Розв’язування диференціальних рівнянь першого та другого порядку.

Моделювання процесів диференціальними

рівняннями.

 

 

Диференціальні рівняння
першого порядку

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».

у ¢ = у — ДР першого порядку;

у ² + siny = 0 — ДР другого порядку;

у ¢¢¢ × у ¢ – у ² × у ² = 0 — ДР третього порядку.

ДР першого порядку в загальному вигляді можна подати так:

Це ДР не розв’язуване відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то подаємо його у вигляді

Це рівняння називається ДР першого порядку, розв’язува­ним відносно похідної. Його можна записати у вигляді

або

Якщо функція f(x, y) є дробом

,

то ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

Означення. Розв’язком ДР називається функція у = j(х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.

Графік функції у = j(х) називається інтегральною кри-
вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.

ДР у ¢ = 2у має розв’язок у = е^2х.

^● Справді, підставляючи у ¢ = е^2х × 2, у = е^2х у ДР, дістаємо тотожність е^2х × 2 º2 е^2х.

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у ¢ = 2у має розв’язок у = Се^2х, де С — довільний сталий параметр.

Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.

Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР з частинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.

Задача Коші

Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = j(х) ДР (2), що задовольняє умову:

у = у0  при  х = х0,                                                     (3)

називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у0, х0 — початковими значеннями.

Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиності розв’язку ДР.

Теорема 3.1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця

                               (4)

то при (х0, у0) Î D існує єдиний розв’язок ДР у = j(х), що задовольняє початкові умови (3).

Якщо в області D виконуються умови теореми існування і єдиності, то через кожну точку області D проходить одна інтегральна крива.

Задача Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х0, у0).

Умови (4) можна замінити іншою умовою:

Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки цього розв’язку особливі.

ДР першого порядку  має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.

ДР  має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (х – с)³.

Означення. Функція у = j(х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДР у¢ = f(x, y), якщо функція у = j(х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто

і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння у0 = j(х0, с) розв’язується відносно с.

Розв’язок виду у = j(х, с0) називається частинним розв’язком.

ДР у¢ = y має загальний розв’язок у = Се^х, бо (Се^х)¢ º Се^х, а рівняння розв’язується відносно С,

Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

ДР у¢ = y має загальний розв’язок  у формі Коші.

Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР

є інтеграл від f(x):

Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння y(х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція y(х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду y(х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.

ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х² + у² = с.

^● Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х² + у² = с: d(x² + y²) = dc Þ 2xdx + 2ydy = 0.

ДР сім’ї кривих

Означення. Множина кривих, що залежить від параметра, називається сім’єю кривих.

Нехай сім’я кривих описується рівнянням у = j(х, с).

Якщо виключимо параметр с із системи рівнянь

,                                                       (5)

то дістанемо ДР сім’ї кривих.

Розглянемо множину прямих, що проходять через початок координат і визначаються рівнянням у = Сх (рис. 3.1).

Виключимо параметр С із системи рівнянь виду (5):

у = Сх,  у¢ = С.

Дістанемо ДР у = у¢х, або . Це рівняння має особливу точку (0, 0).

Задачу інтегрування ДР першого порядку можна розглядати як задачу знаходження рівняння сім’ї кривих у = j(х, с) за їх ДР.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих застосовують графічний метод. ДР першого порядку в кожній точці задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої.

Якщо в кожній точці (х, у) області D на площині ху задано напрям деякого вектора, то говорять, що задано поле напрямів.

Оскільки ДР задає напрям дотичної, то ДР задає поле напрямів. Ті лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Для ДР у¢ = f(x, y) ізокліни мають рівняння f(x, y) = k = const, де k — кутовий коефіцієнт дотичної. Побудувавши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.

Побудуємо графічно сім’ю інтегральних кривих для ДР у¢ = х – у. Ізокліни мають рівняння х – у = k = const. На цих прямих дотичні до інтегральних кривих мають кутовий коефіцієнт k. Побудуємо графіки ізоклін, а далі проведемо наближено інтегральні криві (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Загальний розв’язок рівняння має вигляд у = х – 1 + Се^–х.

Наближені методи
розв’язування ДР

Для наближеного знаходження інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х₀, у₀), існує багато аналітичних і чи-
сельних методів. Найпростіший чисельний метод запропонував Л. Ейлер. Викладемо ідею методу Ейлера.

Вводимо дискретні значення аргументу х:

х_n = x₀ + nh  (n = 0, 1, 2, …), h > 0.

Параметр h називається кроком дискретизації, або кроком інтегрування. У початковій точці (х₀, у₀) інтегральна крива наближено замінюється дотичною до неї з кутовим коефіцієнтом

У рівняння дотичної

у = у₀ + k₀(x – x₀)

підставляємо х = х₁ = x₀ + h і знаходимо наближені значення у₁ змінної у:

у₁ = у₀ + hf(x₀, y₀).

Аналогічно знаходимо наближено інші точки (x_n, y_n) на інтегральній кривій:

у_n+1 = y_n + hf(x_n, y_n)  (n = 0, 1, 2, …).  (6)

За цією формулою подається чисельний метод інтегрування Ейлера.

Точніші методи чисельного інтегрування відрізняються від методу Ейлера більшою складністю. Методи Адамса враховують значення розв’язку на кількох попередніх кроках і поділяються на інтерполяційні та екстраполяційні. Екстраполяційні методи використовують лише вже знайдені раніше значення чисельного розв’язку, а інтерполяційні використовують ще не знайдені значення розв’язку, які обчислюють за деякою екстраполяційною формулою.

Наведемо найпростіші екстраполяційні методи Адамса.

, 

, 

, 

,  (7)

Тут позначено

Розглянемо точніші інтерполяційні методи Адамса.

, 

, 

, 

. (8)

Через R позначено похибку чисельного методу на одному кроці інтегрування, а у^(k)(x) — похідну k-го порядку точного розв’язку у = у(х).

Найчастіше на практиці застосовуються методи типу Рунге—Кутта, зміст яких полягає в чисельному обчисленні правої частини f(x, у) ДР у¢ = f(x, у) в околі точки, що розглядається. Наведемо формули одного з методів Рунге—Кутта, який найчастіше застосовується і має похибку на одному кроці

де

           (9)

Знайдемо чисельний розв’язок ДР у¢ = у з початковими умовами х₀ = 0, у₀ = 1 за методом Ейлера (6), Адамса (7), Рунге—Кутта (9) при h = 0,2.

Розв’язок наведений у вигляді табл. 3.1.

Таблиця 3.1

хn	Метод Ейлера	Метод Адамса	Метод Рунге—Кутта	Точний розв’язок
0,0	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000
0,1	1,10000	1,10500	—	1,10517
0,2	1,21000	1,22115	1,22140	1,22140
0,3	1,33100	1,34977	—	1,34986
0,4	1,46410	1,49174	1,49182	1,49182
0,5	1,61051	1,64861	—	1,64872
0,6	1,77156	1,82199	1,82211	1,82212
0,7	1,94872	2,01361	—	2,01375
0,8	2,14359	2,22537	2,22552	2,22554
0,9	2,35795	2,45941	—	2,45960
1,0	2,59374	2,71806	2,71825	2,71828

 

Нині теорія чисельних методів розвивається завдяки розвитку обчислювальної техніки.

