Диференціальне числення функції багатьох змінних.
Означення функції багатьох змінних
Одне з фундаментальних понять математики — поняття функції однієї змінної — цілком природно, за аналогією, узагальнюється на довільну кількість п змінних з одночасним переходом від простору R2 (площини) до п-вимірного простору Rn. Подамо далі докладне теоретичне обґрунтування такого узагальнення.
Множину, елементами якої є всі можливі набори впорядкованих n дійсних чисел, позначають Rn. У цій множині означують поняття відстані між будь-якими двома її елементами.
Відстань між елементами
і ,
подається у вигляді
. (1)
Означення. Множина Rn із введеною на ній відстанню називається n-вимірним простором Rn, число— розмірністю цього простору. Елемент Î Rn називається точкою простору Rn, число хі, , — і-ю координатою цієї точки. Точки n-вимірного простору Rn утворюють і-ту координатну вісь простору. Точка 0 = (0, 0, …, 0) називається початком координат.
Простір R1 з елементами х = х1 — числова пряма. Простори R2 і R3 з елементами х = (х1, х2) і х = (х1, х2, х3) являють собою відповідно площину і тривимірний простір.
У просторі Rn можна означити поняття суми елементів і добутку елемента на дійсне число:
якщо
то
(2)
Як відомо з лінійної алгебри, множина Rn, в якій формула-
ми (2) визначено суму її елементів та добуток будь-якого елемента на дійсне число, є лінійним векторним простором. Точку х = (х1, х2, …, хn) простору Rn називають вектором, а числа хі, — його координатами в базисі е1 = (1, 0, …, 0), …,
еп = (0, 0, …,1).
У лінійному векторному просторі можна означити скалярний добуток (х, у), ставлячи у відповідність двом векторам х = (х1, х2, …, хn) і у = (у1, у2, …, уn) число
(3)
Лінійний векторний простір Rn, для елементів якого формулою (3) означено скалярний добуток, називається n-вимірним евклідовим простором.
Множини точок на площині та в Rn
Упорядкованій парі чисел (х, у) на координатній площині відповідає, як відомо, одна точка Р(х, у). Аналогічно, у Rn кожному набору n упорядкованих дійсних чисел відповідає одна точка Р(х1, х2, …, хn), де числа х1, х2, …, хn — її координати.
З метою спрощення й унаочнення міркувань, не поступаючись їх загальністю, розглядатимемо далі множини точок переважно на площині.
Означення. Множина точок Е Ì Rn називається зв’язною, якщо будь-які дві її точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали Е.
Означення. Множина Е Ì Rn називається обмеженою, якщо всі її точки можна вмістити у крузі скінченного радіуса.
Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність
, або , (4)
називається d-околом точки .
Зауваження. Для двовимірного простору нерівність (4) набирає вигляду
.
Остання нерівність відповідає внутрішності круга, радіус якого , а центр міститься в точці
Якщо з d-околу точки Р0 вилучити саму точку Р0, дістанемо так званий виколотий d-окіл точки Р0.
Означення. Деяка точка називається внутрішньою щодо даної множини, коли вона належить цій множині разом із деяким своїм d-околом, і зовнішньою, якщо існує її окіл, жодна точка якого не належить цій множині.
Означення. Зв’язна множина, що складається лише із внутрішніх своїх точок, називається відкритою областю, або просто областю.
Множина точок
Означення. Точка називається межовою для області Е, якщо в будь-якому d-околі цієї точки існують точки, що належать Е, і точки, що не належать Е.
Означення. Точка називається ізольованою точкою області Е, якщо існує d-окіл цієї точки, який не містить жодних інших точок Е, крім х.
Означення. Точка називається граничною точкою області Е, якщо будь-який d-окіл цієї точки містить хоча б одну точку Е, відмінну від х.
Означення. Множина межових точок області Е називається межею цієї області.
Означення. Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою областю.
Означення. Діаметром області D називається величина , де — відстань між точками М1 і М2, що належать D.
