Інтегралне числення. Диференціальні рівняння.

 

ОЗНАЧЕННЯ ПЕРВІСНОЇ.

 

Означення. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):

Тоді функція F (x) називається первісною для функції f (x).

Якщо F (x) — одна з первісних функції f (x), то будь-яка інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С — довільна стала.

Отже, якщо функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.

Означення. Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом.

Невизначений інтеграл виразу f (x)dx позначають

     

Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis — цілісний.

Символ  — початкова літера слова summa (сума).

Слово «невизначений» підкреслює, що до загального виразу первісної входить сталий доданок, який можна взяти довільно.

Вираз  називають підінтегральним виразом, функцію f (x) — підінтегральною функцією, змінну x — змінною інтегрування.

Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну.

Проте ця теорема не стверджує, що первісну даної неперервної функції можна знайти за допомогою скінченної кількості відомих дій і подати результат в елементарних функціях. Більш того, існують неперервні елементарні функції,інтеграли від яких не є елементарними функціями. Такі функції називають не інтегровними. Їх інтеграли не можуть бути знайдені за допомогою скінченної кількості елементарних функцій.

 

Основні властивості
невизначеного інтеграла

 

Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:

 

Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:

Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:       

Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків

Формула доводиться безпосередньою перевіркою диференціюванням. Справді, диференціал лівої частини подається так:

Таблиця основних інтегралів

За формулами, якими подаються диференціали функцій, легко дістати відповідні формули інтегрування.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Таблиця основних інтегралів

 

 

Метод заміни змінної
у невизначеному інтегралі

Нехай F’(x) = f(x). Тоді .

Згідно з інваріантністю форми першого диференціала рівність  справджується і тоді, коли x — проміжний аргумент, тобто

Це означає, що формула  виконується й при . Таким чином,  або  

Отже, справджується теорема.

Теорема 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку , а  — диференційовна на проміжку  функція, значення якої належать , то

 — первісна для , , і

    (6)

Формула (6) називається формулою заміни змінної під знаком невизначеного інтеграла.

Метод заміни змінної дозволяє зводити інтеграли до табличних або до інтегралів, методи знаходження яких відомі. Після обчислення інтеграла  потрібно знову замінити x на

Зауваження. Вивчення методів інтегрування певних функцій загалом можна звести до з’ясування того, яку заміну змінної в підінтегральному виразі потрібно зробити. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, наскільки вдало виконано заміну змінних, яка спрощує даний інтеграл.

 

 

 

 

Формула інтегрування частинами

Згідно з формулою диференціювання добутку двох функцій u(x) та v(x) маємо:

Інтегруючи цю рівність, дістаємо:

або

        (9)

Ця формула відбиває методику інтегрування частинами.

Нею зручно користуватися в таких випадках:

1. Підінтегральний вираз містить як множник функції , , , , . Якщо за  узяти ці функції, то підінтегральний вираз  нового інтеграла буде простіший за початковий.

2. Підінтегральна функція має вигляд , ,  , де  — многочлен від х. Тоді, узявши за  , дістанемо інтеграл такого самого вигляду, але степінь його буде вже на одиницю меншим. Беручи цей многочлен за , можна знову знизити степінь на одиницю, і т. д.

3. Підінтегральна функція має вигляд , , ,  і т. ін.

Після двократного інтегрування частинами дістанемо початковий інтеграл з деяким коефіцієнтом. Здобута рівність є лінійним алгебраїчним рівнянням відносно шуканого інтеграла.

Інтегрування раціональних дробів.
Стандартний підхід

 Інтегрування основних простих дробів

Класифікуючи елементарні функції, виокремлюють важливий клас раціональних функцій, які можна подати у вигляді дробу , де  і  — многочлени. Якщо степінь чисельника не менший за степінь знаменника, то такий дріб є неправильним. У такому разі, виконуючи ділення, знаходимо:

де  — деякий многочлен, а дріб  є правильним дробом, в якого степінь чисельника менший за степінь знаменника.

Виокремимо з класу правильних дробів основні прості дроби. Такі дроби бувають чотирьох типів.

І.                            ІІІ.  

ІІ.                       ІV. ,

Тут  — дійсні числа,  — ціле число.

 Інтеграл  виражено через . Формули виду (12) називаються рекурентними.

Стислі відомості про алгебраїчні рівняння

Теорема (Безу). При діленні многочлена  на  остача від ділення дорівнює .