Наближені аналітичні
методи розв’язування ДР

1.   Щоб почати обчислення за методом Адамса, потрібно обчислити кілька сусідніх значень у_n. Для цього можна використовувати розклад шуканого розв’язку за формулою Тейлора:

 .

Значення похідних обчислюється за допомогою диференціювання диференціального рівняння у¢ = f(x, y):

Знайдемо наближений розв’язок рівняння

                            (10)

^● Диференціюючи ДР, обчислюємо послідовно похідні

 .

Із цих рівнянь послідовно знаходимо числові значення похідних:

 .

Наближений аналітичний вираз для у(х) визначається формулою:

 .

Розв’язок ДР можна відразу шукати у вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами:

 .

Тут а₀ = у(х₀) = у₀. Підставляючи ряд у диференціальне рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, дістаємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів степеневого розкладу.

Знайдемо розв’язок ДР (10) у вигляді степеневого розкладу.

^● Для коефіцієнтів а₀, а₁, а₂, … маємо рівняння:

Визначаючи послідовно значення коефіцієнтів а_k (k = 0, 1, 2, …), дістаємо наближений аналітичний вираз для розв’язку ДР:

 .

2.   Наступний наближений аналітичний спосіб розв’язування ДР полягає у зведенні ДР до інтегрального рівняння, яке розв’я­зується методом послідовних наближень. Інтегруючи ДР

у¢(х) = f (x, y(x)),

дістаємо рівняння

яке можна записати у вигляді

                   (11)

Це рівняння розв’яжемо методом послідовних наближень:

При достатньо великому значенні n беремо у(х) » у_n(x).

Розв’яжемо ДР у¢ = у, у(0) = 1.

^● Рівняння (11) набирає вигляду

Метод послідовних наближень

дає значення:

,

.

Інтегруючи ДР (10), дістаємо інтегральне рівняння

         

Метод послідовних наближень приводить до послідовності функцій:

які наближено подають розв’язок у(х).

3.   Найбільш ефективним способом побудови наближеного аналітичного розв’язку є метод малого параметра. Для ДР у¢ = f (x, y) відшукується загальніше ДР у¢ = g(x, y, m), що містить параметр m так, щоб

g(x, y, m₀) º f(x, y),

а ДР у¢ = g(x, y, 0) може бути зінтегроване.

Розв’язок ДР у¢ = g(x, y, m) шукаємо у вигляді степеневого розкладу за степенями m:

у(х) = у₀(х) + mу₁(х) + m²у₂(х) + … . (12)

Підставляючи цей розклад у ДР і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях m, дістаємо систему ДР для послідовного визначення функцій у_n(х) (n = 0, 1, 2, …). Ці рівняння інтегруються послідовно. За початкові умови для функцій у_n(х) беремо такі значення:

у₀(х₀) = у₀,  у_k(x) = 0  (k = 1, 2, 3, …).

Беручи у знайденому розв’язку (12) m = m₀, знаходимо розв’язок ДР у¢ = f(x, y).

Застосовуємо метод малого параметра для наближеного розв’язування ДР (10).

^● Розглянемо допоміжне ДР:

у¢ = mх + у²,  m₀ = 0,1,  х₀ = 0,  у₀ = 0.

Підставляючи розклад (12) у ДР і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях m, дістаємо систему ДР:

 .

Розв’язавши ці рівняння з нульовими початковими умовами при х = х₀, знайдемо:

 .

Допоміжне ДР має наближений розв’язок:

 .

Підставивши m = 0,1, дістанемо наближений розв’язок ДР (10).

Задаючи значення аргументу х_n = x₀ + nh, знаходимо відповідні значення у_n = y(x_n).

Диференціальні рівняння з відокремленими
і відокремлюваними змінними

Означення. ДР виду

                                                                                             (13)

називається ДР з відокремленими змінними.

Загальний розв’язок ДР знаходимо з рівняння

Розв’язок задачі Коші з початковими умовами х = х0, у = у0 має вигляд

Знаходження розв’язку ДР з відокремленими змінними зводиться до квадратур, тобто до пошуку інтегралів від відомих функцій.

Знайдемо розв’язок ДР

               2хdx + 2ydy = 0.

^● Інтегруючи ДР, знаходимо розв’язок

Знайшовши інтеграли, дістанемо розв’язок ДР:

х² + у² = С.

Інтегральними кривими є концентричні кола з центром у початку координат.

Означення. ДР виду

                                                                                    N1(y)M1(x)dx + M2(x)N2(y)dy = 0                                                                                      (14)

називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто таким, що зводиться до ДР з відокремленими змінними.

Поділимо рівняння (14) на функцію N1(y)M2(x) і дістанемо ДР з відокремленими змінними

яке має інтеграл

ДР (14) також має розв’язки у = уk, x = xj, де у = уk є коренем рівняння N1(y) = 0, а x = xj є коренем рівняння M2(x) = 0 (особливі розв’язки).

Аналогічно, ДР виду

y¢ = f(x)g(y)                                                                 (15)

є ДР з відокремлюваними змінними.

Рівняння (15) можна записати у вигляді

Рівняння (15) має також розв’язок у = уk, де g(уk) = 0.

Знайдемо загальний розв’язок ДР: у¢ = 2ху².

^● Запишемо рівняння у вигляді

,  , 

і знайдемо загальний розв’язок:

Однорідні диференціальні рівняння

Означення. ДР називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді

                                                                       (16)

ДР (16) за допомогою заміни змінної у

зводиться до ДР з відокремлюваними змінними

і пошук розв’язку зводиться до квадратур

Знайдемо загальний розв’язок ДР: .

^● Вважаючи у = ux, дістанемо ДР і його розв’язок:

u¢x + u = u, u¢x = 0, u = C = const, y = Cx.

Знайдемо загальний розв’язок ДР

^● Беручи у = ux, знаходимо ДР для змінної u:

.

Інтегруючи ДР з відокремлюваними змінними, знаходимо загальний розв’язок ДР:

.

Однорідні ДР  не змінюються в результаті перетворення подібності

                    (17)

ДР   перетворюється на ДР  .

Перетворення подібності (17) перетворює інтегральні криві ДР (16) на інтегральні криві того самого рівняння (16). Таким чином, усі інтегральні криві рівняння (16) подібні з центром подібності в початку координат.

Розглянемо однорідне ДР

      .

Застосовуючи заміну у = ux, дістаємо ДР

Остаточно знаходимо інтеграл ДР:

Усі інтегральні криві є колами, що проходять через початок координат. Усі інтегральні криві замкнені, входять у початок координат і подібні з центром подібності в початку координат (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Диференціальні рівняння
в повних диференціалах

Означення. ДР виду  du(x, y) = 0  .

або

називається ДР у повних диференціалах.

