Повний диференціал функції багатьох змінних.
Повний диференціал функції двох змінних
Означення. Функція 
називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:
де А, В — деякі числа; a, b — нескінченно малі при , . Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції (точніше — першим диференціалом) у точці ; позначається або Таким чином,
(1)
Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,
Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.
Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції обчислюється за формулою
(2)
Теорема 1. Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні
,
Доведення. За означенням диференційовної функції маємо:
(3)
Узявши у (3) , дістанемо :
.
Звідси
.
Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.
Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.
Частинні похідні та повний
диференціал функції n-змінних
Означення. Якщо існує скінченна границя
,
то її називають частинною похідною функції f у точці за змінною і позначають або .
Похідні , називають похідними першого порядку.
Правило знаходження частинних похідних першого порядку
Для обчислення частинної похідної звичайно користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім хk, сталими.
Геометрична інтерпретація частинних похідних
Проведемо площину EFGH через точку даної поверхні паралельно площині y0z. Рівняння цієї площини
х = а.
Отже, рівняння кривої, утвореної в перерізі JPK, буде
,
якщо EF розглядати як вісь z, а EH — як вісь y. У цій площині означає те саме, що , а тому
Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі y, дотичної до перерізу JК у точці Р.
Аналогічно, якщо провести площину BCD через Р паралельно площині x0z, її рівняння буде
,
і в площині перерізу DPI частинна похідна означатиме те саме, що й . Звідси
Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі х, дотичної до перерізу DJ в точці Р.
Для повного диференціала формула (2) узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних :
(4)
Властивості повного диференціала
Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:
, де a, b — сталі; (5)
;
, .
Властивість інваріантності форми повного диференціала: Формула (4) виконується не лише тоді, коли х та у — неза-
лежні змінні, а й тоді, коли х і у є диференційовними функціями будь-яких змінних.
Достатня умова диференційовності
функції двох змінних у точці
Для функції однієї змінної диференційовність та існування похідної є рівносильними твердженнями. У разі функції багатьох змінних маємо інше: існування частинних похідних — необхідна, але не достатня умова диференційовності функції в точці. Наприклад, для функції
у точці маємо: , . Проте ця функція розривна в точці , а тому вона не може бути диференційовною в цій точці. Отже, для диференційовності функції у точці не достатньо самого лише існування частинних похідних. Для диференційовності доводиться додатково вимагати неперервності частинних похідних, як це випливає з поданої далі теореми.
Теорема 1.16. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в цій точці.
Доведення. Розглянемо в координатній площині х0у точки , і .
Нехай частинні похідні визначені в деякому e-околі точки Р і точка R належить даному околу. Оскільки e-окіл точки Р — це круг радіусом e із центром у точці Р, то відрізки PQ i QR цілком належать цьому околу. Отже, функція визначена на відрізках PQ i QR.
Подамо повний приріст функції у точці у вигляді
(5)
На відрізку PQ змінна у має стале значення , тому функція на цьому відрізку є функцією однієї змінної х. Застосовуючи формулу Лагранжа про середнє значення, дістаємо:
(6)
для деякого значення x з інтервалу . Аналогічно, на відрізку QR функція залежить лише від у. Тому на проміжку знайдеться точка h, для якої
. (7)
Згідно з (6) і (7) запишемо формулу (5) у вигляді:
.
Звідси
де , .
Очевидно, що при і точки А і В прямують до точки Р. Частинні похідні неперервні, тому коли
Разом з a та b прямує до нуля і величина
.
Тому з рівності
випливає диференційовність функції у точці .
Диференціювання складеної функції
Теорема 17. Нехай на множині D визначено складену функцію , де , , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складена функція диференційовна в точці , причому
Доведення. За умовою теореми функції і мають неперервні частинні похідні в деякому околі точки . Тому за теоремою 1.16 вони диференційовні в точці :
де , , , при , .
Надавши приростів лише аргументу х, дістанемо
(10)
де , при ,
Знайдемо приріст функції за х. За умовою теореми функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , а тому вона диференційовна в цій точці:
(11)
Підставляючи у (11) рівності (10), дістаємо:
де
—
нескінченно мала величина при .
Тоді
.
Аналогічно можна довести й формулу (9).
Диференційовність функції випливає з неперервності частинних похідних і .
