

 

Випадковою подією називається будь-яке явище, яке при здійсненні пквного комплексу умов може відбутися або не відбутится. Здійснення цього комплексу умов, який може бути відтворений необмежене число разів, називається випробуванням.

Достовірною називається подія, яка в результаті випробування обов’язково відбудеться. Неможливою називається подія, яка в даному випробуванні ніколи не відбувається.

Декілька подій називаються несумісними в даному випробуванні , якщо вони не можуть настати одночасно, тобто поява однієї з цих подій виключає появу будь-якої іншої з цих подій. Декілька подій утворюють повну групу в даному випробуванні, якщо в результаті випробування  обов’язково повинна настати хоча б одна з цих подій. Події в даному випробуванні називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що ні одна з цих подій не є більш можлива, ніж інша.

Ймовірність випадкової події – це чисельна міра об’єктивної можливості настання цієї події. Ймовірність досовірної події вважають рівною одиниці, а неможливої події – рівною нулю. Позначають ймовірність випадкової події А через   і вона задовільняє умову

                      .                                                                                 

Якщо випробування зводиться до схеми випадків, то використовують класичне означення для обчислення ймовірності події А: ймовірність події А дорівнює відношенню числа  результатів випробування котрі сприяють появі події А, до загального числа всіх рівноможливих несумісних результатів випробування, які утворюють повну групу

                      .                                                                                   

Відносною частотою події А в деякій серії випробувань називається відношення числа випробувань , в яких подія А появилася, до загального числа випробувань

                      .                                                                                   

Я.Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа випробувань відносна частота події буде як завгодно мало відрізнятися від її ймовірності в окремому випробуванні. Тому використовують статистичне означення ймовірності події: за ймовірність події приймають відносну частоту цієї події при великому числі випробувань.

 

Теореми додавання та множення ймовірностей.

 

Сумою  подій А і В називається подія, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А і В. Якщо події А і В несумісні, то їх сума це подія, яка полягає в появі або події А або події В. 

Добутком АВ подій А і В називається подія, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В.  Якщо події А і В несумісні, то їх добуток АВ є неможливою подією.

Сума і добуток декількох подій визначаються аналогічно.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

                                                       

Наслідок 1. Якщо події несумісні та утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

                      .                                                                                 

Протилежними подіями називаються дві несумісні події, які утворюють повну групу. Протилежну подію до події А позначають .

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

                      .                                                                           

Умовною ймовірністю  події А називають ймовірність цієї події, обчислену при умові , що подія В відбулася.

Теорема множення ймовірностей.

Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої події, обчислену в припущенні, що перша подія відбулася:

                      .                                                 

 Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися:

.                               

Дві події називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншої. Декілька подій називаються незалежними, якщо незалежні кожні дві з них і якщо незалежні кожна подія і всі можливі добутки інших. У випадкунезалежних подій

                                                                                                                                                                               ,

тобто ймовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

 

Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.

 

Якщо подія А може відбутися тільки разом з однією з несумісних подій , які утворюють повну групу, то ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій  (ці події надалі називатимемо гіпотезами) на відповідні умовні ймовірності події А:

                      ,                                                              

де . Формулу (4.1) називають формулою повної ймовірності.

З формулою повної ймовірності тісно пов’язана формула Бейєса, яка дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як в результаті випробувань появилася подія А. Умовна ймовірність гіпотези   обчислюється за формулою Бейєса

                      ,                                                        

де

 Інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової                                                                                                                                                                          величини                                  

Інтегральною функцією розподілу називають функцією  яка визначає для кожного значення  х  імовірність того, що випадкова величина  Х набере значення, менше ніж х, тобто

                                       

     Геометрично цю рівність можна уявития як  х-імовірність того, що випадкова величина  Х  набере значення, менше за те, яке відображається на числовій осі точкою, котра знаходиться ліворуч від точки х.

Випадкова величина буде називатися неперервною, якщо її функція розподілу неперервно диференційована.

Розглянемо властивості інтегральної функції розподілу.

1.                           Значення функції розподілу належать відрізку [0,1]:

                                         

2.                           – неспадна функція, тобто

                              якщо

Наслідок 1. Імовірність того, що випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу  дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

                                 

Наслідок 2. Імовірність того, що випадкова величина  Х  набере одного визначеного значення, дорівнює нулеві.

      

Наслідок 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу  то

                                          при

                                          при

Наслідок 4. Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать усій числовій осі  х,  то правильне таке граничне відношення:

                                      

 

 Диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей випадкової величини

 

Перша похідна від функції розподілу називається диференціальною функцією:

 

Імовірність влучення неперервної випадкової величини у визначений інтервал

Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова величина  Х  набере значення, яке належить інтервалу  дорівнює визначеному інтегралу від диференційної функції у межах від  а  до  b.

                                 

Якщо – функція парна і кінці інтервалу симетричні відносно початку координат, то

                   

Властивості диференційної функції

1.                           Диференційна функція невід’ємна:

2.                           Невласний інтеграл диференційної функції у межах від до  дорівнює 1.

 

Імовірний зміст диференційної функції

                                        

                                          

                                 

Чисельник – це ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить інтервалу

Таким чином, границя відношення ймовірності того, що неперервна випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу , до довжини цього інтервалу (при  дорівнює значенню диференційної функції в точці  х.

в точці  х – це густина імовірності в цій точці.

З теорії диференційних обчислень відомо:

                                        

                      

                                                    

                                         

Імовірнісний зміст цієї рівності: імовірність того, що випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу приблизно дорівнює (з точністю до нескінченно малих вищого порядку відносно ) добутку густини ймовірності в точці  Х  на довжину інтервалу

 

Закон рівномірного розподілу ймовірностей

 

Диференційні функції розподілу також називають законами розподілу

Розподіл імовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, в якому знаходяться всі можливі значення випадкової величини, диференційна функція має стале значенн.

Приклад. Диференційна функція рівномірного розподілу, всі можливі значення якої знаходяться в проміжку  на якому вона зберігає постійне значення  с.

При цьому:  при  

Оскільки всі можливі значення знаходяться в інтервалі  [a,b], то справедлива рівність:

                          

                                 

 

Нормальний закон розподілу

 

Числові характеристики неперервних випадкових величин

Нехай неперервна випадкова величина  Х  задана диференційною функцією  Нехай усі можливі значення  Х  належать проміжку  [a,b]. розіб’ємо відрізок на  п  часткових відрізків довжиною  і виберемо у кожному з них довільну точку

Математичні сподівання:

         

 наближено дорівнює ймовірності влучення  х  в інтервалі

Математичним сподіванням  неперервної випадкової величини  Х,  можливі значення якої розташовані на відрізку [a,b], називають визначений інтеграл:

                                 

Якщо можливі значення належать усій осі, то

Дисперсія неперервної випадкової величини відповідно визначається за формулами:

 

 

Нормальним називають розподіл імовірностей, який описується диференційною функцією виду:

 де а – математичне сподівання, – середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

Нормованим називають розподіл з  і 

– нормована випадкова величина з  

                                                                                               

Властивості  функції густини нормального закону розподілу.

При  х = а  функція має максимум

Графік функції є симетричним відносно прямої  х = а. 

Точки графіка

 та  – точки перегину.

Малюнок 7. Функція густини нормального закону розподілу                                                                             нормованої випадкової величини

 

 

Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої

 

Як бачимо  з малюнка, функція густини нормального закону розподілу симетрична відносно свого математичного сподівання.

Із зростанням математичного сподівання а (на мал. математичне сподівання дорівнює нулю) функція густини зсувається праворуч відносно   осі  х. Із спаданням а  вона зсувається ліворуч.

Якщо σ зростає, крива стає більш похилою, тобто до осі х;  при зменшенні значення σ нормальна крива стає гостроверхою.

Будь-яку випадкову величину х,  розподілену нормально з математичним сподіванням  а  та дисперсією  σ2,  можна пронормувати, тобто звести до випадкової величини з математичним сподіванням нуль та дисперсією одиниця, шляхом такого перетворення:

,  де х – випадкова величина;

а – математичне сподівання цієї випадкової величини;

σ – її середнє квадратичне відхилення 

Для нормального закону розподілу 50% значень випадкової величини лежать у межах  68% – у межах  і 95% – у межах  та 99,7% – у межах

Щоб проіліструвати нормальний закон розподілу, розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. Показати, що при досить великій кількості класів (В) та при частоті  пі  кожного окремого значення  хі  змінна  має нульове математичне сподівання  (t = 0)  і дисперсію

Розв’язок. За означенням математичного сподівання для дискретних випадкових величин маємо:

     

враховуючи, що 

Дисперсія величини  Т  обчислюється за формулою:

  

 

Приклад 2. Нехай нам відомо, що надходження чеків до банку відповідає нормальному закону розподілу з математичним сподіванням  (грн.) та середнім квадратичним відхиленням  (грн.). Нам потрібно знайти ймовірність надходження чека, вартість якого перевищує 6000 (грн.). Формалізовано це можна записати таким чином:

Х – випадкова величина (вартість чеків);

Х ~ N (5232, 1972).

Треба знайти: Р (Х>6000) = ?

Розв’язок. Пронормуємо випадкову величину хі  та знайдему значення ti, яке відповідає  

Далі використаємо таблицю нормального розподілу. Враховуючи симетричність функції густини нормального закону розподілу, отримаємо ймовірність того, що  буде дорівнювати  Отже, імовірність того, що до банку надійде чек вартістю більше ніж 6000, дорівнює 0,3483. Тепер нас цікавить імовірність того, що до банку надійде чек на суму меншу ніж 6000 (гривень). Оскільки ми вже маємо Р(х > 6000) = 0,3483, то знайти Р(х < 6000) дуже просто, знаючи, що  Отже,

Але якби нам був невідомий попередній результат, ми б шукали цю імовірність аналогічно попередньому розрахунку. Справді, для нашого прикладу: З властивості того, що функція густини нормалльного закону розподілу симетрична відносно свого математичного сподівання, випливає:

                      та

Приклад 3. За умов прикладу 2 необхідно знайти ймовірність того, що до банку потрапить чек вартістю нижче ніж 4000 (гривень).

Розв’язок. Нормуючи випадкову величину х, отримаємо значення t:

                                        

звідки

Приклад 4.  За умов прикладу 2 визначимо імовірність того, що значення випадкової величини потрапить до інтервалу  Наприклад, нас цікавить імовірність того, що вартість чека, який надходить, знаходиться у межах 4000 та 7000 (грн.). Нормування значення 4000 (грн.) та 7000 (грн.) дасть нам:

           

Враховуючи ці межі, можна розписати:

     

                          

За таблицею нормального закону розподілу, зробивши додаткові розрахунки, знаходимо:  та

Звідси маємо розв’язок:

Звичайно, на практиці нас цікавить і протилежна проблема: як, знаючи ймовірність того, чи відбулася подія, встановити її значення. Це можна зробити, використавши таблицю нормального закону розподілу та провівши зворотні перетворення, що можна зобразити за допомогою схеми 1:

Розподіл  (хі – квадрат)

 

Нехай ми маємо ряд нормально розподілених та незалежних змінних  Пронормуємо їх та отримаємо стандартні нормалізовані значення:

                    ~

Сума квадрантів нормалізованих величин розподіляється за розподілом (хі – квадрант) із ступенями вільності, які дорівнюють

 

         

де – кількість змінних, які ми сумуємо.