Це рівняння має інтеграл

u (x, y)= С, С = const.

ДР виду

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

При цьому функцію u = u(х, у) знаходимо з рівнянь

В окремих випадках можна застосовувати формули

               (20)

де х₀, у₀ — довільні значення. При цьому розв’язок задачі Коші з по­чатковими умовами х = х₀, у = y₀ визначається рівнянням u(х, у) = 0.

Розв’яжемо ДР

        (2х + 2у)dx + (2x – 2y)dy = 0.

^● Cпочатку перевіримо виконання умов (19):

Оскільки умова (19) виконана, то знаходимо розв’язок із формули (20) при х₀ = 0, у₀ = 0:

Отже, ДР має інтеграл х² + 2ху – у² = С.

Петербурзький математик Л. Ейлер розробив теорію інтегрувального множника. Він довів, що для кожного ДР першого порядку

М(х, у)dx + N(x, y)dу = 0,

для якого не виконується умова (19), існує інтегрувальний множник m = m(х, у), такий що ДР

m(х, у)М(х, у)dx + m(х, у)N(х, у)dу = 0

є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (19)

яку можна записати у вигляді

                (21)

знаходять інтегрувальний множник m = m(х, у), а потім інте-
грують ДР.

Знайдемо розв’язок ДР

             (х² – 2у)dx +(– x)dy = 0.

^● Маємо рівності:

Умова (19) не виконується. ДР, що розглядалось, не є ДР у повних диференціалах. Запишемо рівняння виду (21):

Помноживши початкове ДР на х, дістанемо ДР у повних диферен-
ціалах:

(х³ – 2ху)dx –x²dy = 0,

яке має інтеграл

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. ДР виду

                                                             (22)

де р(х), q(x) відомі функції, називається лінійним ДР. Якщо q(x) º 0, то ДР називається однорідним. Якщо q(x) ¹ 0, то ДР називається неоднорідним.

Однорідне лінійне ДР завжди інтегрується в квадратурах як ДР з відокремлюваними змінними:

Нехай відомий частинний розв’язок у = у₀(х) лінійного ДР:

Шукаємо загальний розв’язок неоднорідного ДР у вигляді

у = у₀(х) + z

і для z знаходимо однорідне лінійне ДР

z¢ + p(x)z = 0.

Отже, справджується така теорема.

Теорема 3.2. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного ДР.

Лінійне ДР у¢ + 2ху = 1 + 2х² має частинний розв’язок у = х. Оскільки однорідне рівняння z¢ + 2хz = 0 має за-
гальний розв’язок  то початкове рівняння має загальний роз­в’язок

Для пошуку загального розв’язку неоднорідного ДР найчастіше застосовують такі три методи розв’язування.

І. Метод Бернуллі. Розв’язок ДР (22) шукаємо у вигляді добутку двох функцій u та v. Підставляючи у = uv у ДР, дістаємо рівняння

u¢v + uv¢ + p(x)uv = q(x).

Зведемо це рівняння до системи ДР:

uv¢ + p(x)uv = 0, u¢v = q(x).

Із першого рівняння знаходимо змінну v:

Із другого рівняння знаходимо змінну u:

Остаточно маємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді

Знайдемо загальний розв’язок ДР ху¢ + у = 3х².

^● Спочатку відшукуємо змінну v:

.

Потім знаходимо змінну u:

Отже, загальний розв’язок лінійного ДР буде такий:

ІІ. Метод Ейлера. Помножимо ДР (22) на інтегрувальний множник m = m(х), що залежить лише від х.

Дістанемо ДР

mу¢ + mр(х)у = mq(x).

Нехай mр(х) = m¢, m =. ДР набирає вигляду

mу¢ +m¢у = mq(х),  (mу)¢ = mq(х), mу = òmq(x)dx + C.

Остаточно приходимо до розв’язку ДР

Знайдемо розв’язок ДР ху¢ + у = 3х² з початковими умовами х = 1, у = 1.

^● Запишемо ДР у вигляді (ху)¢ = 3х² і знайдемо загальний розв’язок

При х = 1, у = 1 маємо С = 0, у = х².

ІІІ. Метод Лагранжа. Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. До загального розв’язку входить довільна стала. Потім шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді розв’язку однорідного рівняння, де довільну сталу розглядаємо як нову шукану функцію. Цей метод називається також методом варіації довільних сталих.

Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР (22). Спочатку знайдемо розв’язок однорідного ДР у¢ + р(х)у = 0. Загальний розв’язок ДР має вигляд , де С — довільна стала. Шукаємо потім розв’язок неоднорідного ДР у вигляді  де С(х) — нова шукана функція. Підставивши у у ДР (22), дістанемо рівняння

або

Остаточно маємо загальний розв’язок неоднорідного ДР (22):

Знайдемо загальний розв’язок ДР ху¢ + у = 3х².

^● Спочатку розв’яжемо однорідне ДР ху¢ + у = 0:

Розв’язок неоднорідного ДР шукаємо у вигляді . Підставляємо у у ДР.

Остаточно знаходимо розв’язок

Диференціальне рівняння Бернуллі

Означення. ДР виду

називається ДР Бернуллі.

 

Рівняння Бернуллі зводиться до лінійного ДР за допомогою заміни

Знайдемо розв’язок ДР Бернуллі

               ху¢ – у = 2ху².

^● Беручи , приходимо до лінійного ДР

xz¢ + z = –2x,  (xz)¢ = – 2x, xz = – x² + C,

Розв’язок ДР можна шукати за методом Бернуллі, беручи у = uv. Підставляючи у, дістаємо:

x(u¢v + ux¢) – uv = 2x²v²;

u(xv¢ – v) = 0,  xu¢v = 2xu²v².

З першого рівняння xv¢ – v = 0 знаходимо v = х.

З другого рівняння при v = х маємо:

Остаточно знаходимо розв’язок ДР:

.

Диференціальні рівняння
другого порядку, які допускають
зниження порядку

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд

F(x, y, y¢, y²) = 0.                                                        (23)

ДР другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної —

y²= f(x, y, y¢).

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі С1 та С2 і має вигляд

у = j(х1, С1, С2).

За рахунок вибору довільних сталих С1, С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в знаходженні частинного розв’язку у = у(х) ДР, що задовольняє початкові умови

у(х0) = у0, у¢(х0) = у¢0.

Для ДР другого порядку часто на практиці зустрічаються крайові задачі, коли умови на розв’язок задаються при різних значеннях аргументу.

Розглянемо прості випадки, коли вдається знизити порядок ДР другого порядку і звести його до ДР першого порядку.

У диференціальному рівнянні відсутня
шукана функція у(х)

ДР виду (23) не містить шуканої функції у. Отже, можна знизити порядок рівняння, узявши

y¢ = z, y² = z¢.

При цьому дістанемо ДР першого порядку

F(x, z, z¢) = 0.

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння
z = z(x, C1), то знайдемо і розв’язок ДР (23):

у = òz(x, C1)dx + C2.

Знайдемо розв’язок ДР у² + у¢ = 0.

