Home » Основи статистичних методів обробки медико-біологічних даних

Основи статистичних методів обробки медико-біологічних даних

22 Червня, 2024

Основи статистичних методів обробки медико-біологічних даних

Опис даних: якісні, порядкові та кількісні дані

Шкали вимірювання

Обробити статистичними методами можна лише те, що піддається вимірюванню. У зв’язку з цим необхідно розглянути існуючі шкали вимірювання. Вимірювання – присвоєння чисел предметам або подіям, що базується на деякій системі правил. Необхідно, щоб для величин, які представляють собою результати вимірювання властивості, що вивчається, виконувалися наступні умови:

Тотожність

Або А=В або АВ

Якщо А=В, то В=А

Транзитивність

Якщо А=В і В=С, то А=С

Ранговий порядок

Якщо А>В, то В<А

Якщо А>B і B>C, то A>C

Адитивність

Якщо А=В і С>0, то А+С>В

А+В=В+А

Якщо А=В і С=D, то А+С=В+D

(A+B)+C=A+(B+C)

В залежності від можливих виконань цих умов, а також операцій над виміряними значеннями («дорівнює», «не дорівнює», «більше», «менше», «додавання», «віднімання», «множення» і «ділення») існують наступні шкали вимірювання:

– шкала класифікації (номінальна);

– шкала порядку;

– шкала інтервалів;

– шкала відношень.

Ці чотири шкали вимірювання належать до трьох типів даних: якісних, порядкових і кількісних.

Якісні дані.Шкала класифікації (номінальна).

Ніякі операції порівняння якісних даних, крім «дорівнює» і «не дорівнює», не можливі. Якісні дані описуються номінальними категоріями (наприклад, стать, колір волосся, група крові тощо). Номінальні змінні – спостереження, класифіковані в одну із цілого ряду взаємовиключаючих категорій. Наприклад, людина може мати лише одну із чотирьох груп крові (I, II, III, IV).

Порядкові дані. Шкала порядку.

Можливе порівняння об’єктів за величиною – «більше» або «менше». Інші операції неможливі. Порядкові дані представляють коливання (наприклад, стадії хвороби, соціальний статус, розвиток дити тощо). Відповідні спостереження можуть бути представлені впорядкованими категоріями такими, як “добре”, “середнє” та “погано”.

Порядкові дані є суб’єктивними у вимірюванні. Це зумовлено розміщенням даних про індивідуума в одній із категорій. Наприклад, хвороба людини може бути описана категоріями як легка, середня або тяжка форма хвороби. Існує певні труднощі у визначенні попадання ознаки, що вивчається, в ту чи іншу категорію. Наприклад, порівнюючи стан хворого, ми можемо визначити тяжкий стан і віддеференціювати його від середнього, в той час коли різниця між легким і середнім станом менш очевидна. Знайти середнє значення порядкових даних неможливо, наприклад, знайти середній рівень хвороби.

Кількісні дані. Шкала інтервалів і шкала відношень.

В шкалі інтервалів можливе не тільки порівняння за величиною, але й визначення «на скільки більше» (тобто можливі операції «додавання» і «віднімання»). Що ж стосується шкали відношень, то тут можливе з’ясування питання «у скільки разів» (тобто виконуються всі операції: «порівняння», «додавання», «віднімання», «множення» і «ділення»)

Кількісними даними представляють результати обчислення або вимірювання

– дискретні дані (категоричні дані) представляють результати обчислень дослідження (наприклад, кількість кліток крові, кількість хворих тощо);

– неперервні дані представляють результати вимірів дослідження (наприклад, дані біопотенціалів мозку, електрокардіограми, спостереження за концентрацією глюкози сироватки тощо).

В процесі розвитку науки і засобів вимірювання можливий перехід від однієї шкали вимірювання до іншої, більш вдосконаленої. Адже перші термометри, наприклад, вимірювали температуру в шкалі порядку (“помірно”, “тепло”, “гаряче” і т.д.).

Іноді також говорять про дискретні та неперервні шкали вимірювання. В загальному випадку до дискретних відносяться шкала класифікації та шкала порядку. В цих шкалах немає проміжних значень, їх часто називають некількісними.

Шкала вимірювання, звичайно, накладає обмеження на статистичні характеристики, котрі можуть бути обчислені для випадкових змінних, виміряних в конкретній шкалі, і на методи обробки, котрі коректно можна застосовувати до них.

Можливі операції в різних шкалах вимірювання Табл. 6.1

Назва шкали	Вид шкали	Можливі операції
Класифікації	Дискретна	=
Порядку	Дискретна	= > <
Інтервальна	Неперервна	= > < + –
Відношення	Неперервна	= > <+ – /

В залежності від виду шкал вимірювання змінних для дослідження зв’язків між ними використовують різні статистичні методи: регресійний і кореляційний аналіз, аналіз часових рядів, дисперсійний і коваріаційний аналіз, аналіз рангових кореляцій і таблиць спряженості, дискримінантний і кластерний аналіз тощо.