Функція густини розподілу  зміщена праворуч відносно осі ординат, починається на початку координат та прямує до нескінченності. Із зростанням п функція густини стає дедалі симетричнішою. Є спеціальна таблиця розподілу , яка є кумульованою: вона дає ймовірність того, що  більше, ніж якесь значення при певних ступенях вільності та заданому рівні значимості.

Ми символічно можемо записати  для оцінки , для якої 2,5% спостережність матимуть значення більше, ніж , тобто будуть знаходитися праворуч від  на осі абсцис функції густини.

Так, для ступенів вільності  та рівня значимості 5%  за таблицею  знаходим критичне значення 18,3, що можна записати:

                                   (для  ).

Тобто ймовірність того, що  дорівнюватиме 0,05 для 10 ступенів вільності.

 

Т-розподіл  Ст’юдента

 

Якщо змінна  має стандартний нормальний розподіл з нульовим математичним сподіванням та дисперсією1; ~  та інша незалежна змінна  розподілена за  розподілом з  ступенями вільності, то число  має розподіл з  ступенями вільності.

Характеристики t–розподілу такі:

1)                           розподіл є розподілом, який має формулу дзвона, симетричного відносно нульового значення (див. мал. 7.5);

2)                           значення   належать проміжку

3)                           функція густини розподілу більш розтягнута, ніж функція нормального закону розподілу. Це означає, що площа на кінцях більша у розподілі, ніж у стандартному нормальному розподілі;

4)                           із збільшенням числа спостережень (п)  розподіл наближається до стандартного нормального розподілу. Відмітимо, якщо  то розподіл Ст’юдента в нормальному законі розподілу;

 

 Функція густини t–розподілу Ст’юдента

 

5)                           t–розподіл залежить від ступеня вільності, тобто нам потрібно знайти ступені вільності, щоб отримати критичне значення з t-таблиці. Вона відрізняється від таблиці стандартного нормального розподілу тим, що включає ступені вільності. Таблиця перераховує значення  t,  з правої сторони якого ми знаходимо 10, 5, 2,5 та 0,5  відсотка площі під кривою. Символічно ми будемо записувати  для оцінки  t, праворуч – площа під кривою, яка становить 2,5%;   для оцінки t, праворуч площа під кривою становить 1% від загальної суми і так далі. Наприклад, припустимо, ступені вільності дорівнюють 15 . Ми можемо знайти з  t-таблиці критичні значення t,  які відповідають різним рівням значимості. Для рівня значимості 5% та  маємо:

Це можна розписати таким чином:

 з 15 ступенями вільності.

Перетворення нормально розподіленої величини хі  і її вибіркового середнього в t-величини виконується за допомогою формул:

                                   та  

де  – оцінка середнього квадратичного відхилення для малої вибірки

                                               

де   – оцінка дисперсії  генеральної сукупності.

 

F-розподіл  Фішера

 

Якщо дві змінні мають незалежні хі-квадрат розподіли  і   відповідно з  і    ступенями вільності, тоді статистика

                                                                                               

має F-розподіл Фішера з  і   ступенями вільності.

-статистику можна розглядати також як відношення двох незалежних оцінок дисперсій, і тому на практиці -розподіл найчастіше використовується для тестування рівності цих оцінок дисперсій. З цієї причини -статистику інколи називають відношенням дисперсій

                                                                                     відношення дисперсій

з  і   ступенями вільності.

Функція -розподілу асиметрична

 

       

 

Функція густини F-розподілу Фішера

 

Слід зазначити, що значення -відношення завжди додатне і знаходиться в межах від нуля до плюс нескінченності  Значення -відношення з різними ступенями вільності (і різними рівнями значимості) зведені  в таблицю -розподілу Фішера. Ступені вільності  і   залежать від оцінок дисперсій чисельника та знаменника -відношення. -таблиця дає критичні значення праворуч спрямованого хвоста. Якщо дві оцінки дисперсії близькі одна до одної, тоді відношення їх наближається до одиниці. Чим більша різниця між двома дисперсіями, тим більше значення -відношення. Таким чином, загалом, великі значення  допускають, що різниця між двома оцінками є значною.

Розглянемо приклад перевірки на адекватність багатофакторної регресійної моделі з використанням -критерію Фішера.

Нагадаємо, що при цьому ми формуємо нуль-гіпотезу рівності всіх параметрів багатофакторної регресії нулеві на противагу альтернативній гіпотезі, що хоча б один параметр не дорівнює нулю, тобто має місце регресійний зв’язок. При цьому нуль-гіпотеза має вигляд:

                                 

на противагу альтернативній гіпотезі, що

                             Н1: хоча б одне значення  відмінне від нуля.

Якщо нуль-гіпотеза  неправильна, то тоді правильна гіпотеза Н1, тобто не всі параметри незначно відрізняються від нуля, що дає підставу вважати, що побудована регресійна модель відповідає дійсності, тобто адекватна. Для перевірки  Н0-гіпотенузи розраховується F-відношення Фішера з р та (п – р – 1) ступенями вільності:

                                  ,

де р – кількістьфакторів, які увійшли в модель; п – загальна кількість спостережень.

За  F-таблицями Фішера, як і у випадку простої регресії, знаходимо критичне значення  з  р та  ступенями вільності, задавши попередньо рівень значимості  (або рівень довіри

Якщо  тоді нуль-гіпотеза відкидається, що свідчить про адекватність побудованої моделі. У протилежному випадку вона приймається і модель вважається неадекватною.

Локальна та інтегральна теореми Муавра – Лапласа.Формула Пуассона

  Якщо число випробувань n велике, то застосування формули Бернуллі приводить до громіздких обчислень. Тому в таких випадках користуються асимптотичними формулами.

  Локальна теорема Муавра-Лапласа.

  Якщо ймовірність р появи події А в кожному знезалежних випробувань стала, причому  а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А настане m разів, визначається за формулою:

                                                                                                         (1)

де        .

  Функція парна: . Є таблиці (додаток 1), в яких наведені значення функції , що відповідають додатним значенням аргументу; для x>5 приймають .

  Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А в кожному знезалежних випробувань стала, причому 0<p<1, а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А настане не менше mi разів і не більше m2 разів, визначається за формулою

                                                                               (2)

де Ф(х) – функція Лапласа.

  Функція Лапласа непарна: . Є таблиці (додаток 2) значень цієї функції для додатних значень х: для х>5 приймають Ф(х) » 0,5 .

  Приклад 1. Ймовірність виходу з ладу за час t одного конденсатора дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів вийдуть з ладу: а) 18 конденсаторів; б) не менше 16 і не більше 26 конденсаторів.

  Розв’язання. а) за формулою р=0,2; n = 100; m = 18; q = 1-0,2 = 0,8.

  Оскільки n = 100 – досить велике число, то застосуємо локальну теорему Муавра – Лапласа. Обчислимо значення

  Шукана ймовірність

За таблицею значень функції  знайдемо . Отже

  б) За умовою задачі m1 = 16; m2 = 26; n = 100; p = 0,2; q = 0,8. Скористаємось інтегральною теоремою Муавра-Лапласа. Обчислимо значення

  Враховуючи, що функція Лапласа непарна, отримаємо

.

  За таблицею значень функцій Лапласа знайдемо Ф(1,5) = 0,4332; Ф(1) =0,3413. Шукана ймовірність .

  Формула Пуассона. Якщо в кожному знезалежних випробувань ймовірність р появи події А стала і мала (р<0,1), а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що подія А настане в цих випробуваннях m разів, визначається за формулою:

                                                                                                              (3)

  де

 Для функції , яка є функцією двох змінних, складені таблиці (додаток 3).

  Приклад 2. Завод відправив споживачу партію із 1000 виробів. Ймовірність пошкодження в дорозі кожного із виробів дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що споживач отримає 3 пошкоджені вироби.

11.5. 

1.12. Найпростіший потік подій.

  Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються у випадкові моменти часу. Найпростішим називається потік подій, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності.

  Властивість стаціонарності полягає в тому, що ймовірність появи m подій потоку за будь-який проміжок часу t і не залежить від початку відліку часу.

  Властивість відсутності післядії полягає в тому, що ймовірність появи m подій за будь-який проміжок часу не залежить від того, скільки подій появилось в попередні моменти часу.

  Властивість ординарності, полягає в тому, що поява двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможлива, тобто за малий проміжок часу може появитися не більше однієї події потоку.

  Інтенсивністю λ потоку називається середнє число подій, які появляються за одиницю часу.

  Якщо відома стала інтенсивність потоку, то ймовірність появи m подій найпростішого потоку за час t визначається за формулою Пуассона

                                                                                                          (1)

  Приклад 1. Середнє число викликів, які надходять на АТС за 1 хв., дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за 3 хв. на АТС надійде: а) чотири виклики; б) менше чотирьох викликів.; в) не менше чотирьох викликів. Припускається, що потік викликів найпростіший.

  Розв’язання. а) За умовою  λ = 2; t = 3; m = 4. Скористаємось формулою Пуассона (1). Ймовірність того, що за 3хв., надійде чотири виклики

  При обчисленні Р3(4) використано таблицю значень функцій Пуассона. б) Подія “надійшло менше чотирьох викликів” відбудеться, якщо появиться одна з наступних несумісних подій: 1) не надійшло жодного виклику; 2) надійшов один виклик; 3) надійшло два виклики; 4) надійшло три виклики. Застосуємо теорему додавання ймовірностей для несумісних подій:

.

  в) Події “надійшло менше чотирьох викликів” та “надійшло не менше чотирьох викликів” протилежні, тому ймовірність того, що за 3 хвилини надійде не менше чотирьох викликів

  Вправи.

  12.1. При сталому технічному процесі протягом 1 години на 1000 веретенах відбувається 10 обривів. Визначити ймовірність того, що протягом години на 300–х веретенах відбудеться 7 обривів.

  12.2. Схожість зерна, що зберігається, дорівнює 80%. Визначити ймовірність того, що серед висіяних 1000 зерен зійде від 760 до 830 зерен.

  12.3. У банк відправлено 2000 пачок грошових знаків. Ймовірність того, що пачка містить недостатню або більшу кількість грошових знаків, дорівнює 0,0005. Знайти ймовірність того, що під час перевірки буде виявлено помилково укомплектовані пачки.

Випадкові величини

  Дискретні випадкові величини.

  1. Поняття дискретної випадкової величини та її закону розподілу.

