закони розподілу випадкових величин
Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід’ємних значень Х = хk = 0, 1, 2, 3, … .
Ці випадкові величини називають цілочисловими.
Імовірнісні твірні функції та їх властивості
Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією називають збіжний степеневий ряд виду:
. (1)
Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення k = 0, 1, 2, 3, … .
Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості
1. А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].
2. При Х = 1 маємо:
,
оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.
3. Із (1) дістаємо
,
де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення Х = k.
4. .
При х = 1 дістанемо
.
Звідси
. (2)
5. .
При х = 1
Це можна записати так:
Тоді
Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:
(3)
Біноміальний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:
k = 0, 1, 2, 3, …, n. (4 а)
У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
|
|
|
|
|
|
|
При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:
.
Імовірнісна твірна функція для біноміального закону
. (4 b)
Основні числові характеристики для цього закону:
1.
,
. (5)
2. ;
;
; (6)
. (7)
У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити
М (Х), D (X), s (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед 400 навмання взятих.
Пуассонівський закон
розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень
, k = 0, 1, 2 ,3, …, n, (8)
тобто обчислюється за формулою Пуассона, де . У табличній формі цей закон розподілу буде такий:
Х = k |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
|
|
|
|
|
|
|
.
Умова нормування виконується.
Ймовірнісна твірна функція для цього закону:
.
Отже,
. (9)
Скориставшись (2), (3), дістанемо вирази для М (Х), D (X):
1. ;
. (10)
2. ;
;
; (11)
. (12)
Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей
М (Х) = D (X) = а.
Приклад. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D (X), s (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із ладу під час роботи приладу.
Випадкова величина Х є цілочисловою, що має пуассонівський закон розподілу — імовірності її можливих значень обчислюються за формулою Пуассона, котра є асимптотичною щодо формули Бернуллі для великих значень n і малих значень p, так званих малоймовірних випадкових подій.
За умовою задачі маємо:
= 1000 × 0,004 = 4;
= 4;
Геометричний закон розподілу ймовірностей
Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень
, k = 1, 2, 3, …, n. (13)
Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною сталою, q = 1 – p.
У табличній формі геометричний закон розподілу такий:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
|
|
|
|
… |
При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:
Числові характеристики для цього закону:
1.
;
. (14)
2.
;
.
; (15)
. (16)
Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.
Приклад Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити М (Х), D (X), s (Х) для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.
Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = ; q =
.
Скориставшись (245), (246), (247), дістанемо:
;
;
.
Рівномірний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:
. (17)
У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:
|
1 |
2 |
3 |
… |
n |
|
|
|
|
|
|
Умова нормування виконується.
Числові характеристики рівномірного закону:
;
Приклад Знайти М (Х), D (X), s (Х), якщо цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:
.
За умовою задачі маємо: n = 100, Pk = 1/100. Дістаємо:
.
.
.
Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
.
Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює n; з них елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність), а решта
елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів, число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з гіпергеометричним законом розподілу.
У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:
|
0 |
1 |
2 |
… |
m |
|
|
|
|
|
|
При цьому m £ n.
Умова нормування .
Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, …, m – 1.
Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі формулами:
1. .
2. .
3. .
Приклад В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей. Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х),
D (X), s (Х), якщо: m = 3.
Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні закони розподілу: 1. m = 3; = 7;
= 3; k = 0, 1, 2, 3.
У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
або
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
.
1) ;
2)
;
3) .
Нормальний закон розподілу
Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо
f (х) = , –
< x <
,
де а = М (X), s = s (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і s і називається загальним.
Тоді
F(x)=dx.
Якщо а = 0 і s = 1, то нормальний закон називають нормованим.
У цьому разі
f (x)= –
< x <
,
тобто f (x) = j(x) є функцією Гаусса,
F(x) = dx.
графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; f (a) = max, отже, Мо = а.
графік F(x) є неспадною функцією, оскільки f (x) = F¢(x) > 0 і, F(a) = 0,5.
Отже, Ме = а.
Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0 або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.
Отже, для нормального закону Мо = Ме = а.
Загальний нормальний закон позначають: N (a; s). Так, наприклад, N (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2, s = 4.
Нормований нормальний закон позначають N (0; 1).
Формули для обчислення ймовірностей
подій:
1)
Отже,
P() =
.
2)
Отже,
.
Для N (0, 1) формули наберуть такого вигляду:
Правило трьох сигм
для нормального закону
Коли , то маємо:
.
Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:
Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N (a; s), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок проведення одного експерименту не здійсниться.
Експоненціальний закон розподілу
Експоненціальним законом випадкової величини називають -розподіл, в якому
Числові характеристики
Оскільки = 1, маємо такі співвідношення.
1. 2.
.
3. .
4. Me для експоненціального закону визначається так:
Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.
Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального закону на проміжку[t0, ¥]?
Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, ¥], дорівнювала одиниці. Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t Î [t0, ¥], яка буде точною копією початкової функції.
Рівномірний закон розподілу
Неперервна випадкова величина Х, що визначена на проміжку [a, b], має рівномірний закон розподілу, якщо
Функція розподілу ймовірностей
Числові характеристики
1.
2.
де
Тоді
3. ;
4. ;
5.