Статистичний аналіз даних.

Закони розподілу випадкових величин

Випадковою називається величина, котра в результаті експерименту, який може бути повторений при незмінних умовах велику кількість разів, може прийняти значення х₁, х₂,…, х_п. Дискретною випадковою називається величина, котра може приймати скінчену кількість значень (наприклад, кількість дітей, що народилися за добу в м.Києві). Неперервною випадковою називається величина, котра може приймати будь-які числові значення в даному інтервалі значень (наприклад, маса тіла і вага новонароджених).

Закон розподілу випадкових величин – функціональна залежність між значеннями випадкових величин та ймовірностями з якими вони приймають ці значення. Закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, формули або графіка.

Функція розподілу – це функція F(x), котра задає ймовірність того, що випадкова величина Х приймає у випробовуванні прийме значення менше х:

F(x)=Р(Х<х).

Її називають інтегральною функцією.

Функція розподілу неперервної випадкової величини F(x) є неспадною неперервною функцією. Для дискретних випадкових величин функція розподілу є розривною ступеневою функцією.

Щільність розподілу для неперервної випадкової величини – це похідна від функції розподілу:

f(x)=F^/(x)/

Параметри розподілу: математичне сподівання, дисперсія.

Математичне сподівання для неперервної випадкової величини:

Математичне сподівання для дискретної випадкової величини:

Дисперсія для неперервної випадкової величини:

Дисперсія для дискретної випадкової величини:

Розглянемо закони розподілу, котрі найчастіше застосовуються при аналізі медико-біологічних даних.

Закони розподілу дискретних випадкових величин

Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі)

Дискретна випадкова величина х, яка може приймати тільки цілі невідємні значення з ймовірностями

т=0,1,…,п,

де р – ймовірність появи події в кожному випробуванні, т – кількість сприятливих подій, п – загальна кількість випробувань, q=1–p,

називається розподіленою за біноміальним законом з математичним сподіванням пр, та дисперсією – npq.

Закон Берніллі використовується тоді, коли необхідно знайти ймовірність появи випадкової події, яка реалізується рівно т з серії п випробувань.

Біноміальному закону розподілу підпорядковуються випадкові події такі, як число викликів швидкої допомоги за певний проміжок часу, черги до лікаря в поліклініці, епідемії тощо.

Приклад 1

Нехай Х – число рецесивів серед п нащадків отриманих при схрещуванні двох гібридів gGgG. За теорією Менделя ймовірність того, що нащадок двох гібридів буде рецесивом дорівнює 0,25, в рамках теорії Менделя Х є біноміальною випадковоюзмінною з ймовірністю:

Тобто підставляючи певні значення т отримаємо ймовірність рецесивів серед п нащадків.

Розподіл Пуассона

Дискретна випадкова величина Х, яка може приймати тільки цілі невідємні значення з ймовірностями

, називається розподіленою за законом Пуассона з математичним сподіванням і дисперсією , де .

Розглядаються малоймовірні події, які відбуваються у довгій серії незалежних випробувань декілька разів.

Розподіл Пуассона, як граничний біноміальний використовується при вирішенні задач надійності медичного обладнання та апаратури, розповсюдження епідемії, викликів до хворого дільничих лікарів та в інших задачах масового обслуговування.

Приклад 2

Вакцина формує імунітет від деякого захворювання з ймовірністю 0,999. Провакциновано 4000 мешканців міста. Яка ймовірність того, що двоє з них не набули імуніттету.

–

– .

Закони розподілу неперервних випадкових величин

Нормальний закон розподілу (Гаусса)

В біології та медицині найчастіше розглядають випадкові величині, які мають нормальний закон розподілу, наприклад, частота дихання, частота серцевих скорочень, динаміка росту популяції тощо.

Для нормального закону розподілу щільність розподілу задається рівнянням:

де m – математичне сподівання, а s – середнє квадратичне відхилення (– дисперсія).

Стандартним нормальним розподілом називають розподіл з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, щільність розподілу якого має наступний вигляд:

Щільність ймовірності стандартного нормального розподілу має вигляд, представлений на рис. 6.1, функція його розподілу представлена на рис. 6.2.

Рис. 6.1. Щільність ймовірності стандартної нормальної випадкової величини

Рис. 6.2. Функція розподілу стандартної нормальної випадкової величини

Дисперсія характеризує квадрат розсіювання випадкової величини. Для того щоб отримати характеристику розсіювання, чка має таку ж саму розмірність що й випадкова величини використовують стандартне відхилення

Зміна математичного сподівання не змінює форму кривої, а лише переміщує її по осі Х. При зміні дисперсії форма кривої змінюється рис. 6.3.

З рисунка видно, що чим більше значення дисперсії, тобто чим більший ступінь розсіювання випадкових величин, тим більш пологою і розтягнутою стає крива і навпаки.

Площа під графіком функції щільності (рис. 6.4.) дорівнює 1 – це ймовірність достовірної події.