  Випадкова величина, яка зв’язана з деяким дослідом, є якісною характеристикою досліду. Кількісною ж характеристикою результату проведеного досліду є випадкова величина до розгляду якої ми приступаємо

  Приклад 1. Кидаємо дві монети. Скільки з них випаде гербом вверх?

  Розв’язання. При киданні двох монет простір елементарних подій буде мати вигляд {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}, де Ц – “цифра”, Г – “герб”. Перший символ показує, як випала перша монета, а другий – друга монета. Наприклад ЦГ означає, що перша монета випала цифрою вверх, а друга – гербом. Оскільки монети є правильні і однорідні, то можна рахувати, що всі елементарні події є рівноможливими, і тоді ймовірність р кожної з них дорівнює ¼. Позначимо через Х число монет, які випали гербом вверх, складемо таблицю:

Табл. 1.

  Так, як елементарним подіям ЦГ і ГЦ відповідає одне і те ж значення величини Х, рівне 1, то можна вважати, що це значення величина Х прийме з ймовірністю . Таким чином, значення величини Х – число монет, що випали гербом вверх та відповідні їм ймовірності можна записати у вигляді таблиці

Х	0	1	2
р	¼	1/2	1/4

Табл 2.

  Отже, кожне значення величини Х є число, яке визначається результатом досліду і залежить від випадку.

  Означення 1. Випадковою називається величина, яка в результаті досліду приймає з визначеною ймовірністю те чи інше значення, яке залежить від результату досліду. Випадкові величини позначаються великими буквами латинського алфпвіту: X, Y, Z і т.д., а їх значення малими буквами: x, y, z.

  Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна, або зліченна, тобто множина її значень представляє собою послідовність х1, х2, … хn … . Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення х, позначають 

Р(х) = Р(Х=х).

  Означення 3. Відповідність між можливими значеннями х1, х2, … хn випадкової величини Х та їх ймовірностями р1,р2, … рn називають законом розподілу випадкової величини Х.

  Закон розподілу випадкової величини переважно представляють у вигляді таблиці:

Х	х1	х2	…	хі	…	хn
Р	р1	р2		рі		рn

Табл. 3.

  Події Х=х1, Х=х2, … Х=хn утворюють повну систему попарно несумісних подій, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

                                                            р1 + р2 +…+ рn = 1.                                              (1)

  Так, в прикладі 1 закон розподілу випадкової величини Х – кількості випавших гербом вверх монет – може бути задано таблицею 2.

  Приклад 2. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – кількості очок, що випали при киданні правильного грального кубика, має вигляд заданий табл. 4:

 

Х

1

2

3

4

5

6

2. Біномінальний розподіл. Нехай випадкова величина Х – кількість появи події А внезалежних дослідах, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р, а непояви – q=1-p. Очевидно, що Х може приймати значення 0,1,2, …,ймовірності яких обчислюються по формулі Бернуллі

                                           (2)

  Означення 4. Закон розподілу випадкової величини Х, який має вигляд таблиці 5:

Табл.5.

називається біномінальним розподілом.

  Таку назву він одержав у зв’язку з тим, що ймовірності (2) співпадають з відповідними членами біному (p+q)n:

 (3)

  Приклад 3. Скласти закон розподілу числа попадання в ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,9.

  Розв’язання. Випадкова величина Х – число попадань в ціль при чотирьох пострілах – може прийняти значення 0,1,2,3,4, а відповідні їм ймовірності знаходимо за формулою Бернуллі (2):

  Отже, даний закон розподілу можна представити таблицею:

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Табл.6.

  Зауваження. Оскільки формулу (3) можна записати у вигляді:

                                                                 (4)

  і оскільки p+q=1, то з (4) отримаємо, що:

                                                                                                                   (5)

  Для знаходження найімовірнішого числа m0 появи події за заданим  n і p можна користуватись нерівностями:

                                                                                                     (6)

  При досить великій кількості випробувань зручно користуватися наближеною формулою Лапласа:

                                      (7)

  де q=1-p, 0<р<1. При досить великому n і малому р використовується наближена формула Пуассона:

                                               ,   де  λ = np                                      (8

і тоді такий розподіл буде називатися Пуассоновим розподілом. У механічній інтерпретації розподіл ймовірностей випадкової величини вказує на те, яка частка всієї ймовірності припадає на те чи інше значення випадкової величини.

  Важливими числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподіввання і дисперсія цієї величини.

  3. Математичне сподівання.  Крім закону розподілу, який дає повне представлення про випадкову величину, часто використовуються числа, які описують випадкову величину сумарно. Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини. Серед числових характеристик однією з основних є математичне сподівання, яке вказує, яке середнє значення випадкової величини можна чекати в результаті випробування.

  Означення 5. Математичним сподіванням М(х) дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень хі на їх ймовірність рі:

                                                    (9)

  Приклад 4. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, знаючи її розподіл (табл.7).

Х	-1	0	1	2	3
р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Табл.7

  Розв’язання. За формулою (9) знайдемо:

 

  Основними властивостями математичного сподівання є:

1.        Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання:

                                                                  М(СХ)=СМ(Х)                                          (10)

2.        Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

                                                           М(X+Y)=M(X)+M(Y)                                     (11)

3.        Математичне сподівання постійної величини С дорівнює самій цій величині:

                                                                     М(С)=С.                                                  (12)

4.        Математичне сподівання лінійної комбінації випадкових величин дорівнює лінійній комбінації їх математичних сподівань:

                                                                                   (13)

   5.  Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку                                                                    (14)

  Отже, у механічній інтерпретації М(Х) є не що інше, як центр системи мас (ймовірностей), розподілених дискретно вздовж осі абсцис так, що на точку з абсцисою хк припадає маса (ймовірність) рк, причому .

Хс = М(Х)

  4. Дисперсія.

  Розглянемо слідуючий приклад.

  Приклад 5. Знайти математичне сподівання випадкових величин Х і У, знаючи закони їх розподілів (табл 8 і 9).

 

Х	-8	-4	-1	1	3	7
р	1/12	1/6	1/4	1/6	1/12	1/4

 

Табл.8

 

У	-2	-1	0	1	2	3
р	1/6	1/6	1/12	1/3	0	1/4

Розв’язання. За формулою (9) маємо

  Ми отримали цікавий результат: закони розподілу величини Х і У різні, а їх математичні сподівання однакові.

                                     

 

Рис.4.

  З рис. 4,б видно, що значення величини У більше зосередженні біля математичного сподівання М(У), ніж значення величини Х, які розкидані (розсіяні) відносно М(Х) (рис.4а). Отже, розподіл значень величини У є кращим. Щоб це встановити, не обов’язково наносити на числову пряму значення величини, достатньо обчислити дисперсію, яка є основною числовою характеристикою ступеня розсіяння значення випадкової величини х відносно їх математичного сподівання М(х). Вона позначається D(х).

Означення 6.  Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х та її математичним сподіванням М(Х), тобто Х – М(Х).

  Зауважимо, що відхилення Х – М(Х) та його квадрат (Х-М(Х))2 також є випадковими величинами і тому тут можна знаходити їх математичне сподівання. Причому, якщо випадкова величина Х розподілена за законом, заданим табл.3, то квадрат її відхилення має слідуючий закон розподілу (табл 10)

(Х-М(Х))2	(х1 – М(Х))2	(х2 – М(Х))2	…	(хn – М(Х))2
р	р1	р2	…	рn

Табл.10

  Введемо тепер означення дисперсії випадкової величини Х.

  Означення 7. Дисперсією дискретної випадкової величини  Х називається математичне сподівання квадрату її відхилення:

                                                 (15)

  Основними властивостями дисперсії є:

1.  Дисперсія постійної величини С рівна нулю

   D(C) = 0                                                                                                                      (16)

2.  Якщо Х – випадкова величина, а С – постійна, то

   D(CX)=C2D(X)                                                                                                           (17)

   D(X+C)=D(X)                                                                                                             (18)

3.  Якщо Х і Y незалежні випадкові величини, то

   D(X+Y)=D(X)+D(Y)                                                                                                  (19)

 Для обчислення дисперсії більш зручною є формула

D(X)=M(X2)-(M(X))2                                                                                                 (20)

Дійсно: D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2 · X · M(X)+(M(X))2) = M(X2) – 2 · M(X) · M(X)+(M(X))2 = M(X2) – (M(X))2.

  Приклад 6. Дискретна випадкова величина розподілена за законом (табл 11)

Х	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Табл.11.

  Знайти D(X).

  Розв’язання.

  Спочатку знайдемо

М(Х) = – 1 · 0,2 + 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 = 0,9

  а потім

М(Х2) = (-1)2 · 0,2 + 02 · 0,1 + 12 · 0,3 + 22 ·0,4 = 2,1.

  По формулі (20) маємо D(X) = M(X2) – M2(X) = 2,1 – (0,9)2 = 1,29.

  Приклад 7. Порівняти дисперсії випадкових величин, які задані законами розподілу (табл 12 і 13)

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

Табл.12

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

Табл.13

  Розв’язання. Знайдемо

М(Х) = (-1) · 0,48 + 1 · 0,01 + 2 · 0,09 + 3 · 0,42 = 0,97;

М(Х2) = (-1)2 · 0,48 + 12 · 0,01 + 22 · 0,09 + 32 · 0,42 = 4,63;

D(X) = 4,63 – (0,97)2 = 3,69;

M(Y) = -1 · 0,19 + 1 · 0,51 + 2 · 0,25 + 3 · 0,05 = 0,97;

M(Y) = (-12) · 0,19 + 12 · 0,51 + 22 · 0,25 + 32 · 0,05 = 2,15;

D(Y) = 2,15 – 0,972 = 1,21.

  Одержані результати показують, що не дивлячись на те, що значення математичних сподівань випадкових величин X і Y однакові, їх дисперсії різні, причому D(X)>D(Y). Це означає, що випадкова величина Y з більшою ймовірністю приймає значення, близьке до математичного  сподівання, ніж випадкова величина Х.

  Отже, дисперсія характеризує ступінь розсіювання ймовірностей випадкової величини навколо математичного сподівання  (середнього значення). У механічній інтерпретації дисперсії – це момент інерції відносно центра мас із загальною одиничною масою, розподіленою вздовж осі абсцис так, що в точці з абсцисою  хк знаходиться маса рк.

  Часто для характеристики розсіювання ймовірностей користуються не дисперсією, а так званим середнім квадратичним відхиленням σк (або стандартом), яке дорівнює

                                                                                                     (21)

  Для випадкової величини, розподіленої за біномінальним законом М(Х) = np, D(X) = npq.

  Для довільної випадкової величини Х і будь – якого додатнього числа ε справедлива нерівність Чебишова

                     (22)

  Або в іншому варіанті

                                                                               (23)

  Зокрема, для випадкової величини Х – числа настання події А в серії з

незалежних дослідів, у кожному з яких А настає з ймовірністю р, матимемо

                                                            

  Звідки дістанемо Теорему Бернуллі або закон великих чисел

                                                         ,                               (24)

який стверджує, що частота настання події А в серії з випробувань  наближається до ймовірності події А із зростанням n.