^● Беручи у¢ = z, у² = z¢, знижуємо порядок ДР і приходимо до ДР першого порядку z¢ + z = 0.

Знаходимо розв’язок ДР першого порядку:   , ,

Інтегруючи z, знаходимо загальний розв’язок ДР другого порядку

.

Диференціальне рівняння
не містить явно аргументу

Порядок ДР

F(y, y¢, y²) = 0

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну взяти у, а за шукану залежну змінну: z = y¢. Маємо:

Початкове ДР другого порядку зводиться до ДР першого порядку

Якщо буде знайдено розв’язок цього рівняння z = z(y, C1), то для відшукання загального розв’язку початкового ДР дістанемо рівняння

Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку

          у² + w²у = 0,  w = const.

^● Беручи у¢ = z, дістаємо  і приходимо до ДР першого порядку:

Визначаємо змінну  і для відшукання у приходимо до ДР першого порядку

Остаточно знаходимо загальний розв’язок початкового ДР

який можна записати також у вигляді

у = Аsin w(x – x₀),  A = const, x₀ = const.

Диференціальне рівняння, однорідне
відносно шуканої функції та її похідних

Якщо для ДР F(x, y, y¢, y²) = 0 виконано рівність

F(x, ty, ty¢, ty²) = tmF(x, y, y¢, y²),

то ДР називається однорідним відносно шуканої функції і її похідних. При цьому порядок ДР можна знизити, якщо взяти

y¢ = yz,  y² = y¢z + yz¢= yz2 + yz¢ = y(z¢ + z2).

Початкове рівняння набирає вигляду

F(x, y, yz, y(z¢ + z2)) = уmF(x, 1, z, z¢ + z2) = 0,

тобто зводиться до ДР першого порядку

F(x, 1, z, z¢ + z2) = 0.

Якщо буде знайдено розв’язок цього ДР z = z(y, C1), то можна знайти у з рівняння:

Знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР

               у²у + у¢у¢ = 0.

^● Застосовуючи заміну , приходимо до ДР першого порядку

Остаточно знаходимо у із ДР:

Лінійне диференціальне
рівняння другого порядку

Найпростіші властивості мають розв’язки лінійного ДР, тому вони найчастіше застосовуються на практиці.

Багато нелінійних ДР замінюються близькими до них лінійними ДР, що називається лінеаризацією ДР. Загальні властивості розв’язків лінійного ДР викладемо на прикладі лінійного ДР другого порядку:

у² + р(х)у¢ + q(x)y = f(x).                                            (24)

ДР називається однорідним, якщо f(x) º 0, і неоднорідним, якщо f(x) º 0. Неоднорідне лінійне ДР завжди може бути розв’я­зане, якщо відомий загальний розв’язок однорідного ДР. Отже, основну увагу приділимо властивостям однорідного лінійного ДР

у² + р(х)у¢ + q(x)y = 0.                                               (25)

Загальні властивості розв’язків
однорідного лінійного ДР

І. Нехай відомі два частинні розв’язки однорідного ДР (25)

у = у1(х),  у = у2(х).

Тоді їх сума у = у1(х) + у2(х) є розв’язком ДР (25).

ІІ. Якщо відомі частинні розв’язки ДР(25) у = у1(х), то функція у = Су1(х), С = const також є розв’язком ДР.

Наслідок. Якщо відомі два частинні розв’язки у = у1(х), у = у2(х) ДР(25), то функція у = С1у1(х) + С2у2(х) також є розв’язком ДР (25).

Означення. Два розв’язки у = у1(х), у = у2(х) лінійного однорід­ного ДР(25) другого порядку називаються лінійно незалежними, якщо

Два розв’язки називаються лінійно залежними, якщо

Означення. Функціональний визначник

називається визначником Вронського, або вронськіаном.

ІІІ. Якщо два розв’язки у = у1(х), у = у2(х) лінійно залежні, то їх визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

IV. Для визначника Вронського справджується формула Ліувілля—Остроградського:

                                                           (26)

● Доведення. Диференціюючи W(x), дістаємо ДР:

Інтегруючи ДР W¢(x) = – р(х)W(x), дістаємо рівність (26).

Наслідок. Якщо визначник Вронського W(x) перетворюється на нуль у деякій точці х = х₀, а р(х) — неперервна функція, то W(x) º 0.

V. Якщо визначник Вронського дорівнює нулю, то розв’язки
у = у₁(х), у = у₂(х) — лінійно залежні.

^● Справді, нехай W(x) º 0. Це означає, що

ДР у² + у = 0 має два розв’язки у = cosx, y = sinx. Визнач­ник Вронського відмінний від нуля:

Отже, ці розв’язки лінійно незалежні.

VI. Якщо два розв’язки однорідного ДР у = у₁(х), у = у₂(х) лінійно незалежні, то лінійне однорідне ДР має загальний розв’язок

у = С₁у₁(х) +С₂у₂(х).

^● Справді, для розв’язування задачі Коші з початковими умовами

у(х₀) = у₀, у¢(х₀) = у¢₀

для визначення довільних сталих С₁, С₂ дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

С₁у₁(х₀) + С₂у₂(х₀) = у₀,

С₁у¢₁(х₀) + С₂у¢₂(х₀) = у¢₀

з визначником W(x) ¹ 0. Отже, ця система лінійних рівнянь завжди має розв’язок.

VII. Якщо відомий один частинний розв’язок у = у₁(х) ¹ 0 однорідного ДР, то порядок початкового рівняння можна знизити на одиницю.

^● Справді, нехай виконується рівність

.

В однорідному ДР (25) зробимо заміну

і дістанемо для z лінійне ДР:

Оскільки коефіцієнт при z перетворюється на нуль, то дістанемо для z ДР другого порядку

яке можна звести до рівняння першого ДР порядку заміною z¢ = v, z² = v¢. При цьому дістанемо ДР 

VIII. Якщо відомий один частинний розв’язок у = у₁(х) ¹ 0 однорідного ДР другого порядку, то другий розв’язок можна знайти квадратурою.

^● Справді, з формули (26)

знаходимо рівність

.

Інтегруючи цю рівність і домножуючи на у₁, дістаємо другий розв’язок ДР:

Узявши С₁ = 1, С₂ = 0, знайдемо розв’язок у = у₂, лінійно незалежний від розв’язку у = у₁.

                      (27)

Лінійне ДР другого порядку

             у² – (х + 1)у¢ + у = 0

має очевидний розв’язок у = х + 1. Із формули (27) при х₀ = 0 знаходимо інший частинний розв’язок

IX. Якщо відомі два лінійно незалежні розв’язки однорідного лінійного ДР другого порядку, то розв’язок неоднорідного ДР (24) можна знайти квадратурою. Для відшукання частинного розв’язку неоднорідного ДР застосовують метод Лагранжа варіації довільних сталих. Метод знаходження частинного розв’язку проілюструємо на прикладі.

Знайдемо частинний розв’язок неоднорідного ДР

                

^● Однорідне ДР у² + у = 0 має загальний розв’язок

у = С₁cos x + C₂sin x.