Основна кількість отриманих результатів групується навколо найбільш ймовірного значення. В практичних застосування важливим є правило “трьох сігм”:

Тобто ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина відрізняється від свого математичного сподівання більше ніж на три сігма приблизно дорівнює 0,0027, така подія є практично неможливою.

Розподіл

Нехай незалежні випадкові величини х₁, х₂,…, х_п розподілені за нормальним законом з т=0 та =1.

Закон розподілу випадкової величини

називається хі-квадрат розподілом з п ступенями вільності (кількість незалежних координат).

Зі збільшенням ступенів вільності розподіл наближається до нормального.

Розподіл Ст’юдента (Госсета)

Нехай х, у незалежні випадкові величини, причому х розподілено за нормальним законом з параметрами (0;1), у – за законом з п ступенями вільності. Тоді, розподіл випадкової величини називається законом Ст’юдента з п ступенями вільності або t-розподілом.

При збільшенні числа ступенів вільності розподіл Ст’юдента наближається до нормального.

Значення коефіцієнтів Ст’юдента для відповідної довірчої ймовірності та п ступенями вільності затабульовані.

В математичній статистиці при визначенні оцінок ймовірностей попадання випадкової величини в довірчий інтервал – інтервал, який із заданою ймовірністю р покриває параметр випадкової нормально розподіленої величини, використовують t-розподіл Ст’юдента:

Рис. 6.5. Щільність ймовірності розподілу Ст’юдента

Рис. 6.6. Функція розподілу випадкової величини Ст’юдента зі ступенем вільності 1

Математичне сподівання розподілу Ст’юдента дорівнює 0, а дисперсія – . Щільність ймовірності і функція розподілу Ст’юдента представлені на рис. 6.5. і 6.6. відповідно.

Число ступенів вільності – це кількість незалежних координат.

Емпіричні закони розподілу випадкових величин

В більшості випадків при розв’язанні реальних задач закони розподілу невідомі, тому їх необхідно оцінювати по вибірці.

Набір значень (х₁,х₂,…,х_п) випадкової величини Х, котрі отримані в результаті п дослідів, називається вибіркою об’єму п. За частотою ознак, котрі попали у вибірку ми можемо оцінити долю ознаки в усій партії, тобто в генеральній сукупності. Вибірка називається репрезентативною, якщо вона представляє всі частини генеральної сукупності.

Зазвичай на практиці ми отримуємо емпіричний розподіл випадкової величини. Результати вимірювання можна представити у вигляді діаграми, яка показує, як часто були отримані ті чи інші значення. Такий емпіричний графік розподілу називається гістограмою (рис. 6.7).

Для побудови гістограми весь діапазон отриманих значень розбивають на малі інтервали і підраховують ймовірність попадання випадкової величини в даний інтервал, тобто вісь ординат – це вісь ймовірностей попадання випадкової величини в даний інтервал, а вісь абсцис – це вісь результатів спостережень, котрі розбиті на напівзамкнені інтервали. Отримаємо фігуру, що складається з прямокутників, кількість яких дорівнює числу інтервалів на які розбиті результати спостережень.

Приклади таких спостережень: частота серцевих скорочень, частота дихання у групи осіб (рис. 6.7); розподіл числа імпульсів, що поступають від звукового генератора за певний проміжок часу тощо.

Рис. 6.7.

Сучасна технологія аналізу даних

В основі обробки й аналізу даних лежать відомі математичні методи. Завдяки використанню інформаційних технологій, у наш час етап обробки даних став найменш трудомісткім. На перше місце відносно трудомісткості вийшли такі етапи, як освоєння статистичних пакетів, етап підготовки даних до аналізу, етап попереднього аналізу даних й етап інтерпретації результатів. Усе в цілому привело до змін у технології обробки й аналізу даних.

При цьому для виконання методів обробки медико-біологічних даних від користувача потрібно лише застосування статистичних методів обробки даних та використання відповідних пакетів прикладних програм. Лікарю, як правило, не потрібно поглиблюватись у складні математичні теорії, а треба розуміти, для чого й яким чином вони використовуються.

На практиці для лікаря обробка й аналіз даних зводяться до вирішення наступних задач: одержання уяви про основні статистичні методи; засвоєння пакету прикладних програм; аналізу та інтерпретація результатів досліджень.

Сам аналіз даних з використанням статистичного пакету (робота із пакетом, сама технологія аналізу даних) включає в себе такі етапи: планування дослідження; підготовка даних до аналізу; попередній аналіз даних; вибір методу аналізу та його реалізація; інтерпретація результатів; подання результатів.

Планування дослідження.

На початкових етапах дослідження немає чіткості щодо методів обробки результатів. Тому треба передбачити можливість використання різних способів обробки й приблизного порівняння одержаних результатів з метою визначення, як обробляти наявні дані.

Наведена нижче таблиця допоможе краще зорієнтуватися в методах обробки й аналізу даних.

Табл. 6.2. Основні математичні методи обробки й аналізу даних, що використовуються під час типових медичних досліджень

Джерело інформації, задача дослідження

Методи обробки й аналізу

Анкети, запитання, тести.