  Приклад 8. Ймовірність появи деякої події в кожному з 1000 дослідів дорівнює 0,2. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що відхилення сподівання цієї події від математичного сподівання буде більше 30.

  Розв’язання. Число появ події в n = 1000 дослідах є випадкова величина Х, яка розподілена за біномінальним законом. Тому її математичне сподівання і дисперсію знайдемо за формулами М(Х) = np, D(X) = npq. Маємо М(Х) = 1000 · 0,2 = 200, D(X)=1000·0,2·0,8=160. Користуючись нерівністю Чебишова при ε = 30, дістанемо                       

  Приклад 9. Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити з допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що серед 1500 новонароджених хлопчиків буде від 700 до 800.

  Розв’язання. Маємо біномінальний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому М(Х) = 1500 · 0,5 = 750, D(X) = 1500 · 0,5 · 0,5 = 375. Оскільки числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700<X<800 можна замінити еквівалентною їй X – 750 < 50.

  Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85.

Вправи.

1.1.  Скласти закон розподілу кількості попадань в ціль при шести пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі рівна 0,4.

1.2.  Ймовірність того, що студент знайде в бібліотеці потрібну йому книгу, рівна 0,3. Скласти закон розподілу числа бібліотек, які він відвідає, якщо в місті чотири бібліотеки.

1.3.  Мисливець стріляє по цілі до першого попадання, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Знайти дисперсію числа промахів, якщо ймовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,7.

1.4.  Знайти математчине сподівання випадкової величини Х, якщо закон її розподілу заданий таблицею

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

1.5    На заводі працює 4 автоматичних лінії. Ймовірність того, що на протязі робочої зміни першій лінії не потрібно регулювання, рівна 0,9, другій – 0,8, третій – 0,75, четвертій – 0,7. Знайти математичне сподівання кількості ліній, яким на протязі зміни не потрібне регулювання.

1.6.  Знайти дисперсію випадкової величини Х, знаючи закон її розподілу:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

1.7.         Знайти математичне сподівання та дисперсію кількості бракованих виробів в партії з 5000 виробів, якщо кожен виріб може виявитися бракованим з ймовірністю 0,02.

1.8.         З урни, яка містить 2 білі і 3 чорні кулі, навмання виймають дві кулі. Знайти МХ і DX, якщо Х – кількість вийнятих білих куль.

1.9.         Маємо 4 лампи, кожна з яких з ймовірністю 1/3 має брак. При закручуванні в патрон бракована лампа зразу перегоряє, і тоді закручується наступна. Розглянути випадкову величину Х – кількість закручених ламп. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.

1.10.     При киданні трьох гральних кубиків гравець виграє 10 гривень, якщо на всіх кубиках випаде по шість очок. У випадку, коли випало шість очок тільки на двох кубиках, гравець одержує одну гривню. Скільки повинен коштувати білет, який дає право на гру, щоб гра була вигідною організатору?

1.11.     Мішень в тирі представляє собою круг, який розділений на три одинакові сектори, які пронумеровані цифрами 1,2,3. Під час пострілу мішень обертається так, що стрілок не бачить секторів, стріляє навмання.  При попаданні в сектор 1 стрілок виграє 1 гривню, в сектор 2 – дві гривні, в сектор 3 – три гривні. Вартість квитка, який дає право на один постріл – півтори гривні. Чи вигідна така гра тому, хто попадає в мішень з ймовірністю 1) 0,7; 2)0,8; 3)0,75         

1.12.    Функція розподілу ймовірностей випадкової величини.

  Як дискретну, так і неперервну випадкову величину можна задати функцією розподілу F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробувань прийме значення менше від х, тобто

                                                                                                         (1)

  Функція розподілу будь-якої випадкової величини є неспадною функцією аргументу х, причому

  Якщо  всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то F(x) = = 0 при х < a, F(x) = 1 при x > b.

  Ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, яке задовольняє подвійну нерівність

                                                                                      (2)

  Можна уточнити означення неперевної випадкової величини: випадкова величина Х називається неперевною, якщо її функція розподілу F(x) неперевна при всіх х, а похідна функції розподілу неперервна в усіх точках, крім, можливо, скінченного числа точок на будь-якому скінченному інтервалі.

  Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме одне певне значення х0, дорівнює нулю, тобто Р(Х = х0) = 0. Тому для неперервної випадкової величини Х

  Приклад 1. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу

1. Побудувати многокутник розподілу. 2. Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

  Розв’язання. 1. Побудуємо прямокутну систему координат, причому на осі абсцис будемо відкладати можливі значення хі, а на осі ординат відповідні ймовірності рі . Побудуємо точки М1 (2;0,1), М2(4;0,2), М3(5;0,4), М4(6;0,3) та з’єднаємо їх послідовно відрізками прямих. Одержимо шуканий многокутник розподілу:

 

                                                                          

                                                                 Рис.5.               

  2. За означенням функція розподілу F(x) = P(X<x). Якщо x ≤ 2, то F(x) = 0, оскільки значень які менші від 2, випадкова величина Х не приймає.

  Якщо  , то F(x) = 0,1. Дійсно, Х може прийняти тільки значення 2 з ймовірністю 0,1. Якщо  , то F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Дійсно, Х може прийняти значення 2 з ймовірністю 0,1 і значення 4 з ймовірністю 0,2; отже, одне з цих значень випадкова величина Х може прийняти з ймовірністю 0,3 (за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій). Якщо 5 < x < 6, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7 (пояснення аналогічне).

  Якщо X>6, то F(x) = 1, оскільки в цьому випадку подія Х < x є достовірною.

  Отже, шукана функція розподілу має вигляд

  Побудуємо графік цієї функції

 

Рис.6.

  Приклад 2. Неперервна випадкова величина Х задана на всій осі Ох функцією

розподілу    

1.        Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (-1;1).

2.        Побудувати графік функції F(x).

 Розв’язання.

1.

2.  Побудуємо графік функції розподілу F(x).

 

Рис.7

 

 

Густина розподілу ймовірностей неперевної випадкової величини.

     Густиною розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається перша похідна від її функції розподілу

                                                                                                                   (1)

  Густина розподілу ймовірностей існує тільки для неперервних випадкових величин. Густина розподілу ймовірностей невід’ємна, тобто , оскільки F(x) – не спадна функція.

  Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (a;b),

                                                                                              (2)

  Невласний інтеграл , оскільки він визначає ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х в результаті випробування прийме будь-яке значення з інтервалу .

Якщо задана густина розподілу ймовірностей f(x) неперервної випадкової величини Х, то її функція розподілу F(x) визначається за формулою:                     

                                          (3)

  Приклад 1. Неперервна випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей:

  Знайти: а) сталий параметр С;  б) функцію розподілу F(x).

  Розв’язання.  А) Густина розподілу f(x) повинна задовольняти умову: . В даному випадку .

  Оскільки  , то С = 3.

  Б) для знаходження функції розподілу F(x) використаємо формулу (3)

  Якщо  , то

  Якщо

  Якщо

  Отже, шукана функція розподілу

Числові характеристики випадкових величин.

  Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається

сума добутків всіх її можливих значень на відповідні ймовірності

                                                                             (1)

  Якщо дискретна випадкова величина Х може приймати зчислену множину значень, то  при умові, що цей ряд абсолютно збіжний.

  Математичне сподівання неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю

                                                                                                     (2)

  де f(x) – густина розподілу ймовірностей випадкової величини Х. Припускається, що невласний інтеграл збігається абсолютно, тобто існує інтеграл  .

  Зокрема, якщо всі можливі значення неперервної випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то

                                                                                                     (3)

  Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання:

                                                   D(X) = M[(X – M(X))2]                                       (4)

  Дисперсія випадкової величини Х є мірою розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

  Дисперсію обчислюють за формулою

                                                   D(X) = M(X2) – [M(X)]2                                        (5)

  Для дискретної випадкової величини Х формула (5) має вигляд:

                                                                                  (6)

  Для неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі Ох, одержимо

                                                                            (7)

  Якщо можливі значення неперервної випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то

                                                                            (8)

 Середнім  квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь із її дисперсії

                                                                                                        (9)

Приклад 1. В партії 25 деталей, серед яких є 6 нестандартних. Із цієї партії вибрані навмання для перевірки якості 3 деталі. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х – числа нестандартних деталей, що містяться у вибірці.

Розв’язання.  Можливі значення випадкової величини Х: х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2; х4 = 3. Ймовірність того, що в цій вибірці виявиться рівно m(m = 0,1,2,3) нестандартних деталей, обчислюється за формулою:

  Виконавши обчислення, отримаємо:

  Одержали закон розподілу даної випадкової величини Х

хі	0	1	2	3
рі	0,42	0,45	0,12	0,01

  За формулою (1) математичне сподівання випадкової величини Х

  Дисперсію випадкової величини Х обчислимо за формулою (6)

  Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х

  Приклад 2. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу

  Знайти: 1) Густину розподілу ймовірностей f(x). 2) Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Побудувати графік функції F(x) i f(x).

  Розв’язання. 1. Густина розподілу ймовірностей f(x) дорівнює похідній від функції розподілу F(x): . Отже

  2. Оскільки всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (0;π), то користуючись формулою (3) отримаємо:

  Інтегруючи за частинами, знаходимо

  Дисперсію D(X) обчислимо за формулою (8):

  Інтегруючи двічі за частинами, одержимо 

  Остаточно отримаємо

  Середнє квадратичне відхилення

  Побудуємо графік функції F(x) і f(x).

 

                                       Рис.8                                                    Рис.9

 

                                           

 

 Рівномірний та показниковий закони розподілу.

    Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається рівномірним в інтервалі (a;b), якщо всі її можливі значення містяться в цьому інтервалі і густина розподілу ймовірностей стала на цьому інтервалі.

  Якщо неперервна випадкова величина Х розподілена рівномірно в інтервалі (a;b), то її густина розподілу ймовірностей f(x) має вигляд:

                                                                                (1)

 Користуючись формулою (3.3), отримаємо функцію розподілу F(x) цієї випадкової величини Х:

 

                                                                                 (2)

  Ймовірність того, що рівномірно розподілена на інтервалі (a;b) випадкова величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (a,β) , обчислюється за формулою:

                                                   .                                     (3)

Математичне сподівання рівномірно розподіленої в інтервалі (a;b) випадкової величини Х

.

  Дисперсія цієї випадкової величини Х

.

  Приклад 1. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази амперметра заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відрахунку буде зроблена помилка: а) менша ніж 0,01А; б) більша ніж 0,03А.

