Ймовірність випадкових подій

                          Ймовірність випадкових подій.

                         Основні поняття ймовірнoсті випадкових подій.

 Усі процеси, що відбуваються у природі чи людському суспільстві, є наслідком взаємодії багатьох факторів. Для того щоб вивчити ці процеси і надалі керувати ними, необхідно з’ясувати, яку роль у досліджуваному процесі відіграє кожний фактор окремо. Наприклад, у разі вивчення руху тіла слід з’ясувати, які сили спричинюють його рух, а які гальмують; яким чином саме рухоме тіло впливає на ті сили, що діють на нього. Досліджуючи процес зміни курсу деякої валюти, скажімо гривні, потрібно з’ясувати вплив багатьох економічних і соціальних факторів як внутрішніх, так і зовнішніх, що можуть істотно змінювати курс національної валюти щодо долара, німецької марки і т. ін.

Усі зазначені фактори необхідно подати з допомогою певних кількісних оцінок, а далі — скористатися відповідними математичними методами. Отже, щоб мати змогу застосувати математичні методи з метою вивчення взаємодії тих чи інших факторів, слід уміти виражати дію кожного з них кількісно.

Щоб дістати потрібні числові дані, необхідно провести серію спостережень. Отже, спостереження є найважливішою ланкою будь-якого експерименту. Слід, проте, ураховувати, що жодний найретельніше підготовлений експеримент не дозволяє виокремити саме той фактор, який для нас головний. Адже в здійснюваному експерименті ми не в змозі вилучити численні зайві фактори, які нас не цікавлять. Так, вивчаючи падіння тіла, ми не уникнемо дії на нього сил, зумовлених обертанням Земної кулі. Коли ж ідеться про хімічні реакції, нам ніколи не доведеться стикатися з чистими елементами. А досліджуючи вплив на врожайність тієї чи іншої культури внесеного в ґрунт добрива, ми не можемо знехтувати впливом інших факторів (опади, середня весняна температура, економічний стан регіону і т. ін.), які безпосередньо впливають на остаточний наслідок експерименту — урожайність.

Отже, кожне спостереження дає нам лише наслідок взаємодії основного фактора, який нас цікавить, з багатьма сторонніми, другорядними. Деякі з них потрібно й можна враховувати в дослідженнях. Урахування ж решти факторів або в принципі неможливе, або недоцільне з якихось міркувань. Тому за реальних умов під час дослідження будь-якого процесу застосовують метод його формалізації, беручи до уваги лише ті фактори, які істотно впливають на зазначений процес.

Водночас усі ті фактори, якими експериментатор нехтує, загалом від­биваються на наслідках експерименту, надаючи їм неоднозначності.

Так настають непередбачені наперед події, котрі називають випадковими. Випадкові події в масі спостережень підпорядковані, як з’ясували дослідники, певним характерним лише для них невипадковим законам.

Математична наука, що вивчає закономірності масових подій, називається теорією ймовірностей.

Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць інформації як наслідків експерименту, називають математичною статистикою.

Зауважимо, що нині існує тенденція до появи нових економічних дисциплін, таких як «Економетрія», «Теорія ризику», «Теорія надійності», «Інформатика» і т. ін., котрі тісно пов’язані з теорією ймовір­ностей. Своїм виникненням ці дисципліни завдячують саме теорії ймовірностей. Отже, теорію ймовірностей можна розглядати як об’єд­нання певної кількості різнорідних і доволі розвинених дисциплін, кожна з яких зокрема і всі вони разом мають стати науковим багажем кожного економічно освіченого спеціаліста.

Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу умов, називають експериментом (дослідом, спробою). Наслідок будь-якого експерименту називають подією.

Експеримент не обов’язково має виконувати людина. Він може здійс­нюватися незалежно від неї, скажімо комп’ютером. Людина в такому разі є спостерігачем, котрий фіксує наслідок експерименту — подію.

 

Класифікація подій.

Події поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові.

Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається вірогідною. Вірогідна подія позначається символом W («омега»).

Наведемо приклади вірогідних подій.

Приклад 1

1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 °С, набуває стану кипіння.

2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом Æ (порожня множина).

 

 Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій

 

Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.

Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.

Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.

Елементарні події позначаються w_і (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовір­ностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.