Дослідження стану здоров’я, клінічні обстеження, медичні записи, реєстрації, історії хвороби.

Виявлення взаємозв’язків.

Опис випадків захворювань, співставлення із даними минулих років, вивчення ускладнень.

Дослідження ефективності різних процедур, вивчення зв’язків між процедурами та їх наслідками.

Класифікація даних.

Створення таблиць та звітів.

Кореляційний аналіз. Факторний аналіз. Регресійний аналіз. Дисперсійний аналіз.

Методи перевірки гіпотез.

Скринінгові дослідження

Дискримінантний аналіз, кластерний аналіз, методи розпізнання образів.

Медико-статистичні дані.

Дослідження захворюваності, динаміка захворюваності, виявлення періодичності.

Методи аналізу випадкових процесів,

спектральний аналіз, математичне моделювання. Методи розпізнання образів. Теорія масового обслуговування. Параметричний та непараметричний статистичний аналіз.

Лабораторні експерименти та досліди на тваринах.

Статистичні методи планування експериментів. Регресійний аналіз, дисперсійний аналіз, багатомірний статистичний аналіз, методи математичного моделювання.

Клінічні дослідження.

Порівняльні лікувальні дослідження, аналіз виживаності і спадковості із урахуванням належності пацієнта до певної групи, вивчення дозування препаратів.

Розробка методів діагностики.

Дисперсійний аналіз, регресійний аналіз, дискримінантний аналіз, методи перевірки гіпотез. Математичне моделювання процесів. Дискримінантний аналіз, кластерний аналіз, методи розпізнання образів.

Клінічні лабораторні дані.

Збирання, зберігання та передача клінічної інформації, аналіз якості і надійності лабораторних досліджень, догляд за пацієнтом.

Статистичний аналіз. Дисперсійний аналіз. Регресійний аналіз. Послідовний аналіз Вальда.

Підготовка даних до аналізу

Метою цього етапу є приведення даних до вигляду, що дозволить провести наступну їх обробку, й попереднє формування уявлення про тип (структуру) даних, що аналізуються.

Звичайно під час проведення медичного дослідження намагаються врахувати максимальну кількість характеристик, які істотні при аналізі питання, що досліджується. Дослідження, як правило, складається із декількох серій спостережень, під час яких в однакових умовах регіструються параметри окремих об’єктів (наприклад, хворих на певне захворювання). Маючи справу із серією спостережень, треба намагатись подати їх в простій формі, що дозволила б безпосередньо або шляхом наступних обчислень зробити з них висновки.

Всі дані доцільно звести до єдиної таблиці, в якій по рядках розташовані різні об’єкти спостереження (наприклад, хворі), а по стовпчиках параметри (наприклад, температура, частота серцевих скорочень, артеріальний тиск тощо). В цій таблиці об’єкти можуть бути об’єднані в декілька груп у відповідності до загальних ознак (за віком, статтю тощо).

Ми розглядаємо лише репрезентативні вибірки.

Відмітимо, що введені одного разу дані можуть бути оброблені за допомогою різних методів.

Важливим етапом у підготовці даних до аналізу є візуалізація, або перегляд даних. Щоб з’ясувати, які методи аналізу треба використати до даних і наскільки Вас задовольняють одержані результати після виконання статистичних процедур, треба мати можливість наочно уявити собі ці дані й результати. Адже вивчення таблиць менш зручна процедура, аніж подання даних у вигляді графіків та діаграм. Графічні образи в медичних наукових розробках допомагають спостерігати за тенденціями змін, виявляти складні взаємодіючі фактори й спрощує співставлення даних.

Таким чином, використання графіків полегшує попередній аналіз інформації, тому доцільно будувати різні графіки для кращого розуміння одержаного експериментального матеріалу, що дозволяє одержати загальне уявлення про особливості та закономірності даних, що обробляються. Результати використання статистичних процедур, як правило, подаються в наочному графічному вигляді.

Попередній аналіз даних

Метою цього етапу є формування уявлення про тип (структуру) даних, що аналізуються, та попередній вибір методів аналізу. Цей етап включає: уточнення структури даних й розбиття їх на групи; розрахунок основних статистичних характеристик; виявлення розходжень між групами даних; визначення взаємозв’язків між параметрами; визначення емпіричних законів розподілу, яким підпорядковані дані.

Вибір і реалізація методу аналізу

В сучасних прикладних пакетах дані достатньо просто обробляються за допомогою різних процедур, з тим щоб потім можна було обрати метод, що дає найкращий результат.

Використання певного статистичного методу визначається загальною метою дослідження. Наприклад, якщо необхідно оцінити ступінь впливу відомих факторів на величину, що вимірюється, використовують дисперсійний та/або регресійний аналізи. Якщо із великої кількості факторів впливу треба виявити декілька провідних – використовують регресійний та факторний аналізи. Для оцінки особливостей явища, що змінюється з часом, використовують кореляційний та спектральний аналізи. Щоб розбити сукупність об’єктів, що вивчаються, на групи “схожих “ випадків, використовують кластерний аналіз, дискримінатний аналіз.