Шукаємо розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

у = С₁(х) cos x + C₂(х) sin x.

Знайдемо спочатку першу похідну

Для спрощення обчислень візьмемо

                     (28)

Потім знайдемо другу похідну

.

Підставляючи похідні в початкові ДР, дістаємо рівняння

                   (29)

Із системи рівнянь (28), (29) знаходимо рівняння для похідних

а також функції С₁(х), С₂(х):

де С₃, С₄ — нові довільні сталі. Остаточно дістаємо розв’язок неодно-
рідного ДР:

Лінійні однорідні
диференціальні рівняння

Лінійні диференціальні рівняння
n-го порядку

Л. Ейлер розробив загальний метод розв’язування лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами

Загальний розв’язок ДР має вигляд

де частинні розв’язки у = у_k(k) (k = 1, 2, …, n) є лінійно незалежними розв’язками однорідного ДР (30). Розв’язки у = у_k(х) (k = 1, 2, …, n) будуть лінійно незалежні, якщо відповідний їм визначник Вронського відрізняється від нуля, тобто

Частинні розв’язки ДР (30) шукаємо у вигляді у = е ^рх.

Знаходимо похідні від функції у

у = е ^рх,  у¢ = ре ^рх, у² = р²е ^рх,  …,  у⁽ⁿ⁾ = р ⁿе ^рх.

і, підставляючи в ДР, приходимо до рівняння

(а₀рⁿ + a₁p^{n – 1} + a₂p^{n – 2} + … + a_n)e^px = 0.

Оскільки e^px ¹ 0, дістаємо рівняння

для визначення сталої р.

Означення. Рівняння (33) називається характеристичним рів­нянням. Корені рівняння (33) називаються характеристичними показниками.

Якщо всі корені р1, р2, …, рn рівняння (33) різні, то всі частинні розв’язки

ДР (30) лінійно незалежні. Визначник Вронського має вигляд

Останній визначник є визначником Вандермонда і при різних р₁, р₂, …, р_n відмінний від нуля.

 

 

Знайдемо загальний розв’язок ДР

             у¢¢¢ – 6у² + 11у¢ – 6у = 0.

^● Характеристичне рівняння р³ – 6р² + 11р – 6 = 0 має корені р₁ = 1, р₂ = 2, р₃ = 3. Отже, загальний розв’язок має вигляд

у = С₁е^х + С₂е^2х + С₃е^3х.

Визначник Вронського для частинних розв’язків

у₁ = е^х,  у₂ = е^2х,  у₃ = е^3х

має вигляд

Якщо коефіцієнти ДР (30) дійсні, то характеристичне рівняння (33) поряд з коренем р = a + іb має комплексно спряжений корінь р = a – іb.

У цьому разі ДР (30) має два комплексно спряжені розв’язки:

Із цих розв’язків можна дістати дійсні розв’язки:

Отже, ДР (30) має частинні дійсні розв’язки

найдемо розв’язок ДР

               у² + 2у¢ + 5у = 0.

^● Характеристичне рівняння р² + 2р + 5 = 0 має корені
р = – 1 ± 2i, a = –1, b = 2. ДР має загальний розв’язок

у = С₁е^–хсos2x + C₂e^–xsin2x.

 

 

Цей результат буде доведено далі.

Знайдемо загальний розв’язок ДР

             у¢¢¢ + 3у² + 3у¢ + у = 0.

^● Характеристичне рівняння:

р³ + 3р² + 3р + 1 = 0, (р + 1)³ = 0

має трикратний корінь р₀ = – 1. ДР має лінійно незалежні частинні розв’язки

у₁ = е^–х,  у₂ = хе^–х,  у₃ = х²е^–х.

Загальний розв’язок ДР визначається формулою

у = С₁е^–х + С₂хе^–х + С₃х²е^–х.

Знайдемо період коливань математичного маятника довжиною l (рис. 3.4).

Рис. 3.4

^● Коливання маятника описуються ДР

,

де m — маса маятника; l — його довжина; j — кут відхилення маятника від вертикалі. При малих коливаннях маятника sinj » j. Інтегруючи ДР, приходимо до лінійного ДР зі сталими коефіцієнтами:

Характеристичне рівняння р² + w² = 0 має корені р = ±іw, . ДР має загальний розв’язок

Цей розв’язок має період коливань

Система лінійних
диференціальних рівнянь

Лінійні ДР (30) завжди можна звести до системи ДР першого порядку виду:

Задача Коші полягає у знаходженні розв’язку системи рівнянь (34), що задовольняє умови

.

Якщо ввести матрицю коефіцієнтів А і вектор розв’язків Y

то систему рівнянь (34) можна записати у векторній формі

Загальний розв’язок цієї системи можна подати у вигляді

де матриця N(x) — так звана фундаментальна матриця розв’яз­ків, С — вектор довільних сталих. Кожний стовпець матриці N(x) є розв’язком системи рівнянь і detN(x) ¹ 0. Знайдемо розв’язок задачі Коші. При х = х₀ маємо рівність

При цьому отримаємо розв’язок системи (35) у формі Коші

Розглянемо ДР другого порядку

             у² + 4у¢ + 3у = 0.

^● Вводимо дві нові змінні у₁ = у, у₂ = у¢. Тоді ДР можна записати у вигляді системи рівнянь

або у вигляді системи (35):

Ця система рівнянь має фундаментальну матрицю розв’язків

яка задовольняє матричне ДР

Знаючи фундаментальну матрицю розв’язків N(x), можна знайти фундаментальну матрицю розв’язків, нормовану в точці х₀:

Розв’язок задачі Коші має вигляд

.

Зауваження. Розв’язок системи лінійних ДР (35) можна записати у вигляді

і матрицю е^Ах знайти як функцію від матриці.

Розв’язок системи рівнянь (34) можна шукати у вигляді

у_k = e^pxb_k  (k = 1, 2, …, n).

Для пошуку сталих b_k (k = 1, 2, …, n) отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

                      (36)

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має ненульовий розв’язок, якщо визначник системи рівнянь дорівнює нулю:

.              (37)

Це рівняння (37) називається характеристичним. Корені характеристичного рівняння є власними числами матриці А

Якщо рівняння (37) має різні корені р₁, р₂, …, р_n, то система рівнянь (34) має n різних розв’язків

і загальний розв’язок

Вектори

є власними векторами матриці А, що відповідає власним числам р₁, р₂, …, р_n.

Випадок, коли рівняння (37) має кратні корені, нами не розглядається через його складність.

Знайдемо розв’язок системи ДР

         

^● Шукаємо розв’язок у вигляді

і для сталих b₁, b₂ дістаємо систему рівнянь:

Характеристичне рівняння

має корені р₁ = – 3, р₂ = –1. Відповідні власні вектори матриці коефіцієнтів мають вигляд:

.

Остаточно знаходимо загальний розв’язок системи ДР

який можна записати також у вигляді

.

3.4.3. Дослідження стійкості руху

Однорідне лінійне ДР (30) має завжди нульовий розв’язок у(х) º 0. Розглянемо поведінку розв’язків ДР в околі нульового розв’язку.