  Розв’язання. а) Помилку заокруглення можна розглядати як випадкову величину Х, яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми поділками шкали. В даній задачі довжина інтервалу, в якому містяться можливі значення випадкової величини Х, дорівнює 0,1. Помилка відрахунку буде менша від 0,01А, якщо 0 < X < 0,01 або 0,09 < X < 0,1.

  Застосувавши формулу (3), отримаємо:

  б) Помилка відрахунку буде більша від 0,03 А, якщо 0,03 < X < 0,07

  Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається показниковим, якщо густина розподілу ймовірностей цієї випадкової величини має вигляд:

                                                                                   (4)

  де  λ – додатнє число.

  Функція розподілу показникового закону

                                                                                   (5)

  Ймовірність попадання в інтервал (α;β) неперервної випадкової величини Х, яка розподілена за показниковим законом, обчислюється за формулою:

                                                                                      (6)

Математичне сподівання випадкової величини Х, розподіленої за показниковим законом,

  Дисперсія цієї випадкової величини Х 

  Середнє квадратичне відхилення 

  Приклад 2. Неперервна випадкова величина Т – тривалість часу безвідмовної роботи пристрою, розподілена за показниковим законом з функцією розподілу  F(t) = 1- e-0,03t (t> 0) Знайти ймовірність того, що за час тривалістю t = 100 год: а) пристрій відмовить; б) пристрій не відмовить.

  Розв’язання. а) Оскільки функція розподілу F(t) = P (T < t), то вона визначає ймовірність

того, що за час тривалістю t пристрій відмовить. Підставивши t = 100 у функцію розподілу, отримаємо ймовірність відмови пристрою за час тривалістю t = 100 год:

F(100) = 1 – e-3 = 0,95

  б) Події “пристрій відмовить за час тривалістю t = 100год” і “пристрій не відмовить за час тривалістю t = 100год” протилежні. Тому ймовірність того, що пристрій не відмовить за час тривалістю t = 100год.

Р = 1 – 0,95 = 0,05.

Нормальний закон розподілу. Поняття про центральну граничну теорему Ляпунова.

  Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається нормальним, якщо густина роподілу ймовірностей цієї випадкової величини має вигляд

                                                                                          (1)

  де а – математичне сподівання, σ – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

  Ймовірність того, що нормально розподілена впадкова величини Х в результаті випробувань прийме значення, яке належить інтервалу (α;β), обчислюється за формулою:

                                                               (2)

  де Ф(х) – функція Лапласа,  .

  Ймовірність того, що абсолютні величини відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від її математисного сподівання буде меншою від заданого числа ε > 0.

                                                                                           (3)

  Нормальний закон є законом розподілу, який найчастіше зустрічається на практиці. За цим законом розподілено багато випадкових величин, наприклад випадкової похибки вимірювання, відхилення розмірів деталей від номінального, відхилення точки падіння снаряду від цілі. Чим це пояснюється? Відповідь на це питання дає центральна гранична теорема Ляпунова. Зміст цієї теореми: якщо випадкова величина Х є сумою дуже великого числа незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму дуже малий, то випадкова величини Х має розподіл, близький до нормального.

  Сформулюємо центральну граничну теорему для однаково розподілених доданків: якщо Х1, Х2, Х3, … Хn – незалежні випадкові величини, які мають однакові закони розподілу з математичним сподіванням а і дисперсією σ2 , то при необмеженому зростанні n закон розподілу суми  Х=Х1+ Х2+ Х3+ … + Хn необмежено наближається до нормального.

  Розглянемо середнє арифметичне цих випадкових величин  . При

досить великому n випадкова величина  також має розподіл, близький до нормального.

Оскільки , то ймовірність того, що в результаті випробування  прийме значення з інтервалу (α;β)

                                                (4)

  Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середнього арифметичного  від математичного сподівання а буде меншою від заданого числа ε > 0,

                                                                                      (5)

  Приклад 1.  Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнюють відповідно 10 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, яке знаходиться в інтервалі (8,15).

  Розв’язання. Скористаємося формулою (2). Підставивши значення α = 8, β = 15 а = 10, σ=  = 4, одержимо

  За таблицею значень функції Лапласа знайдемо Ф(1,25) = 0,3944; Ф(0,5) = 0,1915. Шукана ймовірність Р(8 < X < 15) = 0,5859.

  Приклад 2.  Вимірюють діаметр вала без систематичних похибок. Випадкові похибки вимірювання Х підпорядковані нормальному закону з математичним сподіванням а = 0 і середнім квадратичним відхиленням σ = 20мм. Знайти ймовірність того, що із трьох незалежних вимірювань похибка хоча б одного вимірювання не перевищить по абсолютній величині 10мм.

  Розв’язання. Спочатку знайдемо ймовірність того, що одне вимірювання буде виконане з похибкою, яка не перевищує по абсолютній величині 10мм. Використаємо формулу (3). Підставивши значення а = 0, σ = 20, ε = 10, отримаємо

  Отже, р = 0,383. Ймовірність того, що одне вимірювання буде виконане з похибкою, яка перевищує по абсолютній величині 10мм, q = 1- p = 0,617.  Нехай подія А полягаєв тому, що похибка хоч би одного з трьох незалежних вимірювань не перевищить по абсолютній величині 10мм. Тоді , де  – протилежна подія, яка полягає в тому, що похибки всіх трьох вимірювань перевищать по абсолютній величині 10мм.

  Шукана ймовірність Р(А) = 1 – 0,235 = 0,765.

  Приклад 3. Нехай Х1, Х2, … Хn – незалежні однаково розподілені випадкові величини з математичним сподіванням а і дисперсію σ2 = 3;    – середнє арифметичне випадкових величин Х1, Х2, … Хn. Знайти таке додатнє число

ε, щоб з ймовірністю γ = 0,95 можна було чекати, що середнє арифметичне  відхилиться від математичного сподівання а по абсолютній величині менше ніж на ε, якщо n = 2700.

  Розв’язання. Використаємо формулу (5)

 Позначимо , тоді 2Ф(t) = 0,95; Ф(t) = 0,475. За таблицею значень функції Лапласа знайдемо Ф(1,96) = 0,475.

  Отже, t = 1,96, тобто  . Для знаходження ε одержали рівняння

, звідки ε = 0,065.

  Вправи.

  1. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

Х	1	4	6
р	0,3	0,4	0,3

   Знайти функцію розподілу F(x) і побудувати її графік.

  2. Випадкова величина задана функцією розподілу

  Потрібно: а) знайти густину розподілу ймовірностей; б)побудувати графік функції розподілу та густини розподілу ймовірностей; в) обчислити ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина набуде значення з проміжків (0,6;1,2), (1;2), використовуючи функцію розподілу; г) знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

  3. Густина розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:

  Знайти F(x) – функцію розподілу.

4. Нормально розподілена величина Х задана густиною розподілу у вигляді функції 

  Знайти ймовірність того, що величина х в результаті випробування:

  а) набуде значення з інтервалу (-5;-2);

  б) відхиляється від математичного сподівання не більше ніж на 3.

  5. Деталь вважається бракованою, якщо її довжина відхиляється від заданої на 0,2. Знайти оцінку ймовірності того, що деталь, довжина якої задана законом розподілу

Х	0,3	0,6
р	0,2	0,8

  вважатиметься бракованою.      

Системи випадкових величин.

3.1. Закон розподілу ймовірностей системи двох дискретних випадкових величин.

    Системою випадкових величин називається сукупність випадкових величин, яка розглядається як єдине ціле. Систему двох випадкових величин (Х,Y) можна тлумачити як випадкову точку М(Х;Y) на площині хОу або випадковий вектор .

   Законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин називається співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями системи випадкових величин та їх ймовірностями.

  Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин можна задати у вигляді таблиці.

Y         X	х1	х2	…	хі	…	хn
у1	p11	p21	…	pi1	…	pn1
у2	p12	p22	…	pi2	…	pn2
…	…	…	…	…	…	…
уj	p1i	p2i	…	pii	…	pni
…	…	…	…	…	…	…
ут	p1m	p2m	…	pim	…	pnm

  Перший рядок таблиці містить всі можливі значення Х, а перший стовпець – всі можливі значення складової Y. В клітинці, яка розміщена на перетині “стовпця хі” та “рядка уj” вказана ймовірність рij того, що система ( X,Y) прийме

значення (хі, уj) (і = 1,2,…n; j = =1,2,…m). Всі можливі події (Х = хі, Y = yj) при і = 1,2,…n; j  =1,2,…m утворюють повну групу несумісних подій, тобто

  Знаючи закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин, можна знайти закон розподілу її складових.

                            (1.2)

                                      (і = 1,2,…,n)                                    (j = 1,2,…m)

  Приклад 1. Знайти закони розподілу складових системи двох дискретних випадкових величин, заданої законом розподілу

Y                   X	1	2	3
2	0,15	0,23	0,18
4	0,08	0,16	0,20

  Розв’язання. Використаємо формули (1.2). Р(Х=1) = 0,15+0,08=0,23;  Р(Х=2)=0,23+0,16=0,39; Р(Х=3)=0,18+0,20=0,38

  Закон розподілу складової Х запишеться так:

Х	1	2	3
р	0,23	0,39	0,38

  Р(Y=2)=0,15+0,23+0,18=0,56

  Р(Y=4)=0,08+0,16+0,2=0,44

Закон розподілу складової Y:

Y	2	4
P	0,56	0,44

 

 Функція розподілу системи двох випадкових величин.

    Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х,Y) називають функцію F(x,y), яка визначає для кожної пари чисел х,у ймовірність того, що Х прийме значення, менше від х, і при цьому Y прийме значення, менше від у:

                                                         F(x,y)=P(X<x,Y<y)                         (2.1)

  Якщо скористатись геометричним тлумаченням системи двох випадкових величин, то функція розподілу F(x,y) є ймовірність попадання випадкової

точки (Х,Y) в нескінченний квадрат з вершиною в точці (х,у), який розміщений лівіше і нижче від неї. Функція розподілу F(x,y) має такі властивості:

а)

б) F(x,y) є неспадною функцією своїх аргументів

      

     

в) 

       

г)  При  функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Х:

   

    При  функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y:

   

  Користуючись функцією розподілу, можна знайти ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник

  (2.2)

  Функція розподілу системи існує для систем будь-яких випадкових величин (дискретних чи неперервних).

  Приклад 1. Знайти ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник, обмежений прямими х = 0 , х = 4, у = 0, у =  , якщо відома функція розподілу

  Розв’язання. Застосуємо формулу (2.2)

Густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин.