Інтерпретація результатів аналізу

У медиків-дослідників часто виникають труднощі в інтерпретації результатів медико-біологічних даних. Тому на цьому етапі треба використовувати методи математичної статистики, котрі пропонуються досліднику в пакеті прикладних програм.

Подання результатів

Рівень опису самого аналізу, його результатів, наочність мають бути коректними та зрозумілими для практичних медичних працівників.

Оцінка параметрів розподілу та перевірка гіпотез

Загальні поняття

Статистичні гіпотези – це припущення, котрі відносяться до виду розподілу випадкової величини або окремих його параметрів.

Задача випробування статистичних гіпотез виникає тоді, коли обставини вимушують нас робити вибір між двома способами дії.

Для оцінювання параметрів по емпіричним законам формулюється нульова гіпотеза (Н₀) про “відсутність розбіжностей”. Нульова гіпотеза є прикладом статистичного висновку: якщо нульову гіпотезу відкинути, то висновок полягає в тому, що у сукупності, котра розглядається є розбіжності, тобто приймається альтернативна гіпотеза Н₁.

Ймовірність з якою може бути відхилена нульова гіпотеза, коли вона є вірною, називається рівнем значущості (для медико-біологічних досліджень достатнім є рівень значущості ). Рівень значущості задається заздалегідь.

Ймовірність прийняття правильності рішення (гіпотеза Н₀ є вірною) називається довірчою ймовірністю (для медико-біологічних досліджень ).

Перевірка гіпотез як правило зводиться до перевірки статистичних характеристик, що оцінюють параметри законів розподілу.

Для перевірки гіпотез використовують статистичний критерій K – це вирішуюче правило, яке забезпечує прийняття вірності гіпотези і відхилення хибної з великою ймовірністю.

Сукупність значень, при яких основна гіпотеза не приймається називається критичною областю. Точки, що відділяють критичну область від області прийняття рішень називаються критичними.

Для визначення критичної області задається рівень значущості α. Для кожного з критеріїв є таблиці, за якими знаходять значення критичних точок.

Задача найкращого вибору критичної області розв’язується звичайно так, щоб критерій перевірки мав найбільшу чутливість, тобто щоб ми мали найбільшу ймовірність попадання нашого критерія в критичну область, коли вірна альтернативна гіпотеза. Ця ймовірність носить назву міцності критерію.

В силу того, що гіпотези не можуть бути доведені, а можуть бути перевірені при прийнятті гіпотези можливі помилки.

Розглянемо приклад.

Процес виробництва ліків є складним. Будь-яке відхилення (навіть незначне) від технології спричиняє появу високотоксичної побічної домішки. Токсичність цієї домішки може бути настільки великою, що навіть така її кількість яка не може бути визначена при хімічному аналізі є небезпечною для пацієнта. Тому перед тим як випускати у продаж партію ліків її досліджують на токсичність біологічними методами: невеликі дози препарату вводяться певній кількості тварин і результати реєструються. Кількість тварин, що загинули є випадковою величиною. Як правило ін’єктується декілька груп тварин.

Дослідження препарату може призвести до однієї з двох можливих дій:

– випустити партію ліків у продаж;

– повернути партію постачальнику для переробки або знищення.

Вибір між двома діями може привести до здійснення помилок двох видів:

– визнати препарат безпечним для пацієнтів, коли насправді препарат небезпечний. Ця помилка може коштувати життя пацієнта.

– визнати препарат небезпечним для пацієнтів, коли насправді він є безпечним. Наслідки цієї помилки можуть бути виражені і додаткових фінансових затратах.

Таким чином наслідки помилок є різними за своїми значеннями, тому при випробуванні гіпотез є вважливим уникати однієї із можливих помилок, яка є більш важлива ніж інша.

Отже, при перевірці гіпотез можливі помилки двох видів:

Н0 відкидається, коли вона правильна – помилка I-го роду.

Н0 приймається, коли правильна Н1 – помилка II-го роду.

В табл. 6.3 показані можливі ситуації при перевірці гіпотез.

Табл. 6.3. Ймовірність помилок при різних варіантах ситуацій, що виникають при перевірці гіпотез

		Фактична ситуація
		Н0 правильна	Н0 неправильна
Дії перевіряючого	Відкинути гіпотезу Н0	a	1-a
Дії перевіряючого	Прийняти гіпотезу Н0	1-a	a

Понижуючи рівень значущості ми зменшуємо ймовірність помилки першого роду, але при цьому збільшується ймовірність помилки другого роду.

Зазначимо, що чим більша міцність критерію, тим менша ймовірність помилки другого роду.

Етапи перевірки гіпотез

Визначення статистичної моделі, що буде використовуватися.

Тут висувають деякий набір передумов відносно закону розподілу випадкової величини і її параметрів. Наприклад, закон розподілу нормальний, величини незалежні і т.д.

Формулювання Н0 і Н1.