Елементарні випадкові події w_і Î A, w_j Î B, w_k Î C, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (w_і сприяють появі події А, w_j — події В, w_k — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина W елементарних подій w_i, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: w_і Î W. Множину називають простором елементарних подій.

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.

У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не мож­на поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготов­ляє робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини W (А Ì W).

 

    Операції над подіями

Додавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С = АВ (С = А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням принаймні однієї з подій А або В.

Операція АВ називається об’єднанням цих подій.

Множення. Добутком двох подій А і В називається така подія С = АВ (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.

Віднімання. Різницею двох подій А і В називається така подія
С = А \ В (С = А – В), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним ненастанням події В.

 

Повна група подій. Протилежні події. Якщо А₁A₂A₃…
…A_n = = W, то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій А_і обов’язково настане.

Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, яка протилежна А, позначається . Він унаочнює також співвідношення: А = Ω,  А∩ = Æ.

Випадкові події А, В, С (А Ì Ω, В  Ω, С  Ω), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання, підлягають таким законам:

1. АА = А, АА = А.
2. АВ = ВА. 3. АВ = ВА.	Комутативний закон для операцій додавання та множення.
4. (АВ) С = А (ВС). 5. (АВ) С = А (ВС).		Асоціативний закон для операцій додавання та множення.
6. (АВ) С = (АС)  (ВС).				Перший дистрибутивний закон.
7. (АВ) С = (АС)  (ВС).					Другий дистрибутивний закон.

8. АΩ = Ω.

9. АΩ = А.

10. АÆ = А.

11. АÆ = Æ.

12.  = Ω \ А.

13.  = Æ.

14.  = Ω.

15. А(А) = А; В = В (В).

16. .

17. .

Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту.

Для дискретного простору Ω перші два твердження можна записати так: 1) ω_іω_j = Æ, і  ј; 2) = Ω.

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій уводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як і відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

 

Класичне означення ймовірності.

 

Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0 m   n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

                   Р (А) = .                            (1)

Для неможливої події Р (Æ) = 0  (m = 0);

Для вірогідної події Р (Ω) = 1 (m = n).

Отже, для довільної випадкової події

Елементи комбінаторики  в теорії ймовірностей: переставлення, розміщення та      комбінації

При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних подій (множину W) можна не завжди.

Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини W) і число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.

Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.

У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

       ,                         (3)

де n набуває лише цілих невід’ємних значень.

Оскільки , то при n = 1 маємо

1! = 0!

Отже,                   0! = 1.

Розміщення. Розміщенням із n елементів по m (0) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

      .                    (4)

Наприклад, .

Комбінації. Комбінаціями з n елементів по  називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин

         .                            (5)

Геометричне означення ймовірності

Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:  При цьому вважається, що ймовірність попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичне означення ймовірності

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:

Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

 Теореми додавання ймовірностей

Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то ;

б) якщо події В і С сумісні, то  

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Імовірність події С, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається

Теореми множення ймовірностей

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С незалежні, то ;

б) якщо події В і С залежні, то

Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

Імовірність настання принаймні однієї події

Нехай у результаті випробування можуть відбутися n подій  Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою А. Тоді протилежною буде подія  яка полягає в тому, що в результаті випробування одночасно настали протилежні події:  Знайдемо ймовірність події А через імовірність протилежної події:

                    Формула повної ймовірності

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умо-
ви, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними , імовірність події А обчислюється за формулою

           ,                                                (27)

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂, … В_n називають гіпотезами.

                                        

                        Формула Байєса

Застосовуючи формулу множення ймовірностей для залежних випадкових подій А, В_і (і =), дістаємо

Р(А) Р(В_і / А) = Р (В_і) Р(А / В_і) →

               →.              (28)

Залежність (28) називається формулою Байєса. Її використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

Після переоцінювання всіх гіпотез В_і маємо:

.

Згідно з формулою Байєса можна прийняти рішення, провівши експеримент. Але для цього необхідно, аби вибір тієї чи іншої гіпотези мав ґрунтовні підстави, тобто щоб унаслідок проведення експерименту ймовірність Р(В_і / А) була близька до одиниці.