Означення. Нульовий розв’язок рівняння (30) називається асимптотично стійким, якщо будь-який розв’язок рівняння (30) прямує до нуля при х ® +¥.

Теорема 3.3. Нульовий розв’язок рівняння (30) асимптотично стійкий у тому і тільки в тому випадку, коли всі характеристичні показники мають від’ємні дійсні числа.

Доведення. Розглянемо частинний розв’язок ДР (30)

Цей розв’язок прямує до нуля, коли ak < 0, тобто коли .

Загальний розв’язок ДР (30)

прямує до нуля при Repk < 0 (k = 1, 2, …, n).

Умова того, що всі корені характеристичного рівняння (33) мають від’ємні дійсні частини, дає критерій Гурвіца, який подаємо без доведення.

Теорема 3.4. Для того, щоб усі корені рівняння

мали від’ємні дійсні частини, необхідно і достатньо, щоб усі головні мінори визначника

були більші від нуля.

Розглянемо ДР другого порядку

             у² + а₁у¢ + а₂у = 0

з дійсними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння

р² + а₁р + а₂ = 0

має всі корені з від’ємною дійсною частиною, якщо головні мінори визначника

більші від нуля, тобто а₁ > 0, a₂ > 0. Ці умови необхідні і достатні для асимптотичної стійкості нульового розв’язку ДР другого порядку.

ДР третього порядку

          

має асимптотично стійкий нульовий розв’язок, якщо головні мінори визначника

додатні, тобто виконуються умови а₁ > 0, a₃ > 0, а₁а₂ – а₃ > 0.

Означення. Нульовий розв’язок у_k = 0 (k = 1, 2, …, n) системи ДР (34) називається асимптотично стійким, якщо будь-який розв’язок у = у(х) системи ДР (34) прямує до нуля при х ® +∞, тобто

Для пошуку умов асимптотичної стійкості застосовують критерії Гурвіца.

Розглянемо систему лінійних ДР

   

що містить параметр а. Знайдемо умови, у разі виконання яких нульовий розв’язок системи асимптотично стійкий.

^● Побудуємо характеристичне рівняння

Умови Гурвіца набирають вигляду: а + 1 > 0, – a > 0, тобто система має асимптотично стійкий розв’язок при а Î (– 1; 0).

Метод функцій Ляпунова. А. Н. Ляпунов створив методи дослідження стійкості розв’язків ДР, які розробляються і сьогодні. Одним і найважливіших методів дослідження стійкості лінійних і нелінійних ДР є метод функцій Ляпунова. Викладемо основні результати для системи лінійних ДР (34).

Розглянемо дві квадратичні форми

і рівняння Ляпунова

Теорема 3.5. Для того, щоб нульовий розв’язок системи лінійних ДР (34) був асимптотично стійким, необхідно і достатньо, щоб для деякої додатно визначеної квадратичної форми w(Y) існував розв’язок v(X) рівняння у вигляді додатно визначеної квадратичної форми.

Дослідимо на стійкість розв’язків системи ДР

       

^● Нехай . Шукаємо v(Y) у вигляді

.

Рівняння (38) набирає вигляду

Для коефіцієнтів с_ks знаходимо систему рівнянь

– с₁₁ – с₁₂ = – 1,  с₁₁ – 2с₁₂ – с₂₂ = 0,  с₁₂ – с₂₂ = – 1

і її розв’язок с₁₁ = 1, с₁₂ = 0, с₂₂ = 1.

Оскільки квадратична форма  є додатно визначеною, то нульовий розв’язок системи ДР є асимптотично стійким. Рівняння (38) можна записати у вигляді

,

звідки знаходимо оцінку

Дослідимо стійкість розв’язків ДР

  у² + ру¢ + qy = 0,  p = const,  q = const.

^● Запишемо ДР у вигляді системи

Беручи , дістаємо рівняння (38)

.

Зрівнюємо коефіцієнти квадратичних форм:

і знаходимо розв’язок

Умови додатної визначеності квадратичної форми

приводять до нерівностей

з яких випливають нерівності p > 0, q > 0.

Ці умови необхідні і достатні для асимптотичної стійкості розв’язків розглядуваного ДР.

Рівняння Ляпунова (38) можна записати у вигляді матричного рівняння

СА + А^ТС = – В.

Із цього рівняння за заданою симетричною матрицею В шукаємо симетричну матрицю С. Тут А матриця коефіцієнтів системи ДР (35)

.

Поняття стійкості можна застосувати й до економічних і соціальних наук. Про те, що стійкість суспільства не завжди враховується, свідчать кризи, девальвація валюти, революції. Керівництво країни стабілізує суспільне становище за допомогою збіль­шення внутрішніх військ, поліції, міліції і т. п. Наскільки більша частка людей, які зберігають правлячий режим, настільки він менш стійкий. Ідеальні суспільства, де працюють за бажанням, а споживають за потребами, не стійкі і не можуть існувати.

Найбільш стійкими є тоталітарні режими, де більшість валового доходу витрачається на зберігання існуючого ладу. При цьому сповільнюється розвиток науки, виробництва. Демократичні країни, де витрати на зберігання існуючого ладу менші, швидше розвиваються і випереджають країни з тоталітарним правлінням.

Розв’язок неоднорідного лінійного
диференціального рівняння
зі спеціальною правою частиною

Диференціальний оператор

Введемо оператор диференціювання . Записуватимемо похідні за допомогою оператора D:

, , …,

Однорідне лінійне ДР зі сталими коефіцієнтами

можна подати у вигляді

Якщо ввести позначення для диференціального оператора

то рівняння (39) можна записати в операторній формі

Теорема 3.6. Диференціальний оператор L(D) задовольняє властивість

                       (41)

Доведення. Розглянемо частинний випадок

тобто . Аналогічно отримаємо рівність

Домножуючи ці рівності на коефіцієнти а_n–k і додаючи, отримаємо рівність (41).

Теорема 3.7. Якщо характеристичне рівняння

має m-кратний корінь р = р₀, то ДР

має частинні розв’язки

Доведення. Шукаємо розв’язок ДР у виді . Згідно з
рівністю (41) дістаємо рівняння

або за формулою Тейлора

Оскільки р₀ — m-кратний корінь, то

і ДР набирає вигляду:

Це рівняння має очевидний розв’язок

z₁ = 1,  z₂ = x, …, z_m = x^m–1,

що й доводить справедливість теореми.

Розв’язок неоднорідного
диференціального рівняння
з поліноміальною правою частиною

Нехай неоднорідне лінійне ДР має вигляд

L(D)y = Q_k(x),                          (42)

де Q_k(x) — многочлен k-го степеня відносно х:

Теорема 3.8. Якщо в лінійному ДР

коефіцієнт а_n ¹ 0, то ДР має частинний розв’язок

Доведення. Підставивши у = R_k(x) у ДР, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для коефіцієнтів с₀, с₁, …, с_k:

Ця система рівнянь завжди розв’язується, якщо а₀ ¹ 0.