Вибирають критерій, котрий підходить до висуненої статистичної моделі.

Вибирають рівень значущості a в залежності від надійності висновків, що вимагаються.

Визначення критичної області для перевірки Н0.

Якщо значення критерію попадає в цю область, то Н0 відкидається. При умові, що Н0 правильна, ймовірність попадання в критичну область дорівнює a. Вигляд цієї області (одностороння або двостороння) залежить від прийнятої Н0.

Розрахування значення вибраного статистичного критерію для існуючих даних.

Порівняння розрахованого значення критерію з критичним,а потім вирішують прийняти чи відкинути Н0.

Критерії перевірки гіпотез

Однією з задач математичної статистики є встановлення узгодженості послідовності спостережень випадкових величин або подій з гіпотезами щодо розподілу випадкової величини (або ймовірності події).

Гіпотези, що перевіряються формулюються або на основі теоретичних міркувань, або в процесі статистичного дослідження.

Перевірка гіпотез, як правило, зводить до оцінювання параметрів закону розподілу. Твердження, які формулюються стосуються значень параметрів законів розподілу. З таких тверджень формулюються наслідки. Наслідки мають характер імовірнісних тверджень щодо поведінки статистичних характеристик. Перевірка полягає у обчисленні цих характеристик за даними спостережень. Такі характеристики називаються критеріями перевірки (К).

Для критеріїв перевірки заздалегідь фіксують рівень значущості a, вважаючи що в кожному експерименті подія з ймовірністю менше a практично не можлива.

Чим менше рівень значущості, тим менше ймовірність відхилити гіпотезу коли вона є вірною (тобто здійснити помилку І-го роду).

По значенню a знайдемо таке число хa щоб

Р(К>хa)=a.

Нехай – значення критерію, що розрахований по вибірці:

– якщо , то гіпотеза відхиляється;

– якщо , то гіпотеза приймається.

Стійкість критеріїв

Будь-які гіпотези перевіряють, висуваючи спочатку комплекс деяких передумов про закон розподілу випадкової величини. Невиконання передумов робить висновки із відповідних перевірок не відповідними істині. Тобто, ймовірність неправильних висновків зростає. Ступінь зменшення надійності висновків у різних критеріїв відрізняється. Стійкими називаються такі критерії, для яких малі відхилення від прийнятих передумов (статистичної моделі) незначно впливають на надійність висновків, зроблених за ними.

У зв’язку з цим при розв’язанні реальної задачі необхідно підібрати критерії, що підходять для умов саме цієї задачі. Оскільки, існує велика кількість різних критеріїв (особливо непараметричних), це може викликати певні труднощі у спеціалістів, для яких статистичні методи є всього лиш інструментом, яким вони користуються рідко. Тому розглянемо певну послідовність дій, притримуючись якої можна зробити правильний вибір.

Табл. 6.4. Вибір методу для розв’язання задачі про порівняння параметрів розподілу вибірки

Формулювання задачі в прикладній постановці	Формулювання задачі в статистичній постановці	Додаткові умови		Метод, що застосовується
Порівняння показників контрольної та експериментальної вибірок	Перевірка гіпотези про рівність середніх (центрів розподілу) в двох незалежних вибірках	Норм–ий закон розподілу	Дисперсії вибірок рівні	t-критерій (Ст’юдента) при рівних дисперсіях
			Дисперсії вибірок не рівні	t-критерій (Ст’юдента) при нерівних дисперсіях
			Без припущення про дисперсії (але при однаковому розмірі вибірок)	t-критерій (Ст’юдента) без припущення про дисперсії
Порівняння показників вибірки до і після експерименту	Перевірка гіпотези про рівність середніх в двох залежних вибірках	Нормальний закон розподілу		t-критерій (Ст’юдента) для зв’язних вибірок
Чи можна вважати, що середнє значення показника дорівнює певному номінальному значенню?	Перевірка гіпотези про рівність середньої константі	Нормальний закон розподілу		t-критерій (Ст’юдента)
Порівняння розсіювання показників двох вибірок	Перевірка гіпотези про рівність дисперсій (про належність дисперсій до однієї генеральної сукупності)	Нормальний закон розподілу		F- критерій Фішера
Чи можна вважати, що в декількох вибірках має місце одне і теж значення показника?	Перевірка гіпотези про рівність середніх (про належність середніх до однієї генеральної сукупності)	Нормальний закон розподілу		Дисперсійний аналіз

Послідовність операцій при виборі критерію

1. Постановка задачі.

2. Визначити клас критеріїв, що використовуються.

3. Визначити додаткові умови вибору критерію (багато критеріїв вимагають додаткових умов, без яких їх використання некоректне).

4. Вибір конкретного критерію (в багатьох ситуаціях існує декілька рівнозначних критеріїв, придатних для перевірки гіпотези).

Розглянемо детальніше вище зазначені операції.

Постановка задачі

Порівняння показників контрольної ті експериментальної вибірок.

У нас є дві незалежні вибірки, середні значення деяких параметрів ми порівнюємо. Наприклад, дві групи хворих, лікування яких здійснювалося різними методами.