Приклад 1. У шухляді міститься 10 одинотипних деталей, 6 із яких є стандартними, а решта бракованими. Навмання із шухляди беруть чотири деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А — усі чотири деталі виявляються стандартними;

В — усі чотири деталі виявляються бракованими;

D — із чотирьох деталей виявляються дві стандартними і дві бракованими.

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω

;

кількість елементарних подій, що сприяють події А:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі D:

.

Обчислимо ймовірності цих подій:

;

;

.

 

Приклад 4. Із множини чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} навмання беруть одне число, а далі з решти — друге. Яка ймовірність того, що здобуте двоцифрове число буде парним?

Розв’язання. Позначимо через А₁ — поява непарної цифри при першому вийманні, через В₁ — поява парної цифри при першому, а через В₂ — появу парної цифри при другому вийманні.

Нехай С — випадкова подія: поява парного двоцифрового числа.

Тоді С = (А₁∩В₂) È (В₁∩В₂).

Оскільки випадкові події А₁, В₁, В₂ є залежними, то

Р (С) = Р (А₁∩В₂) È (В₁∩В₂) = Р(А₁∩В₂) + Р (В₁∩В₂) =

= Р (А₁) Р (В₂ / А₁) + Р (В₁) Р (В₂ / В₁) = .

 

Приклад 5. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число, кратне 3, а на монеті герб?

Розв’язання. Нехай поява числа, кратного трьом — подія А, а поява герба — подія В. Випадкові події А і В є між собою незалежними. Отже,

        ;        .

 

Приклад 6. Три студенти складають на сесії екзамен з математики. Імовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7.

Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три студенти складуть екзамен;

2) В — три студенти не складуть екзамену;

3) С — два студенти складуть екзамен.

Розв’язання. Позначимо А₁, А₂, А₃ — випадкові події, які полягають у тому, що перший, другий і третій студенти складуть екзамен з математики. Тоді  — відповідно не складуть. За умовою задачі маємо:

Р(А₁) = 0,9,  Р(А₂) = 0,8,  Р(А₃) = 0,7.

Тоді ймовірності протилежних подій такі:

Р() = 1 – Р(А₁) = 1 – 0,9 = 0,1;

Р() = 1 – Р(А₂) = 1 – 0,8 = 0,2;

Р() = 1 – Р(А₃) = 1 – 0,7 = 0,3

Позначимо події:  ,  ,

.

Оскільки випадкові події А_і,  (і = 1, 2, 3) є між собою незалежними, то

Р(А) = Р(А₁∩А₂∩А₃) = Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃) = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504;

Р(В) = Р() = Р() Р() Р() = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006;

.

 

Приклад 7. Прилад складається з чотирьох елементів, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього і четвертого елементів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,9; 0,85; 0,8.

Яка ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу не вийде хоча б один елемент?

Розв’язання. Нехай p₁ = 0,95 — імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу. Для другого, третього та четвертого елементів ця ймовірність становитиме відповідно p₂ = 0,9; p₃ = 0,85; p₄ = 0,8. Імовірність того, що ці елементи вийдуть із ладу, дорівнюватиме відповідно:

q₁ = 1 – p₁ = 1 – 0,95 = 0,05;

q₂ = 1 – p₂ = 1 – 0,9 = 0,1;

q₃ = 1 – p₃ = 1 – 0,85 = 0,15;

q₄ = 1 – p₄ = 1 – 0,8 = 0,2.

На підставі (23) маємо:

Р(С) = 1 – q₁ q₂ q₃ q₄ = 1 – 0,05 × 0,1 × 0,15 × 0,2 = 1 – 0,00015 = 0,99985.

 

Приклад 8. Гральний кубик підкидається чотири рази. Чому дорівнює ймовірність того, що цифра 3 з’явиться при цьому хоча б один раз?

Розв’язання. Імовірність того, що при одному підкиданні з’явиться цифра 3, дорівнює . Тоді q = 1 – p = 1 – .

Згідно з (24) дістанемо:

Р(С) = 1 – q⁴ = .

Приклад 9. На склад надходять однотипні вироби з чотирьох заводів: 15% — із заводу № 1, 25% — із заводу № 2; 40% — із заводу № 3 і 20% — із заводу № 4.

Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу № 1 — 3%, заводу № 2 — 5%, заводу № 3 — 8% і заводу № 4 — 1%.