    Розподіл системи двох неперервних випадкових величин можна характеризувати як функцією розподілу, так і густиною розподілу ймовірностей. Густиною розподілу ймовірностей f(x,y) системи двох неперервних випадкових величин називається мішана частинна похідна другого порядку від функції розподілу F(x,y), тобто

                                                                              (3.1)

  Знаючи густину розподілу f(x,y), можна знайти функцію розподілу

                                                                   (3.2)

  Ймовірність попадання випадкової точки (Х,У) в область D на площині хОу визначається рівністю

                                                         (3.3)

  Густина розподілу ймовірностей f(x,y) має такі властивості:

а) f(x,y) > 0

б) подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами інтегрування від густини розподілу ймовірностей f(x,y) дорівнює одиниці

                                                                              (3.4)

  Приклад 1. Усередині квадрата, обмеженого прямими , густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин f(x,y) = =Csin(x+y) поза цим квадратом f(x,y)=0. Знайти: а) сталий параметр С;  б) функцію розподілу F(x,y) при .

       Розв’язання. а) для знаходження параметра С скористаємось формулою (3.4)

Оскільки    

б) оскільки f(x,y) = 0 поза даним квадратом, то при  функція розподілу

Отже, 

  Приклад 2. Задана густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних величин

  Знайти ймовірність попадання випадкової точки (Х,Y) в область D:

  Розв’язання. Застосуємо формулу (3.3). Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в круг із радіусом r = 3 і центром в початку координат (область D)

  Перейдемо до полярних координат:

  Якщо відома густина розподілу ймовірностей f(x,y) системи двох неперервних випадкових величин, то можна знайти густину розподілу ймовірностей кожної складової. Густина розподілу ймовірностей складової Х

                                                                                      (3.5)

  густина розподілу складової Y

                                                                                       (3.6)

  Приклад 3. Густина розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин

                                 

Знайти густину розподілу ймовірностей складової Y.

Розв’язання. Скористаємось формулою (3.6).

  Оскільки інтергал Пуассона , то остаточно отрмаємо:

Отже, густина розподілу ймовірностей випадкової величини Y

 

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному знезалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n ® ¥ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на e (e > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

                                                       

Доведення. Оскільки W(A) = m / n, де m — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась,— загальне
число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Хі — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Хі можна записати так:

Числові характеристики Хі:

M(Xi) = 0 q + 1 p = p;

M(X2i) = p;

D(Xi) = M(X2i) – M2(Xi) = p – p2 = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

.                   

Отже, доведено, що

Приклад 5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовір­ність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

Розв’язання. За умовою задачі: р = 0,95; q = 0,05; n = 400. На підставі (333) дістаємо:

Приклад 6. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р = 0,85, взяте за абсолютною величиною, на e = 0,001, була б не меншою за 0,99.

Розв’язання. Із умови задачі маємо р = 0,85; q = 0,15; e = 0,001,

Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої

 

Як бачимо  з малюнка, функція густини нормального закону розподілу симетрична відносно свого математичного сподівання.

Із зростанням математичного сподівання а (на мал. математичне сподівання дорівнює нулю) функція густини зсувається праворуч відносно   осі  х. Із спаданням а  вона зсувається ліворуч.

Якщо σ зростає, крива стає більш похилою, тобто до осі х;  при зменшенні значення σ нормальна крива стає гостроверхою.

Будь-яку випадкову величину х,  розподілену нормально з математичним сподіванням  а  та дисперсією  σ2,  можна пронормувати, тобто звести до випадкової величини з математичним сподіванням нуль та дисперсією одиниця, шляхом такого перетворення:

,  де х – випадкова величина;

а – математичне сподівання цієї випадкової величини;

σ – її середнє квадратичне відхилення 

Для нормального закону розподілу 50% значень випадкової величини лежать у межах  68% – у межах  і 95% – у межах  та 99,7% – у межах

Щоб проіліструвати нормальний закон розподілу, розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. Показати, що при досить великій кількості класів (В) та при частоті  пі  кожного окремого значення  хі  змінна  має нульове математичне сподівання  (t = 0)  і дисперсію

Розв’язок. За означенням математичного сподівання для дискретних випадкових величин маємо:

     

враховуючи, що 

Дисперсія величини  Т  обчислюється за формулою:

  

 

Приклад . Нехай нам відомо, що надходження чеків до банку відповідає нормальному закону розподілу з математичним сподіванням  (грн.) та середнім квадратичним відхиленням  (грн.). Нам потрібно знайти ймовірність надходження чека, вартість якого перевищує 6000 (грн.). Формалізовано це можна записати таким чином:

Х – випадкова величина (вартість чеків);

Х ~ N (5232, 1972).

Треба знайти: Р (Х>6000) = ?

Розв’язок. Пронормуємо випадкову величину хі  та знайдему значення ti, яке відповідає  

Далі використаємо таблицю нормального розподілу. Враховуючи симетричність функції густини нормального закону розподілу, отримаємо ймовірність того, що  буде дорівнювати  Отже, імовірність того, що до банку надійде чек вартістю більше ніж 6000, дорівнює 0,3483. Тепер нас цікавить імовірність того, що до банку надійде чек на суму меншу ніж 6000 (гривень). Оскільки ми вже маємо Р(х > 6000) = 0,3483, то знайти Р(х < 6000) дуже просто, знаючи, що  Отже,

Але якби нам був невідомий попередній результат, ми б шукали цю імовірність аналогічно попередньому розрахунку. Справді, для нашого прикладу: З властивості того, що функція густини нормалльного закону розподілу симетрична відносно свого математичного сподівання, випливає:

                      та

Приклад . За умов прикладу 2 необхідно знайти ймовірність того, що до банку потрапить чек вартістю нижче ніж 4000 (гривень).

Розв’язок. Нормуючи випадкову величину х, отримаємо значення t:

                                        

звідки

Приклад 4.  За умов прикладу 2 визначимо імовірність того, що значення випадкової величини потрапить до інтервалу  Наприклад, нас цікавить імовірність того, що вартість чека, який надходить, знаходиться у межах 4000 та 7000 (грн.). Нормування значення 4000 (грн.) та 7000 (грн.) дасть нам:

           

Враховуючи ці межі, можна розписати:

     

                          

За таблицею нормального закону розподілу, зробивши додаткові розрахунки, знаходимо:  та

Звідси маємо розв’язок:

Звичайно, на практиці нас цікавить і протилежна проблема: як, знаючи ймовірність того, чи відбулася подія, встановити її значення. Це можна зробити, використавши таблицю нормального закону розподілу та провівши зворотні перетворення, що можна зобразити за допомогою схеми 1:

Розподіл  (хі – квадрат)

  Приклад . Ймовірність появи деякої події в кожному з 1000 дослідів дорівнює 0,2. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що відхилення сподівання цієї події від математичного сподівання буде більше 30.

  Розв’язання. Число появ події в n = 1000 дослідах є випадкова величина Х, яка розподілена за біномінальним законом. Тому її математичне сподівання і дисперсію знайдемо за формулами М(Х) = np, D(X) = npq. Маємо М(Х) = 1000 · 0,2 = 200, D(X)=1000·0,2·0,8=160. Користуючись нерівністю Чебишова при ε = 30, дістанемо                        

  Приклад . Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити з допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що серед 1500 новонароджених хлопчиків буде від 700 до 800.

  Розв’язання. Маємо біномінальний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому М(Х) = 1500 · 0,5 = 750, D(X) = 1500 · 0,5 · 0,5 = 375. Оскільки числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700<X<800 можна замінити еквівалентною їй X – 750 < 50.

  Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85.

Вправи.

1.5.  Скласти закон розподілу кількості попадань в ціль при шести пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі рівна 0,4.

1.6.  Ймовірність того, що студент знайде в бібліотеці потрібну йому книгу, рівна 0,3. Скласти закон розподілу числа бібліотек, які він відвідає, якщо в місті чотири бібліотеки.

1.7.  Мисливець стріляє по цілі до першого попадання, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Знайти дисперсію числа промахів, якщо ймовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,7.

1.8.  Знайти математчине сподівання випадкової величини Х, якщо закон її розподілу заданий таблицею

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

1.6    На заводі працює 4 автоматичних лінії. Ймовірність того, що на протязі робочої зміни першій лінії не потрібно регулювання, рівна 0,9, другій – 0,8, третій – 0,75, четвертій – 0,7. Знайти математичне сподівання кількості ліній, яким на протязі зміни не потрібне регулювання.

1.7.  Знайти дисперсію випадкової величини Х, знаючи закон її розподілу:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

1.13.    Знайти математичне сподівання та дисперсію кількості бракованих виробів в партії з 5000 виробів, якщо кожен виріб може виявитися бракованим з ймовірністю 0,02.

1.14.    З урни, яка містить 2 білі і 3 чорні кулі, навмання виймають дві кулі. Знайти МХ і DX, якщо Х – кількість вийнятих білих куль.

1.15.    Маємо 4 лампи, кожна з яких з ймовірністю 1/3 має брак. При закручуванні в патрон бракована лампа зразу перегоряє, і тоді закручується наступна. Розглянути випадкову величину Х – кількість закручених ламп. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.

1.16.     При киданні трьох гральних кубиків гравець виграє 10 гривень, якщо на всіх кубиках випаде по шість очок. У випадку, коли випало шість очок тільки на двох кубиках, гравець одержує одну гривню. Скільки повинен коштувати білет, який дає право на гру, щоб гра була вигідною організатору?

1.17.     Мішень в тирі представляє собою круг, який розділений на три одинакові сектори, які пронумеровані цифрами 1,2,3. Під час пострілу мішень обертається так, що стрілок не бачить секторів, стріляє навмання.  При попаданні в сектор 1 стрілок виграє 1 гривню, в сектор 2 – дві гривні, в сектор 3 – три гривні. Вартість квитка, який дає право на один постріл – півтори гривні. Чи вигідна така гра тому, хто попадає в мішень з ймовірністю 1) 0,7; 2)0,8; 3)0,75         

2.       Означення 6.  Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х та її математичним сподіванням М(Х), тобто Х – М(Х).

3.       Зауважимо, що відхилення Х – М(Х) та його квадрат (Х-М(Х))2 також є випадковими величинами і тому тут можна знаходити їх математичне сподівання. Причому, якщо випадкова величина Х розподілена за законом, заданим табл.3, то квадрат її відхилення має слідуючий закон розподілу (табл 10)

(Х-М(Х))2	(х1 – М(Х))2	(х2 – М(Х))2	…	(хn – М(Х))2
р	р1	р2	…	рn

4.     Табл.10

5.       Введемо тепер означення дисперсії випадкової величини Х.

6.       Означення 7. Дисперсією дискретної випадкової величини  Х називається математичне сподівання квадрату її відхилення:

7.                                                      (15)

8.       Основними властивостями дисперсії є:

9.     1.  Дисперсія постійної величини С рівна нулю

10.                                                                                                                                                                                                                          D(C) = 0                                                                                                                      (16)

11.                                                                                                                                                                                                                       2.  Якщо Х – випадкова величина, а С – постійна, то

12.                                                                                                                                                                                                                          D(CX)=C2D(X)                                                                                                           (17)

13.                                                                                                                                                                                                                          D(X+C)=D(X)                                                                                                             (18)

14.                                                                                                                                                                                                                       3.  Якщо Х і Y незалежні випадкові величини, то

15.                                                                                                                                                                                                                          D(X+Y)=D(X)+D(Y)                                                                                                  (19)

16.                                                                                                                                                                                                                        Для обчислення дисперсії більш зручною є формула

17.                                                                                                                                                                                                                       D(X)=M(X2)-(M(X))2                                                                                                 (20)

18.                                                                                                                                                                                                                       Дійсно: D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2 · X · M(X)+(M(X))2) = M(X2) – 2 · M(X) · M(X)+(M(X))2 = M(X2) – (M(X))2.