Знайдемо частинний розв’язок ДР

                

^● Шукаємо частинний розв’язок у вигляді многочлена третього степеня

Підставляючи у у ДР і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, знаходимо систему рівнянь

звідки дістаємо частинний розв’язок

Теорема 3.9. Якщо в лінійному ДР коефіцієнти при  обертаються в нуль, тобто маємо ДР

частинний розв’язок може бути знайдений у вигляді

Доведення аналогічне доведенню теореми 3.8.

Знайти частинний розв’язок ДР

            

^● Частинний розв’язок шукаємо у вигляді

Підставляючи у в ДР і визначаючи коефіцієнти, знаходимо частинний розв’язок

Щоб спростити знаходження частинного поліноміального розв’язку, можна розкласти обернений оператор за степенями D.

Знайдемо розв’язок ДР

 

^● Запишемо розв’язок у вигляді

і розкладемо диференціальний оператор  за степенями D. Маємо частинний розв’язок

Тут D^–1 — оператор диференціювання. Зокрема, при  дістаємо частинний розв’язок

Однорідне ДР має частинний розв’язок у₁ = 1, у₂ = х, у₃ = е^–х. Ці розв’язки з довільними множниками завжди можна додавати до частинного розв’язку неоднорідного ДР.

Приклади застосування диференціальних рівнянь для розв’язку задач з фізики, хімії, біології і медицини.

 

Фізика.

 

Задача 1. Закон радіоактивного розпаду атомів.

Експериментально визначено, що активність (число розпадів за одиницю часу) пропорційна числу ядер даного радіоактивного ізотопу, тобто:

,

(4.33)

де N – число атомів, що не розпалися на даний момент часу;

t – час; – постійна розпаду.

Знайти закон радіоактивного розпаду, якщо при t=0, число нерозпавшихся атомів, що не розпалися на даний момент часу N=N₀.

 

Розділимо змінні в рівнянні (4.33) і проінтегруємо ліву частину по N, а праву – по t:

; ; ; ; .

З умови t=0 і N=N₀, знаходимо С=N₀.

.

(4.34)

 

Формула (4.34) визначає основний закон радіоактивного розпаду.

 

Задача 2. Виведення формули Ціолковського.

Розглянемо одновимірний рух ракети в пустоті при відсутності зовнішніх сил. Припустимо, що витікання продуктів згоряння палива відбувається зі сталою швидкістю (V=const) в бік, строго протилежний рухові ракети (тобто , де – швидкість ракети (масою М(t)). При таких умовах рух ракети описується рівнянням Мещерського, яке набуває скалярної форми:

.

(4.35)

          

Звідси

.

(4.36)

Нехай задано закон зміни маси ракети

,

де f(t) – відома безрозмірна функція часу, що задовольняє умову f(0)=1.

Інтегруючи (4.36), дістаємо:

,

(4.37)

тут – початкова швидкість.

Формула (4.37) вперше одержана Ціолковським і названа його ім’ям.

Задача 3. Розв’язок рівняння Шредінгера для вільної частинки в одномірній нескінченно глибокій потенціальній ямі.

Розглянемо рух частинки між двома стінками з координатами х=0 і х=а, які подамо математично за допомогою потенціала: u=0 при ,  при х>а і х<0 (рис.4.1).

У цьому випадку рівняння Шредінгері матиме вигляд:

,   (4.38)

де – хвильова функція;

h – стала Планка;

Е –повна енергія;

m – маса частинки. 

Позначивши _,отримаємо:

Рівняння (4.39) є лінійним однорідним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Характеристичне рівняння: ,

звідки .

Загальний     розв’язок рівняння (4.39), згідно формули (4.32) буде мати вигляд:

,

(4.40)

де с₁ і с₂ – довільні сталі.

Щоб отримати частковий розв’язок рівняння (4.39) скористаємось граничними умовами: .

Перша умова дає:

,

звідки с₁=0.

Рівняння (4.40) матиме вигляд:

.

(4.41)

Тепер друга умова дає:

,

що можливо лише, якщо

Отже, розв’язки рівняння (4.38) будуть мати фізичний зміст не при всіх значеннях енергії, а лише при значеннях, що задовольняють умову:

,

звідки дозволені енергетичні рівні

.

Підставивши в рівняння (4.41) значення , отримаємо:

.

Для визначення с₂ скористаємось умовою нормування

,

або

.

Звідки

.

Отже розв’язок рівняння Шредінгера матиме вигляд:

, n=1,2,3…

(4.42)

 

 

  Хімія.

 

Задача 4. Нехай в апараті є 100 л розчину, що містить 5 г розчиненої солі. На вхід в апарат поступає вода зі швидкістю 30 л/хв. Водночас з цього апарату з тією ж швидкістю витікає розчин. Ефективне перемішування в апараті забезпечує рівномірну концентрацію солі в апараті. Скільки солі буде в апараті на момент часу t?

Приріст солі dm визначається як різниця між надходженням солі в апарат і її витратою. За умовою задачі надходження солі дорівнює нулю. Витрата солі визначається добутком швидкості витікання розчину на його концентрацію і на час витікання.

Отже,

.

(4.43)

В диференціальному рівнянні (4.43) розділимо змінні і проінтегруємо його:

.

З початкової умови m=5, при t=0 знаходимо константу інтегрування с=5. Отже,

.

(4.44)

 

Задача 5. Встановити закон хімічної реакції другого порядку.

Для хімічних реакцій другого порядку швидкість реакції пропорційна концентрації кожної з двох реагуючих речовин:

(4.45)

Тут х – концентрація одного із продуктів реакції, що протікає без зміни об’єму маси, що реагує; k – постійна швидкості реакції; с₁,с₂ – концентрації двох речовин, що реагують між собою.

Вважаючи а і в за початкові кількості двох речовин, що реагують, маємо:

Тоді рівняння (4.45) набуде вигляду:

Відокремлюючи змінні, отримаємо:

або

(4.46)

Інтегруючи (4.46), отримаємо:

(4.47)

З початкових умов х=0 при t=0,знаходимо:

(4.48)

З рівнянь (4.47) і (4.48) отримаємо:

.

Звідки

.

(4.49)

 

 

Задача 6. Встановити тривалість хімічної реакції третього порядку.

Для хімічних реакцій третього порядку швидкість реакції пропорційна концентрації кожної з трьох реагуючих речовин:

(4.50)

Вважаючи а, в і с за початкові кількості трьох речовин, що реагують між собою, матимемо:

Отже,

(4.51)

Відокремлюючи змінні, отримаємо:

(4.52)

Розглядаючи ліву частину (4.52) як суму трьох дробів, можна провести інтегрування. Наступне визначення постійної інтегрування з умови х=0 при t=0 дає таку залежність:

(4.53)

 

 

Біологія і медицина.

 

Задача 7. В результаті експериментальних досліджень залежності швидкості росту культур мікробіологічних популяцій встановлено, що швидкість зміни числа мікроорганізмів в режимі росту лінійно зв’язана з їх кількістю в системі. Знайти залежність зміни кількості мікроорганізмів від часу.