Доведення. Поділивши  на , дістанемо частку  і остачу

Звідси

Нехай , тоді

Дано

Поділимо  на

Отже, . Водночас за теоремою Безу .

Наслідок. Для того, щоб многочлен  ділився без остачі на , необхідно і достатньо, щоб

Сформулюємо без доведення основну теорему алгебри, автором якої є К. Гаусс.

Теорема. Будь-який алгебраїчний многочлен при  має дійсний (або комплексний) корінь.

З теореми Гаусса випливає, що кожний многочлен n-го степеня можна розкласти на множники:

,

де  — корені цього многочлена.

Тотожна рівність двох многочленів

Розглянемо два многочлени n-го степеня:

,

.

Означення. Якщо  тобто всі відповідні коефіцієнти многочленів рівні між собою, то говорять, що многочлени  і  тотожно рівні між собою. Записують: .

Теорема. Якщо , то відповідні коефіцієнти много-
членів однакові:

          .

Теорема. Якщо значення двох многочленів n-го степеня збігаються в  точці, то многочлени тотожно рівні між собою.

Розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами

Теорема. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то він має і комплексно спряжений корінь .

Візьмемо довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами й розкладемо його на лінійні множники:

.

Серед коренів можуть бути дійсні та комплексні. Згрупувавши однакові корені, дістанемо:

де  — дійсні корені многочлена ;  — цілі числа, так зва-
ні кратності коренів многочлена;  — цілі числа, так звані крат–
ності квадратних тричленів;  — дійсні числа. При цьому , де n — степінь многочлена .

Розклад правильного раціонального дробу
на найпростіші

Теорема.  Якщо  — правильний раціональний дріб, то його можна записати у вигляді:

,

де всі дроби є правильними.

Теорема . Правильний раціональний дріб

 

у разі, якщо  не ділиться на , можна подати у вигляді:

Теорема (Ейлера). Нехай  — правильний раціональний дріб, знаменник якого записано в зазначеному щойно вигляді, тоді цей дріб можна єдиним чином подати як суму найпростіших дробів:

Наведений вираз називається розкладом раціонального дробу на найпростіші дроби.

Для визначення невідомих коефіцієнтів  існують кілька способів.

Рівність між многочленом  у лівій частині і многочленом у правій частині має виконуватися для всіх , тому коефіцієнти при однакових степенях  в обох частинах мають збігатися. Зрівнюючи їх, дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Цей метод знаходження коефіцієн­тів розкладу правильного раціонального дробу на суму найпрос­тіших дробів називається методом невизначених коефіцієнтів.

● Зведемо ліву і праву частини до спільного знаменника:

1. Якщо  містить  лінійних множників, то, підставляючи в обидві частини останньої рівності замість х значення відповідних коренів, знайдемо коефіцієнти:

2. Підставивши в обидві частини цієї ж рівності замість х певні значення (наприклад,  отримаємо систему алгебраїчних рівнянь, розв’язавши яку знайдемо коефіці-
єнти Інший шлях: коефіцієнти знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Потрібно розкрити дужки, звести подібні члени й розв’язати утворену систему рівнянь.

 

Розкладаємо спочатку підінтегральний дріб на прості дроби за теоремою 2.5

Коефіцієнт  знайдемо підставлянням значення кореня :

Коефіцієнти  знайдемо методом невизначених коефіцієнтів:

Степені

Рівності, отримані при порівнянні коефіцієнтів при відповідних степенях

 

 

Інтегрування раціональних дробів:
інший підхід

Найпростішим класом функцій, інтеграли від яких подаються елементарними функціями, є клас раціональних функцій.

Будь-яку раціональну функцію можна подати у вигляді раціонального дробу, тобто як відношення двох многочленів:

(14)

Властивості раціональних функцій

Сума (різниця) раціональних функцій є раціональна функція.

Добуток (частка) раціональних функцій є раціональна функція.

Раціональна функція від аргументу, який є раціональною функцією, є раціональною функцією.

Не обмежуючи загальності, припустимо, що многочлени  і  не мають спільних коренів.

Означення. Якщо степінь многочлена чисельника нижчий за степінь многочлена знаменника, дріб (14) називається правильним , у противному разі дріб називається неправильним .

Якщо дріб неправильний, то, поділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна подати цей дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.