19.             Приклад 6. Дискретна випадкова величина розподілена за законом (табл 11)

Х	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

20.           Табл.11.

21.             Знайти D(X).

22.             Розв’язання.

23.             Спочатку знайдемо

24.           М(Х) = – 1 · 0,2 + 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 = 0,9

25.             а потім

26.           М(Х2) = (-1)2 · 0,2 + 02 · 0,1 + 12 · 0,3 + 22 ·0,4 = 2,1.

27.             По формулі (20) маємо D(X) = M(X2) – M2(X) = 2,1 – (0,9)2 = 1,29.

28.             Приклад 7. Порівняти дисперсії випадкових величин, які задані законами розподілу (табл 12 і 13)

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

29.           Табл.12

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

30.           Табл.13

31.             Розв’язання. Знайдемо

32.           М(Х) = (-1) · 0,48 + 1 · 0,01 + 2 · 0,09 + 3 · 0,42 = 0,97;

33.           М(Х2) = (-1)2 · 0,48 + 12 · 0,01 + 22 · 0,09 + 32 · 0,42 = 4,63;

34.           D(X) = 4,63 – (0,97)2 = 3,69;

35.           M(Y) = -1 · 0,19 + 1 · 0,51 + 2 · 0,25 + 3 · 0,05 = 0,97;

36.           M(Y) = (-12) · 0,19 + 12 · 0,51 + 22 · 0,25 + 32 · 0,05 = 2,15;

37.           D(Y) = 2,15 – 0,972 = 1,21.

 

Звідси випливає, що

.

Таким чином, доведено, що характеристична функція випадкової величини Z при n ® ¥ дорівнює характеристичній функції нормованого нормального закону, а звідси випливає, що Z і пов’язана лінійною залежністю величина Y наближатимуться до нормального закону розподілу.

Приклад 8. Кожна із 100 незалежних випадкових величин Xі має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 0,12]. Записати наближено закон розподілу для випадкової величини

Розв’язання.

Знаходимо числові характеристики для Хі: M(Хі) = 0,06; D (Х) = 0,1.

Тоді

На підставі центральної граничної теореми маємо

.

Центральна гранична теорема була вперше використана для доведення інтегральної теореми Муавра—Лапласа.

6. Теорема Муавра—Лапласа

У загальному випадку випадкові величини Х1, Х2, … Хn, що розглядаються в центральній граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу.

Якщо Хі є дискретними і мають лише два значення: P (Хі = 0) = q, P (Xі = 1) = p, то приходимо до теореми Муавра—Лапласа, яка є найпростішим випадком центральної граничної теореми.

Якщо здійснюєтьсянезалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює  p, то для інтервалу [a; b) справедлива рівність:

                                        

Доведення. Нехай проводитьсянезалежних експериментів, у кожному з яких випадкова подія А може здійснитися зі сталою ймовірністю р. Тоді  — поява випадкової події векспериментах є випадковою величиною із числовими характеристиками:

M (Y) = np, D (Y) = npq, .

На підставі центральної граничної теореми розподіл випадкової величини Y зі зростанням наближатиметься до нормального. Тому для обчислення ймовірності події a < Y < b використовується формула (261): що і треба було довести.

Приклад 9. Завод виготовляє 80% виробів першого сорту. Навмання вибирають 800 виробів. Яка ймовірність того, що число виробів першого сорту виявиться в межах від 600 до 680 штук?

Розв’язання. Із умови задачі маємо p = 0,8; q = 0,2; n = 800; a = 700, b = 620.

Oбчислимо: np = 800 × 0,8 = 640;

Згідно з (259) дістанемо:

 

Основні формули комбінаторики.

Розміщеннями зелементів по k елементів  називають групи елементів, кожна з яких містить k елементів з данихелементів і які відрізняються одна від одної або елементами, або їх порядком. Число розміщень дорівнює

                                                                                                                                                                                       

Перестановками зелементів називають групи елементів, кожна з яких містить  данихелементів і які відрізняються одна від одної тільки порядком елементів. Перестановки зелементів – це розміщення зелементів по n. Число перестановок дорівнює

                                                                                                .

Комбінаціями зелементів по k елементів  називають групи елементів, кожна з яких містить k елементів з данихелементів і які відрізняються одна від одної хоча б одним елементом. Число комбінацій дорівнює

                                                                                                                                                                              

або

                                                                                                .       

 

Класичне та статистичне означення ймовірності.

 

Випадковою подією називається будь-яке явище, яке при здійсненні пквного комплексу умов може відбутися або не відбутится. Здійснення цього комплексу умов, який може бути відтворений необмежене число разів, називається випробуванням.

Достовірною називається подія, яка в результаті випробування обов’язково відбудеться. Неможливою називається подія, яка в даному випробуванні ніколи не відбувається.

Декілька подій називаються несумісними в даному випробуванні , якщо вони не можуть настати одночасно, тобто поява однієї з цих подій виключає появу будь-якої іншої з цих подій. Декілька подій утворюють повну групу в даному випробуванні, якщо в результаті випробування  обов’язково повинна настати хоча б одна з цих подій. Події в даному випробуванні називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що ні одна з цих подій не є більш можлива, ніж інша.

Ймовірність випадкової події – це чисельна міра об’єктивної можливості настання цієї події. Ймовірність досовірної події вважають рівною одиниці, а неможливої події – рівною нулю. Позначають ймовірність випадкової події А через   і вона задовільняє умову

                      .                                                                                 

Якщо випробування зводиться до схеми випадків, то використовують класичне означення для обчислення ймовірності події А: ймовірність події А дорівнює відношенню числа  результатів випробування котрі сприяють появі події А, до загального числа всіх рівноможливих несумісних результатів випробування, які утворюють повну групу

                      .                                                                                   

Відносною частотою події А в деякій серії випробувань називається відношення числа випробувань , в яких подія А появилася, до загального числа випробувань

                      .                                                                                   

Я.Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа випробувань відносна частота події буде як завгодно мало відрізнятися від її ймовірності в окремому випробуванні. Тому використовують статистичне означення ймовірності події: за ймовірність події приймають відносну частоту цієї події при великому числі випробувань.

 

Теореми додавання та множення ймовірностей.

 

Сумою  подій А і В називається подія, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А і В. Якщо події А і В несумісні, то їх сума це подія, яка полягає в появі або події А або події В. 

Добутком АВ подій А і В називається подія, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В.  Якщо події А і В несумісні, то їх добуток АВ є неможливою подією.

Сума і добуток декількох подій визначаються аналогічно.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

                                                       

Наслідок 1. Якщо події несумісні та утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

                      .                                                                                 

Протилежними подіями називаються дві несумісні події, які утворюють повну групу. Протилежну подію до події А позначають .

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

                      .                                                                           

Умовною ймовірністю  події А називають ймовірність цієї події, обчислену при умові , що подія В відбулася.

Теорема множення ймовірностей.

Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої події, обчислену в припущенні, що перша подія відбулася:

                      .                                                 

 Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися:

.                               

Дві події називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншої. Декілька подій називаються незалежними, якщо незалежні кожні дві з них і якщо незалежні кожна подія і всі можливі добутки інших. У випадкунезалежних подій

                                                                                                                                                                               ,

тобто ймовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

 

Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.

 

Якщо подія А може відбутися тільки разом з однією з несумісних подій , які утворюють повну групу, то ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій  (ці події надалі називатимемо гіпотезами) на відповідні умовні ймовірності події А:

                      ,                                                              

де . Формулу (4.1) називають формулою повної ймовірності.

З формулою повної ймовірності тісно пов’язана формула Бейєса, яка дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як в результаті випробувань появилася подія А. Умовна ймовірність гіпотези   обчислюється за формулою Бейєса

                      ,                                                        

де

 Інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової                                                                                                                                                                          величини                                  

Інтегральною функцією розподілу називають функцією  яка визначає для кожного значення  х  імовірність того, що випадкова величина  Х набере значення, менше ніж х, тобто

                                       

Випадкові величини

  Дискретні випадкові величини.

  1. Поняття дискретної випадкової величини та її закону розподілу.

  Випадкова величина, яка зв’язана з деяким дослідом, є якісною характеристикою досліду. Кількісною ж характеристикою результату проведеного досліду є випадкова величина до розгляду якої ми приступаємо

  Приклад 1. Кидаємо дві монети. Скільки з них випаде гербом вверх?

  Розв’язання. При киданні двох монет простір елементарних подій буде мати вигляд {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}, де Ц – “цифра”, Г – “герб”. Перший символ показує, як випала перша монета, а другий – друга монета. Наприклад ЦГ означає, що перша монета випала цифрою вверх, а друга – гербом. Оскільки монети є правильні і однорідні, то можна рахувати, що всі елементарні події є рівноможливими, і тоді ймовірність р кожної з них дорівнює ¼. Позначимо через Х число монет, які випали гербом вверх, складемо таблицю:

Табл. 1.

  Так, як елементарним подіям ЦГ і ГЦ відповідає одне і те ж значення величини Х, рівне 1, то можна вважати, що це значення величина Х прийме з ймовірністю . Таким чином, значення величини Х – число монет, що випали гербом вверх та відповідні їм ймовірності можна записати у вигляді таблиці

Х	0	1	2
р	¼	1/2	1/4

Табл 2.

  Отже, кожне значення величини Х є число, яке визначається результатом досліду і залежить від випадку.

  Означення 1. Випадковою називається величина, яка в результаті досліду приймає з визначеною ймовірністю те чи інше значення, яке залежить від результату досліду. Випадкові величини позначаються великими буквами латинського алфпвіту: X, Y, Z і т.д., а їх значення малими буквами: x, y, z.

  Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна, або зліченна, тобто множина її значень представляє собою послідовність х1, х2, … хn … . Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення х, позначають 

Р(х) = Р(Х=х).

  Означення 3. Відповідність між можливими значеннями х1, х2, … хn випадкової величини Х та їх ймовірностями р1,р2, … рn називають законом розподілу випадкової величини Х.

  Закон розподілу випадкової величини переважно представляють у вигляді таблиці:

Х	х1	х2	…	хі	…	хn
Р	р1	р2		рі		рn

Табл. 3.

  Події Х=х1, Х=х2, … Х=хn утворюють повну систему попарно несумісних подій, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

                                                            р1 + р2 +…+ рn = 1.                                              (1)

  Так, в прикладі 1 закон розподілу випадкової величини Х – кількості випавших гербом вверх монет – може бути задано таблицею 2.