Область , є замкненою, — рівняння її межі, М — межова, k — внутрішня, n — зовнішня точка цієї області.
У просторі R розглянемо множину . Внутрішніми її точками є всі точки інтервалу (0, 1); точка х = 2 — ізольована; усі точки відрізка [0; 1] є граничними; точки х = 0, х = 1, х = 2 — межові.
Означення. Множина називається опуклою, якщо будь-які дві її точки можна сполучити відрізком, який належатиме цій множині. Множина, яка містить лише одну точку, також вважається опуклою.
1. Множина — є зв’язною відкритою областю, але не є опуклою.
2. Множина — є зв’язною і опуклою, але не є відкритою.
Означення функції багатьох змінних
Означення. Якщо кожній точці множини D n-вимірного простору Rn за деяким законом Р(х1, х2, …, хn) поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число , то говорять, що в області задано функціюнезалежних змінних.
При цьому D називають областю визначення функції, а Е — областю значень функції.
Згідно з означенням функцію можна розглядати як функцію точки і записувати як .
Зокрема, коли = 2, маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність одне і тільки одне число z.
Способи задання функції
Функцію двох змінних, як і функцію однієї змінної, можна подати такими способами:
аналітично (у вигляді формули); наприклад:
.
Таблично.
Графічне зображення функції
двох змінних
Щоб зобразити графічно функцію двох змінних, розглянемо систему координат хуz у тривимірному просторі .
|
|
Кожній парі чисел х і у відповідає точка Р(х, у) площини ху. Узявши в цій точці значення функції , дістанемо точку у просторі R3 з координатами (х, у, z), яка позначається символом Q(х, у, z). Усі такі точки, що відповідають різним значенням незалежних змінних х і у, утворюють певну поверхню у просторі R3. Ця поверхня і є графічним зображенням функції .
Графічним зображенням функції є площина, що проходить через точки (0, 0, 4), (0, 4, 0), (4, 0, 0) (рис. 9).
Графічним зображенням функції є сідло .
Зауваження. На практиці побудувати графік функції двох змінних буває нелегко, оскільки потрібно зобразити на площині просторову фігуру, а це не завжди вдається.
Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — за допомогою ліній рівня.
Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді . Для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня.
Накресливши кілька ліній рівня та задавши значення на них функції, дістанемо певне уявлення про характер зміни функції.
Один з найпростіших прикладів зображення функції за допомогою ліній рівня — задання рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями однакової висоти, нанесеними на карту, легко уявити рельєф відповідної місцевості.
У метеорології лініями рівня є ізотерми та ізобари. В економіці — ізокванти, криві індиферентності. Лініями рівня виробничої функції є ізокванти. Ізокванта — крива, утворена множиною точок, що відповідають різним варіан-
там поєднання двох будь-яких видів витрат, котрі забезпечу-
ють постійно одну й ту саму кількість виготовлюваної продукції .Крива індиферентності відбиває зміну поєднання двох різних благ за умови, що загальна споживна корисність їх лишається сталою .
Побудувати лінії рівня функції
.
●Шукане рівняння має вигляд
.
1. Якщо с < 0, то ліній рівня немає.
2. Якщо с = 0, то лінії рівня становлять множину всіх точок осі х, крім двох: (± 2, 0).
3. Якщо с > 0, маємо
, або . Отже, лініями рівня є кола радіусом із центром у точці , з яких вилучено точки (± 2, 0). Узявши с = 1, 2, …, дістанемо сім’ю ліній рівня .
Знаходження області
визначення функції двох змінних
Розглянемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на такому прикладі.
Знайти область визначення функції
та надати відповідну геометричну інтерпретацію.
1. Запишемо область визначення функції аналітично:
.
2. Замінивши нерівності в D рівностями, побудуємо лінії, що відповідають їм на координатній площині:
3. За допомогою контрольних точок і з’ясуємо розміщення D на площині й виділимо її штриховкою .