Позначимо кількість мікроорганізмів в даний момент часу через N. Тоді:

(4.54)

де – коефіцієнт пропорційності, що носить назву питомої швидкості росту:

В зівнянні (4.54) розділимо змінні і проінтегруємо його:

З умови, що при t=0, N=N₀, отримаємо с=N₀. Отже:

(4.55)

 

Задача 8. Лікарську речовину за допомогою крапельниці вводять у кров зі сталою швидкістю V. Швидкість виведення лікарської речовини вважаємо пропорційною першому ступеню кількості цієї речовини m в крові. Знайти границю до якої прямує з часом () кількість лікарської речовини в крові.

       Нехай m(t) – маса лікарської речовини в крові в момент часу t. Початкова маса m(t=0)=m_o. Тоді:

(4.56)

Де k – константа, що характеризує виведення лікарської речовини з крові.

Частинним розв’язком (4.56) є функція:

(4.57)

Аналізуючи (4.57), бачимо, що з часом кількість лікарської речовини в крові наближається до стаціонарного рівня:

(4.58)

 

Задача 9. Нехай у початковий момент часу t=0 число носіїв інфекції у певній популяції дорівнює а, число здорових осіб, сприйнятливих до інфекції – в. Зменшення здорових осіб з часом пропорційне добутку числа носіїв інфекції на число осіб, сприйнятливих до інфекції та проміжку часу. Знайти число здорових осіб на момент часу t.

       За час t число носіїв інфекції становитиме х(t), а число здорових осіб y(t).

За умовою задачі зменшення числа здорових осіб за час  дорівнює:

(4.59)

де  – коефіцієнт пропорційності.

Якщо не брати до уваги загальну зміну чисельності популяції, то можна записати:

(4.60)

Беручи до уваги (4.59), отримаємо таке диференціальне рівняння розвитку епідемії:

(4.61)

Частинним розв’язком (4.61) є функція:

 

 

4.9. Комп’ютерне інтегрування диференціальних рівнянь

 

У курсі  теорії диференціальних рівнянь переважно розглядаються такі диференціальні рівняння, розв’язки яких можна виразити явними математичними формулами, тобто представити в явному вигляді. Однак рівняння, що зустрічаються на практиці, переважно складніші, щоб їх можна було так розв’язати. Розглянемо, наприклад, таке рівняння:

.

Не існує формули, яка б виражала  через  при , хоча для  є така формула. З цього зовсім не випливає, що рівняння не має розв’язку, просто не існує розв’язку в явному вигляді. Однак використоуючи комп’ютер, можна знайти наближений розв’язок. Ми отримаємо чисельний розв”язок, а дуже часто нічого іншого і не вимагається.

 

4.9.1. Рівняння Ріккаті

 

Основна початкова задача для рівняння Ріккаті в скалярному випадку має вигляд:

 

.

 

Здійснимо пошук чисельного розв’язку такої задачі за допомогою програми-аплета. Для цього запустимо Web-сторінку програми побудови графіків траєкторій диференціальних рівнянь Differential Equations Graphs.

Далі перейдемо на посилання Рівняння Ріккаті. Перед нами з’являється вікно із графіком розв’язку рівняння Ріккаті.

Рис. 4.1. Web-сторінка програми побудови траєкторій диференціальних рівнянь Differential Equations Graphs

Рис. 4.2. Вікно аплету із чисельним розв’язком рівняння Ріккаті

 

Налаштування його для розв’язування задачі на конкретному часовому інтервалі здійснюється за допомогою текстового файлу Web-сторінки рівняння Ріккаті. Для розв’язування нашої конкретної задачі воно повинно мати вигляд:

 

<html>

<head>

<title>DelaySystemSolution</title>

</head>

<body>

<hr>

<applet

    code=GraphConstruction.class

    id=GraphConstruction

    width=700

    height=400 >

<param name=x0 value=0>

<param name=x1 value=20>

<param name=Scale value=30>

<param name=Legend value=true>

<param name=GraphWidth value=300>

<param name=GraphHeight value=300>

<param name=GraphCount value=1>

<param name=PunctureLine value=true>

<param name=Delay value=.5>

<param name=Hmax value=.2>

 

</applet>

<hr>

</body>

</html>

 

Тут х0 та х1 – початковий та кінцевий моменти часу.

 

Рівняння з раціональними правими частини

          Розглянемо розв’язок початкової задачі для рівнянь з раціональними правими частинами:

 

1)

2)

3) .

 

Їх розв’язки можна знайти на посиланнях Рівняння з раціональною правою частиною 1, Рівняння з раціональною правою частиною 2, Рівняння з раціональною правою частиною 3 відповідно. Налаштування меж інтегрування здійснюється аналогічно до попереднього прикладу.

Рис. 4.3 Чисельний розв’язок першого рівняння з раціональною правою частиною

 

Рис. 4.4 Графічний розв’язок 2-го рівняння з раціональною правою частиною

 

Рис. 4.5 Розв’язок 3-го рівняння з раціональною правою частиною

 

4.9.3. Диференціальне рівняння з імпульсними діями

 

Означимо  таким чином

Знайдемо розв’язок задачі

.

Розв’язок задачі може бути знайдений за посиланням Диференціальне рівняння з імпульсними діями.

Рис. 6 Графічний портрет траєкторії рівняння з імпульсними діями

 

4.9.4. Хімічні реакції

Закони хімічної кінетики породжують диференціальні рівняння, які для реакцій з участю двох або більше молекул стають нелінійними і мають цікаві властивості. Деякі з цих рівнянь мають періодичні розв”язки (наприклад, у випадку реакції Белоусова-Жаботинського), вони знаходять також важливі застосування для пояснення біологічних явищ [1].

Розглянемо детально модель Лефевера та Ніколіса [2], так званий “брюсселятор”: припустимо, що шість речовин, , приймають участь в таких реакціях:

Якщо позначити через  концентрації речовин  як функції часу , то реакції, згідно до закону діючих мас, описуються диференціальними рівняннями:

Тепер спростимо цю систему: виключимо з розгляду рівняння для  та , оскільки вони не впливають на решта; припустимо, що  та  підтримуються сталими (додатніми) і візьмемо усі швидкості реакцій  рівними одиниці. Далі введемо позначення:

і в результаті отримуємо систему

При  існує граничний цикл, який, як видно з чисельних підрахунків, є єдиним. Коли  наближається до , то спостерігається цікаве явище (біфуркація Хопфа). Воно полягає в тому, що граничний цикл стає все меншим і меншим, і ,накінець, зникає в критичну точку.

Вищенаведені міркування знаходять своє графічне підтвердження у програмі Differential Equations Graphs.

Рис. 7 Періодичний розв’язок для брюсселятора у випадку А=1, В=3

 

Рис. 8 Граничний цикл у випадку А=1, В=3

 

Рис. 9. Біфуркація Хопфа у випадку А=1, В=2

 

Рис. 10. Біфуркація Хопфа у випадку А=1, В=2.