  Приклад 2. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – кількості очок, що випали при киданні правильного грального кубика, має вигляд заданий табл. 4:

 

Х

1

2

3

4

5

6

2. Біномінальний розподіл. Нехай випадкова величина Х – кількість появи події А внезалежних дослідах, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р, а непояви – q=1-p. Очевидно, що Х може приймати значення 0,1,2, …,ймовірності яких обчислюються по формулі Бернуллі

                                           (2)

  Означення 4. Закон розподілу випадкової величини Х, який має вигляд таблиці 5:

Табл.5.

називається біномінальним розподілом.

  Таку назву він одержав у зв’язку з тим, що ймовірності (2) співпадають з відповідними членами біному (p+q)n:

 (3)

  Приклад 3. Скласти закон розподілу числа попадання в ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,9.

  Розв’язання. Випадкова величина Х – число попадань в ціль при чотирьох пострілах – може прийняти значення 0,1,2,3,4, а відповідні їм ймовірності знаходимо за формулою Бернуллі (2):

  Отже, даний закон розподілу можна представити таблицею:

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Табл.6.

  Зауваження. Оскільки формулу (3) можна записати у вигляді:

                                                                 (4)

  і оскільки p+q=1, то з (4) отримаємо, що:

                                                                                                                   (5)

  Для знаходження найімовірнішого числа m0 появи події за заданим  n і p можна користуватись нерівностями:

                                                                                                     (6)

  При досить великій кількості випробувань зручно користуватися наближеною формулою Лапласа:

                                      (7)

  де q=1-p, 0<р<1. При досить великому n і малому р використовується наближена формула Пуассона:

                                               ,   де  λ = np                                      (8

і тоді такий розподіл буде називатися Пуассоновим розподілом. У механічній інтерпретації розподіл ймовірностей випадкової величини вказує на те, яка частка всієї ймовірності припадає на те чи інше значення випадкової величини.

  Важливими числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподіввання і дисперсія цієї величини.

  3. Математичне сподівання.  Крім закону розподілу, який дає повне представлення про випадкову величину, часто використовуються числа, які описують випадкову величину сумарно. Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини. Серед числових характеристик однією з основних є математичне сподівання, яке вказує, яке середнє значення випадкової величини можна чекати в результаті випробування.

  Означення 5. Математичним сподіванням М(х) дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень хі на їх ймовірність рі:

                                                    (9)

  Приклад 4. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, знаючи її розподіл (табл.7).

Х	-1	0	1	2	3
р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Табл.7

  Розв’язання. За формулою (9) знайдемо:

 

  Основними властивостями математичного сподівання є:

5.        Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання:

                                                                  М(СХ)=СМ(Х)                                          (10)

6.        Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

                                                           М(X+Y)=M(X)+M(Y)                                   

7.        Математичне сподівання постійної величини С дорівнює самій цій величині:

                                                                     М(С)=С.                                                 

8.        Математичне сподівання лінійної комбінації випадкових величин дорівнює лінійній комбінації їх математичних сподівань:

                                                                                  

   5.  Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку                                                                   

  Отже, у механічній інтерпретації М(Х) є не що інше, як центр системи мас (ймовірностей), розподілених дискретно вздовж осі абсцис так, що на точку з абсцисою хк припадає маса (ймовірність) рк, причому .

Хс = М(Х)

  4. Дисперсія.

  Розглянемо слідуючий приклад.

  Приклад 5. Знайти математичне сподівання випадкових величин Х і У, знаючи закони їх розподілів (табл 8 і 9).

 

Х	-8	-4	-1	1	3	7
р	1/12	1/6	1/4	1/6	1/12	1/4

 

Табл.8

 

У	-2	-1	0	1	2	3
р	1/6	1/6	1/12	1/3	0	1/4

Розв’язання. За формулою (9) маємо

  Ми отримали цікавий результат: закони розподілу величини Х і У різні, а їх математичні сподівання однакові.

                                     

 

Рис.4.

  З рис. 4,б видно, що значення величини У більше зосередженні біля математичного сподівання М(У), ніж значення величини Х, які розкидані (розсіяні) відносно М(Х) (рис.4а). Отже, розподіл значень величини У є кращим. Щоб це встановити, не обов’язково наносити на числову пряму значення величини, достатньо обчислити дисперсію, яка є основною числовою характеристикою ступеня розсіяння значення випадкової величини х відносно їх математичного сподівання М(х). Вона позначається D(х).

Означення 6.  Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х та її математичним сподіванням М(Х), тобто Х – М(Х).

  Зауважимо, що відхилення Х – М(Х) та його квадрат (Х-М(Х))2 також є випадковими величинами і тому тут можна знаходити їх математичне сподівання. Причому, якщо випадкова величина Х розподілена за законом, заданим табл.3, то квадрат її відхилення має слідуючий закон розподілу (табл 10)

(Х-М(Х))2	(х1 – М(Х))2	(х2 – М(Х))2	…	(хn – М(Х))2
р	р1	р2	…	рn

Табл.10

  Введемо тепер означення дисперсії випадкової величини Х.

  Означення 7. Дисперсією дискретної випадкової величини  Х називається математичне сподівання квадрату її відхилення:

                                                

  Основними властивостями дисперсії є:

1.  Дисперсія постійної величини С рівна нулю

   D(C) = 0                                                                                                                      (16)

2.  Якщо Х – випадкова величина, а С – постійна, то

   D(CX)=C2D(X)                                                                                                           (17)

   D(X+C)=D(X)                                                                                                             (18)

3.  Якщо Х і Y незалежні випадкові величини, то

   D(X+Y)=D(X)+D(Y)                                                                                                  (19)

 Для обчислення дисперсії більш зручною є формула

D(X)=M(X2)-(M(X))2                                                                                                 (20)

Дійсно: D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2 · X · M(X)+(M(X))2) = M(X2) – 2 · M(X) · M(X)+(M(X))2 = M(X2) – (M(X))2.

  Приклад 6. Дискретна випадкова величина розподілена за законом (табл 11)

Х	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Табл.11.

  Знайти D(X).

  Розв’язання.

  Спочатку знайдемо

М(Х) = – 1 · 0,2 + 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 = 0,9

  а потім

М(Х2) = (-1)2 · 0,2 + 02 · 0,1 + 12 · 0,3 + 22 ·0,4 = 2,1.

  По формулі (20) маємо D(X) = M(X2) – M2(X) = 2,1 – (0,9)2 = 1,29.

  Приклад 7. Порівняти дисперсії випадкових величин, які задані законами розподілу (табл 12 і 13)

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

Табл.12

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

Закон великих чисел

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю.

Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

Дискретні випадкові величини.

  1. Поняття дискретної випадкової величини та її закону розподілу.

  Випадкова величина, яка зв’язана з деяким дослідом, є якісною характеристикою досліду. Кількісною ж характеристикою результату проведеного досліду є випадкова величина до розгляду якої ми приступаємо

  Приклад 1. Кидаємо дві монети. Скільки з них випаде гербом вверх?

  Розв’язання. При киданні двох монет простір елементарних подій буде мати вигляд {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}, де Ц – “цифра”, Г – “герб”. Перший символ показує, як випала перша монета, а другий – друга монета. Наприклад ЦГ означає, що перша монета випала цифрою вверх, а друга – гербом. Оскільки монети є правильні і однорідні, то можна рахувати, що всі елементарні події є рівноможливими, і тоді ймовірність р кожної з них дорівнює ¼. Позначимо через Х число монет, які випали гербом вверх, складемо таблицю:

 

Приклад. Ймовірність появи деякої події в кожному з 1000 дослідів дорівнює 0,2. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що відхилення сподівання цієї події від математичного сподівання буде більше 30.

  Розв’язання. Число появ події в n = 1000 дослідах є випадкова величина Х, яка розподілена за біномінальним законом. Тому її математичне сподівання і дисперсію знайдемо за формулами М(Х) = np, D(X) = npq. Маємо М(Х) = 1000 · 0,2 = 200, D(X)=1000·0,2·0,8=160. Користуючись нерівністю Чебишова при ε = 30, дістанемо                       

  Приклад. Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити з допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що серед 1500 новонароджених хлопчиків буде від 700 до 800.

  Розв’язання. Маємо біномінальний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому М(Х) = 1500 · 0,5 = 750, D(X) = 1500 · 0,5 · 0,5 = 375. Оскільки числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700<X<800 можна замінити еквівалентною їй X – 750 < 50.

  Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85.

Вправи.

1.9.  Скласти закон розподілу кількості попадань в ціль при шести пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі рівна 0,4.

1.10.    Ймовірність того, що студент знайде в бібліотеці потрібну йому книгу, рівна 0,3. Скласти закон розподілу числа бібліотек, які він відвідає, якщо в місті чотири бібліотеки.

1.11.    Мисливець стріляє по цілі до першого попадання, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Знайти дисперсію числа промахів, якщо ймовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,7.

1.12.    Знайти математчине сподівання випадкової величини Х, якщо закон її розподілу заданий таблицею

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

1.7    На заводі працює 4 автоматичних лінії. Ймовірність того, що на протязі робочої зміни першій лінії не потрібно регулювання, рівна 0,9, другій – 0,8, третій – 0,75, четвертій – 0,7. Знайти математичне сподівання кількості ліній, яким на протязі зміни не потрібне регулювання.

1.8.  Знайти дисперсію випадкової величини Х, знаючи закон її розподілу:

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

37.7.    Знайти математичне сподівання та дисперсію кількості бракованих виробів в партії з 5000 виробів, якщо кожен виріб може виявитися бракованим з ймовірністю 0,02.

37.8.    З урни, яка містить 2 білі і 3 чорні кулі, навмання виймають дві кулі. Знайти МХ і DX, якщо Х – кількість вийнятих білих куль.

37.9.    Маємо 4 лампи, кожна з яких з ймовірністю 1/3 має брак. При закручуванні в патрон бракована лампа зразу перегоряє, і тоді закручується наступна. Розглянути випадкову величину Х – кількість закручених ламп. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.

37.10.                       При киданні трьох гральних кубиків гравець виграє 10 гривень, якщо на всіх кубиках випаде по шість очок. У випадку, коли випало шість очок тільки на двох кубиках, гравець одержує одну гривню. Скільки повинен коштувати білет, який дає право на гру, щоб гра була вигідною організатору?

37.11.                       Мішень в тирі представляє собою круг, який розділений на три одинакові сектори, які пронумеровані цифрами 1,2,3. Під час пострілу мішень обертається так, що стрілок не бачить секторів, стріляє навмання.  При попаданні в сектор 1 стрілок виграє 1 гривню, в сектор 2 – дві гривні, в сектор 3 – три гривні. Вартість квитка, який дає право на один постріл – півтори гривні. Чи вигідна така гра тому, хто попадає в мішень з ймовірністю 1) 0,7; 2)0,8; 3)0,75