Диференційовність функції двох змінних
Частинні та повні прирости функції двох змінних
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним х та у приростів Dх і Dу так, щоб точка не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки , також потраплять у цей окіл.
Означення. Різницю називають повним приростом функції за х та у при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю — частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,
Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.
Частинні похідні функції двох змінних
Нехай функція задана в деякому околі точки .
Означення. Якщо існують скінченні границі
;
,
то їх називають частинними похідними функції z = f(x, y) у
точці відповідно за змінними х і у та позначають: , або , або (Символ «¶» — так зване «де» кругле — вперше застосував Якобі.)
Повний диференціал функції
двох змінних
Означення. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:
де А, В — деякі числа; a, b — нескінченно малі при , . Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції (точніше — першим диференціалом) у точці ; позначається або Таким чином,
(1)
Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,
Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.
Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції обчислюється за формулою
(2)
Теорема 1.15. Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні
,
Доведення. За означенням диференційовної функції маємо:
(3)
Узявши у (3) , дістанемо :
.
Звідси
.
Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.
Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.
Частинні похідні та повний
диференціал функції n-змінних
Означення. Якщо існує скінченна границя
,
то її називають частинною похідною функції f у точці за змінною і позначають або .
Похідні , називають похідними першого порядку.
Правило знаходження частинних похідних першого порядку
Для обчислення частинної похідної звичайно користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім хk, сталими.
Геометрична інтерпретація частинних похідних
Проведемо площину EFGH через точку даної поверхні паралельно площині y0z. Рівняння цієї площини
х = а.
Отже, рівняння кривої, утвореної в перерізі JPK, буде
,
якщо EF розглядати як вісь z, а EH — як вісь y. У цій площині означає те саме, що , а тому
Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі y, дотичної до перерізу JК у точці Р.
Аналогічно, якщо провести площину BCD через Р паралельно площині x0z, її рівняння буде
,
і в площині перерізу DPI частинна похідна означатиме те саме, що й . Звідси
Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі х, дотичної до перерізу DJ в точці Р.
Для повного диференціала формула (2) узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних :
(4)
Знайти якщо .
● Знайдемо спочатку , , :
;
;
.
Звідси за формулою (4) дістанемо:
Властивості повного диференціала
Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:
, де a, b — сталі; (5)
;
, .
Властивість інваріантності форми повного диференціала: Формула (4) виконується не лише тоді, коли х та у — неза-
лежні змінні, а й тоді, коли х і у є диференційовними функціями будь-яких змінних.
Достатня умова диференційовності
функції двох змінних у точці
Для функції однієї змінної диференційовність та існування похідної є рівносильними твердженнями. У разі функції багатьох змінних маємо інше: існування частинних похідних — необхідна, але не достатня умова диференційовності функції в точці. Наприклад, для функції
у точці маємо: , . Проте ця функція розривна в точці , а тому вона не може бути диференційовною в цій точці. Отже, для диференційовності функції у точці не достатньо самого лише існування частинних похідних. Для диференційовності доводиться додатково вимагати неперервності частинних похідних, як це випливає з поданої далі теореми.
Диференціювання складеної функції
Теорема 17. Нехай на множині D визначено складену функцію , де , , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складена функція диференційовна в точці , причому
Доведення. За умовою теореми функції і мають неперервні частинні похідні в деякому околі точки . Тому за теоремою 1.16 вони диференційовні в точці :
де , , , при , .
Надавши приростів лише аргументу х, дістанемо
(10)
де , при ,
Знайдемо приріст функції за х. За умовою теореми функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , а тому вона диференційовна в цій точці:
(11)
Підставляючи у (11) рівності (10), дістаємо:
де
—
нескінченно мала величина при .
Тоді
.
Аналогічно можна довести й формулу (9).
Диференційовність функції випливає з неперервності частинних похідних і .
Знайти і для функції , якщо
● За формулами (8) і (9) маємо:
;
.
Знайти повний диференціал функції j, якщо , ,
● З урахуванням формул (2) і формул (8), (9) дістаємо:
●
.