Порівняння показників вибірки до і після експерименту.

В даному випадку ми маємо справу з так званими зв’язними вибірками. Наприклад, значення певного показника в одній і тій же групі хворих до і після лікування.

Чи можна вважати, що середнє значення показника дорівнює певному номінальному значенню?

Для певного показника (наприклад, артеріальний тиск, частота пульсу) може існувати певне значення, котре вважається нормою. Необхідно перевірити, чи можна вважати, що середнє значення показника в цій групі дорівнює нормі. Після перевірки цієї гіпотези для середнього довірчий інтервал обов’язково потрібно побудувати і прослідкувати. Щоб для вибірки виконувалися необхідні умови.

Порівняння розсіювання показників двох вибірок.

В деяких біологічних експериментах важливим є не середнє значення показника, а його розсіювання. Наприклад, необхідно вибрати препарат (метод лікування), для якого розсіювання контрольованої ознаки після застосування буде мінімальним.

Чи можна вважати, що в декількох вибірках має місце одне і теж значення показника?

Задача аналогічна попередній, але порівнюються не два типи впливу, а три і більше.

Чи можна вважати, що в декількох вибірках має місце одне і теж значення розсіювання показника?

Наприклад, ми застосовуємо для лікування різних груп хворих декілька препаратів. Чи можемо ми сказати, що результати лікування статистично не відрізняються?

Визначення додаткових умов вибору критерію

Найпоширенішими додатковими умовами для вибору критерію є наступні умови:

– Рівні чи не рівні розміри вибірок?

– Рівні чи не рівні дисперсії вибірок, що порівнюються?

– Чи однакові закони розподілу вибірок, що порівнюються?

Остання умова є вимогою будь-якого критерію, але ніколи реально не перевіряється. Вона повинна бути забезпечена правильним формування вибірок. Перша умова перевіряється простим порівнянням, а для перевірки другої користуються відповідними критеріями, що вибираються аналогічно.

Вибір конкретного критерію

Якщо існує декілька варіантів, критерій вибирається виходячи з наявних програмних засобів або можливості перевірки посилань для його використання.

Вимоги до вибірок

При проведенні досліджень (особливо клінічних) необхідно забезпечити наступні вимоги вибірки.

Однорідність. При виборі впливу сукупності факторів, що вивчаються, ознаки, котрі нас цікавлять, не повинні суперечити одна одній. Наприклад, при дослідженні впливу кави на організм людини, в виборі досліджуваних не повинно бути людей, яких кава збуджує, і тих, яких від нього хилить на сон. В ряді випадків причини неоднорідності можуть бути невідомі і тому перед аналізом даних бажана перевірка вибірки методами кластерного аналізу.

При виборі не повинно факторів, котрі сильно впливають на параметр, крім тих, які ми вивчаємо. Якщо ми припускаємо, що фази Місяця впливають на ефективність дії препарату, то фазу Місяця необхідно враховувати як фактор або збирати вибірки, в яких фаза Місяця однакова.

Репрезентативність (структурна відповідність). Вибірка, що вивчається, має бути репрезентативна генеральній сукупності. Це означає, що коли ми формуємо вибірку з сукупності, вона повинна відповідати наступним вимогам:

– Вид статистичного розподілу вибірку повинен відповідати розподілу генеральної сукупності.

– Величина вибірки повинна бути достатньою для відображення структури генеральної сукупності.

У зв’язку з цим вибірка із хворих, які проходили курс лікування в одній клініці або покупці однієї аптеки не є репрезентативними за своєю структурою. Опитування, проведене по телефону, відображає думку лише власника телефону, а не всього населення, структура захворювання в різних областях різна. Висновки маркетингового дослідження не розповсюджується на невеликі міста.

У тому випадку коли порівнюємо певні параметри двох вибірок, необхідно забезпечити рівність розподілу частот факторів, котрі мають вплив (стать, вік, серйозність захворювання і т.д.) у порівнюваних вибірках.

Співпадання умов спостережень. Умови спостереження для окремих елементів вибірки або двох вибірок, що порівнюються, повинні співпадати. Найкращий спосіб це забезпечити – подвійний сліпий метод, при якому ні пацієнт, ні середній медичний персонал не знає, які ліки або плацебо видається конкретному хворому. Це дозволяє позбутися від ефекту навіювання (вплив якого можливий на 30–50% пацієнтів) і ефекту упередженості.

Критерій (критерій Пірсона)

Нехай в експерименті спостерігається одна з r подій: А₁, А₂,….,А_r; р₁,р₂,…,р_r – гіпотетичні ймовірності цих подій. Проведено п спостережень при цьому подія А_п спостерігалась т_кразів, k=1,…,r.

Складемо вираз:

Граничний розподіл є розподілом з r–l-1 ступенями вільності, де l – число незалежних параметрів розподілу (для нормального закону l=2).

