РОЗДІЛ III

3 Червня, 2024
0
0
Зміст

 

 

закони розподілу  випадкових величин

Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід’ємних значень Х = х= 0, 1, 2, 3, … .

Ці випадкові величини називають цілочисловими.

 Імовірнісні твірні функції та їх властивості

Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією називають збіжний степеневий ряд виду:

 .   (1)

Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення k = 0, 1, 2, 3, … .

Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості

1.  А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].

2.  При Х = 1 маємо:

,

оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.

3.  Із (1) дістаємо

,

де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення Х = k.

4.  .

При х = 1 дістанемо

.

Звідси

.                      (2)

5. .

При х = 1

Це можна записати так:

Тоді

Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:

                  (3)

Біноміальний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

 k = 0, 1, 2, 3, …, n.  (4 а)

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

0

1

2

3

n

 

При перевірці виконання умови нормування використовується фор­мула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Імовірнісна твірна функція для біноміального закону

.                           (4 b)

Основні числові характеристики для цього закону:

1.     

,

.                             (5)

2.    ; ;

;                              (6)

.                            (7)

У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити
М (Х), (X),
s (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед 400 навмання взятих.

Пуассонівський закон
розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

,      k = 0, 1, 2 ,3, …, n,                                (8)

тобто обчислюється за формулою Пуассона, де . У табличній формі цей закон розподілу буде такий:

Х = k

0

1

2

3

n

 

.

Умова нормування виконується.

Ймовірнісна твірна функція для цього закону:

.

Отже,

.                            (9)

Скориставшись (2), (3), дістанемо вирази для М (Х), D (X):

1.    ;

.                         (10)

2.    ;

     ;

;                           (11)

.                          (12)

Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей
М (Х) = D (X) = а.

Приклад. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D (X), s (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із ладу під час роботи приладу.

Випадкова величина Х є цілочисловою, що має пуассонівський закон розподілу — імовірності її можливих значень обчислюються за формулою Пуассона, котра є асимптотичною щодо формули Бернуллі для великих значень n і малих значень p, так званих малоймовірних випадкових подій.

За умовою задачі маємо:

 = 1000 × 0,004 = 4;

= 4;

Геометричний закон розподілу ймовірностей

Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

,      k = 1, 2, 3, …, n.   (13)

Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною сталою, q = 1 – p.

У табличній формі геометричний закон розподілу такий:

1

2

3

4

При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:

Числові характеристики для цього закону:

1.

;

.                               (14)

2.

  ;

.

;                              (15)

 .                            (16)

Серед дискретних  випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.

Приклад  Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити М (Х), D (X), s (Х) для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.

Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = ; q = .

Скориставшись (245), (246), (247), дістанемо:

; ; .

Рівномірний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

.                       (17)

У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:

1

2

3

n

 

Умова нормування  виконується.

Числові характеристики рівномірного закону:

;         

Приклад  Знайти М (Х), D (X), s (Х), якщо цілочислова ви­падкова величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:

.

За умовою задачі маємо: n = 100, Pk = 1/100.  Дістаємо:

.

.

.

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою

.            

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює n; з них елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність), а решта елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів, число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з гіпергеометричним законом розподілу.

У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:

0

1

2

m

 

При цьому m £ n.

Умова нормування .

Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, …, m – 1.

Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі формулами:

1. .                                         

2. .                              

3. .                             

Приклад  В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей. Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х),
D (X),
s (Х), якщо: m = 3.

 Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні закони розподілу: 1. m = 3; = 7; = 3; k = 0, 1, 2, 3.

У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:

0

1

2

3

або

k

0

1

2

3

.

1)  ;

2)  

;

3)  .

Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймо­вірностей, якщо

f (х) = ,     – < x < ,         

де а = М (X), s = s (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і s і називається загальним.

Тоді

F(x)=dx.              

Якщо а = 0 і s = 1, то нормальний закон називають нормованим.

У цьому разі

f (x)=   – < x <  ,  

тобто (x) = j(x) є функцією Гаусса,

F(x) = dx.             

графік (x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а крива (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; (a) = max, отже, Мо = а.

графік F(x) є неспадною функцією, оскільки (x) = F¢(x) > 0 і,  F(a) = 0,5.

Отже, Ме = а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0 або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.

Отже, для нормального закону Мо Ме = а.

Загальний нормальний закон позначають: (a; s). Так, наприк­лад, (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2, s = 4.

Нормований нормальний закон позначають (0; 1).

Формули для обчислення ймовірностей
                            подій:

1) 

Отже,

P() = .            

2) 

Отже,

.                     

Для (0, 1) формули  наберуть такого вигляду:

 Правило трьох сигм
для нормального закону

Коли , то  маємо:

.

Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу (as), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок прове­дення одного експерименту не здійсниться.

Експоненціальний закон розподілу

Експоненціальним законом випадкової величини називають -розподіл, в якому

                           

Числові характеристики

Оскільки  = 1, маємо такі співвідношення.

1.                         2. .                       

3. .                                                                 

4. Me для експоненціального закону визначається так:

         

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експо­ненціальному притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.

Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального закону на проміжку[t0, ¥]?

Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, ¥], дорівнювала одиниці. Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t Î [t0, ¥], яка буде точною копією початкової функції.

Рівномірний закон розподілу

Неперервна випадкова величина Х, що визначена на проміжку [ab], має рівномірний закон розподілу, якщо

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики

1. 

2. 

де

Тоді

3. ;

4. ;

5.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Приєднуйся до нас!
Підписатись на новини:
Наші соц мережі