Знайти і для функції , якщо
● За формулами (8) і (9) маємо:
;
.
Похідна за напрямом. Градієнт
Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; l — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу точки . — довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом l у точці і позначається .
Зокрема, — похідна функції за додатним напрямом осі х, а — похідна функції за додатним напрямом осі у.
Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом l.
Теорема 1.18. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому
(12)
де і — значення частинних похідних у точці .
Доведення. За умовою теореми функція має в точці неперервні частинні похідні, тому за теоремою 1.16 вона диференційовна в цій точці:
де , — нескінченно малі величини при Тоді
.
Із трикутника маємо:
,
Звідси
Якщо , то , , а отже Звідси
Повний диференціал функції багатьох змінних.
Повний диференціал функції багатьох змінних визначається як сума частинних диференціалів по кожній із змінних. Повний диференціал для функції двох незалежних змінних має вигляд:
Аналогічно можна записати повний диференціал і длязмінних.
Приклад: записати вираз для повного диференціалу для функції .
Розв’язок: змінними величинами є t i x
знаходимо; підставивши частинні похідні у вираз для повного диференціалу отримуємо:
Застосування повного диференціалу для наближених обрахунків
Формула для наближених обчислень функції двох змінних в заданих точках має вигляд тут
Приклад: За допомогою повного диференціалу наближено обчислити функцію u=xey в точці (х=3,02;у=0,03) приймемо х0=3,у0=0.
Запишемо вираз для повного диференціалу du=eydx+xeydy.
Замінивши dx i dy на Dх і Dу знаходимо: підставивши результат в формулу для наближених обрахунків отримуємо:
Визначення граничної похибки посередніх вимірювань
Нехай величина u визначається через безпосереднє вимірювання величин х та у u=f(x;y) і значення прямого вимірювання величини х становить х0 при граничній абсолютній похибці вимірювання Dх, а значення прямого вимірювання величини у рівне у0 при граничній абсолютній похибці Dу. Тоді шукана величина u буде рівна u=f(x0;y0)
При граничній абсолютній похибці
Приклад: Оцінити яка потужність сушильної шафи, якщо амперметр показує силу струму 0,5А при граничній похибці прилада 10ма, а вольтметр показує напругу в 215В при граничній похибці в 2В.
Розв’язок: потужність визначається за формулою Р=IU. Згідно вихідних даних і0=0,5A;Di=0,01A;u0=215B;Du=2B
Тоді Р0=і0*u0=107,5Вт при граничній похибці таким чином
Повний диференціал функції багатьох змінних.
Повний диференціал функції багатьох змінних визначається як сума частинних диференціалів по кожній із змінних. Повний диференціал для функції двох незалежних змінних має вигляд:
Аналогічно можна записати повний диференціал і длязмінних.
Приклад: записати вираз для повного диференціалу для функції .
Розв’язок: змінними величинами є t i x
знаходимо; підставивши частинні похідні у вираз для повного диференціалу отримуємо:
Застосування повного диференціалу для наближених обрахунків
Формула для наближених обчислень функції двох змінних в заданих точках має вигляд тут
Приклад: За допомогою повного диференціалу наближено обчислити функцію u=xey в точці (х=3,02;у=0,03) приймемо х0=3,у0=0.
Запишемо вираз для повного диференціалу du=eydx+xeydy.
Замінивши dx i dy на Dх і Dу знаходимо: підставивши результат в формулу для наближених обрахунків отримуємо:
Визначення граничної похибки посередніх вимірювань
Нехай величина u визначається через безпосереднє вимірювання величин х та у u=f(x;y) і значення прямого вимірювання величини х становить х0 при граничній абсолютній похибці вимірювання Dх, а значення прямого вимірювання величини у рівне у0 при граничній абсолютній похибці Dу. Тоді шукана величина u буде рівна u=f(x0;y0)
При граничній абсолютній похибці
Приклад: Оцінити яка потужність сушильної шафи, якщо амперметр показує силу струму 0,5А при граничній похибці прилада 10ма, а вольтметр показує напругу в 215В при граничній похибці в 2В.
Розв’язок: потужність визначається за формулою Р=IU. Згідно вихідних даних і0=0,5A;Di=0,01A;u0=215B;Du=2B
Тоді Р0=і0*u0=107,5Вт при граничній похибці таким чином