Сформулюємо критерій :

– якщо < – приймається нульова гіпотеза Н₀,

_–якщо > – відхиляється нульова гіпотеза і приймається альтернативна гіпотеза Н₁_.

Приклад 3

Було проведено дослідження захворюваності на бронхіт робітників цеху залежно від звички до паління. Результати дослідження подано у таблиці:

Рівні ознак	Наявність бронхіту (у₁)	Відсутність бронхіту (у₂)	у₁+у₂
Не палить (х₁)	5	20	25
Кинув палити (х₂)	10	40	50
Палить (х₃)	15	10	25
х₁+х₂+х₃	30	70	100

Формулюємо нульову гіпотезу Н₀ – залежності немає.

Обираємо рівень значущості a=0,05.

За таблицею знаходимо відповілне значення критрію хі-квадрат: =5,991.

Обчислимо значення критерію : =15,950.

Оскільки >, нульову гіпотезу Н₀ відхиляємо і приймаємо альтернативну гіпотезу Н₁: залежність є.

t–критерій Ст’юдента

В медико-біологічних дослідженнях часто виникає задача оцінювання параметрів розподілу за малими вибірками. Для оцінювання параметрів розподілу таких вибірок використовують розподіл Ст’юдента.

Розв’язок рівняння:

для випадкової величини t розподіленої за законом Ст’юдента з п ступенями вільності затабульовано. Тому порівнюють значення розрахованого коефіцієнта з табличним.

Сформулюємо критерій Ст’юдента:

– якщо < t – приймається нульова гіпотеза Н₀,

_–якщо t – відхиляється нульова гіпотеза і приймається альтернативна гіпотеза Н₁_.

Приклад 4

Проведено дослідження залежності концентрації нейролінової кислоти в еритроцитах при хворобі крові. Результати дослідження подано у таблиці:

Конценрація нейролінової кислоти
Група здорових (х)	Група хворих (у)
21	16
24	18
18	19
19	19
25	22
17	18
18	19
22

Формулюємо нульову гіпотезу – чи існує залежність концентрації нейролінової кислоти в еротроцитах у хворих і здорових групах пацієнтів.

Розрахуємо:

число ступенів вільності: ,

де , , , ;

коефіцієнт Ст’юдента за вибірками:

За таблицею значень коефіцієнта Ст’юдента знаходимо відповідне значення коефіцієнта t: t=2,20.

Оскільки , робимо висновок: приймається гіпотеза Н₀, тобто істотної залежності концентрації нейралінової кислоти в еритроцитах крові у групах пацієнтів немає.

Кореляція

В ряді випадків результатом спостережень може бути значення не однієї випадкової величини, а двох (у загальному випадку декількох випадкових величин) такий розподіл називається двомірним (у загальному випадку – багатомірним), наприклад, зв’язок між віком дитини та її вагою. Кожне спостереження зображається точкою на площині координати якої є значеннями випадкових величин, що спостерігаються.

Результати спостережень можна записати у вигляді таблиці. Такі таблиці називаються кореляційними таблицями. Використовуючи кореляційні таблиці можна підрахувати коефіцієнт кореляції між двома випадковими величинами:

де (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x_n,y_n) – випадкові величини, що спостерігаються сумісно, – середнє значення по вибірці , – вибіркова дисперсія по вибірці , – середнє значення по вибірці , – вибіркова дисперсія по вибірці .

Коефіцієнт кореляції є число, знак та величини якого характеризує напрям і силу подібного взаємозв’язку. Значення коефіцієнта кореляції може змінюватися від -1 до +1 (включаючи 0,0). Знак коефіцієнта кореляції вказує на напрям – прямий чи зворотній взаємозв’язок між двома змінними. Абсолютне значення коефіцієнта кореляції характеризує силу та щільність взаємозв’язку, що розглядається.

Зміст концепції кореляції можна з’ясувати за допомогою так званої діаграми розсіювання. При побудові цього графіка по вісям координат відкладаються значення відповідних корелюючих характеристик.

Можна вважати, що експериментальні дані попадають в геометричну фігуру, котра має форму еліпса: чим менше мала вісь еліпса при одній і тій самій великій вісі, тим більше значення коефіцієнта кореляції; якщо еліпс перетворюються на коло – це означає, що стохастичний зв’язок між змінними відсутній (коефіцієнт кореляції дорівнює нулю). Якщо мала вісь еліпса прямує до нуля, має місце повна позитивна або негативна стохастична залежність.

Схематичне представлення величини та напрямку коефіцієнту кореляції в залежності від ширини еліпсу та його орієнтації на площині зображено на наступних графіках :

Регресія

Знаючи коефіцієнт кореляції ми можемо по величині однієї з корелюючих між собою змінних предсказати відповідне значення другої змінної.

Рівняння для Y по X має вигляд:

де , , , і називається рівнянням регресії (термін регресія понад 100 років тому був введений англійським статистиком Ф.Гамільтоном при вивченні спадкових ознак). Зміст поняття регресія (повернення до середнього значення) виражав характер зв’язку між ростом батьків та їхніх дітей – тенденції до середнього росту.