СИНЕРГЕТИЧНІ ПРИНЦИПИ БІОФІЗИКИ

СИНЕРГЕТИЧНІ ПРИНЦИПИ БІОФІЗИКИ

 

“Віки і тисячоліття пройшли,

доки людська думка спромоглася

відзначити риси єдиного зв ‘язаного

 механізму у картині природи,

що здавалася хаотичною”.

В.І. Вернадський

 

Зародження живої матерії в процесі еволюції довколишнього світу виникнення впорядкованих структур в неживій природі та в складних біологічних системах – явища, які продовжують залишатися одними з найдивовижніших для розуміння в межах матеріалістичної науки.

Класичні запитання сучасного природознавства і науки в цілому можуть бути сформульовані так: чому, з одного боку, спостерігається встановлення рівноваги (теплової, механічної тощо), а з другого боку, спостерігається ускладнення об’єктів у процесі біологічної еволюції, тобто працює принцип Дарвіна? Чому знання точних фізичних і хімічних законів, таких як закони Ньютона, закон Кулона та інших, не дає змоги часто описати найпростіші властивості живих систем? Чи існує зв’язок між основними законами, за допомогою яких можна дослідити природні та суспільні явища?

За умови значної диференціації науки аж до самого останнього часу відповіді на ці запитання відносилися скоріше до компетенції філософії. Кожний розділ природознавства та суспільних наук використовував і використовує свої методи дослідження і підходи, які, зазвичай, не мають спільних точок зіткнення. Водночас існують універсальні принципи природи і відповідні методи дослідження, які можна застосувати для будь-яких систем. Це передусім методи термодинаміки та синергетики.

 

 ВІДКРИТІ БІОЛОГІЧНІ СИСТЕМИ, ЗАКОНИ ТЕРМОДИНАМІКИ І ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПОТЕНЦІАЛИ

 

Найважливіша властивість живих організмів полягає в їх здатності перетворювати і запасати енергію в різних формах. Саме цим визначається значення термодинамічного підходу для вивчення спільних закономірностей перетворення енергії, які є універсальними і загальними для явищ як живої, так і неживої природи. Інша специфіка біологічних об’єктів полягає в тому, що вони не є ізольованими від зовнішнього середовища. Через контакти із зовнішнім середовищем живі організми обмінюються з оточенням речовиною, енергією та інформацією, тобто є відкритими системами.

Дослідники, вивчаючи складні процеси в живих системах, створюють певні моделі цих процесів шляхом аналізу медико-біологічних даних. При цьому, зокрема, використовується феноменологічний, або термодинамічний підхід. Закони термодинаміки відкритих систем представляють саме ту універсальну основу, на якій мають будуватися і вдосконалюватися подібні моделі. Нагадаємо основні закони термодинаміки.

Перший закон (перше начало) термодинаміки: теплота, що підводиться до системи, йде на зміну її внутрішньої енергії та на роботу, яку здійснює система над зовнішніми тілами.

Математичний запис 1-го начала термодинаміки виглядає так:

 

δQ = dU + δA                                   (1)

 

де враховано, що внутрішня енергія U є повним диференціалом відповідних термодинамічних змінних, тоді як теплота Q і робота А не є такими.

 

Емпірична основа для 1-го начала термодинаміки була створена насамперед дослідженнями англійського фізика Джоуля, який в 1840-1845 pp. показав, що потрібна одна і та сама механічна робота для нагрівання певної кількості води.

Цікаво відзначити той значний внесок, який зробили медики у встановлення цього одного з найважливіших законів природи. Так, вважається, що честь відкриття 1-го закону (начала) термодинаміки, який є по суті законом збереження енергії, належить разом з фізиками Джоулем і Гельмгольцем ще й лікарю Майєру.

Другий закон (друге начало) термодинаміки: в ізольованій системі неможливий перехід теплоти від менш нагрітого тіла до більш нагрітого.

Це формулювання 2-го закону, термодинаміки належить німецькому фізику Клаузіусу, який в 1865 р. ввів у науку фундаментальне поняття ентропії. Ентропія S – це така функція стану, що характеризує напрямок самодовільного процесу в ізольованій системи. Ентропія ізольованої системи зростає з наближенням до рівноважного стану. У рівновазі ентропія досягає свого максимального значення.

Важлива роль, яка відводиться в термодинаміці ентропії, пов’язана принаймні з двома причинами:

1) зміна ентропії δS характеризує теплоту δQ, яку одержала або віддала система при взаємодії з оточенням: δS >δQ/T (знак “=” відповідає зворотним процесам, тоді як знак “>” – незворотним, реальним процесам в природі);

2) ентропія характеризує ступінь впорядкованості (або невпо­рядкованості) системи. Згідно з принципом Больцмана ентропія пов’язана з термодинамічною ймовірністю W стану системи за допомогою такого фундаментального співвідношення:

 

S = klnW,                       (2)

 

де k – стала Больцмана. Не входячи в теоретичні тонкощі, можна стверджувати, що термодинамічна ймовірність W дорівнює числу мікростанів, за допомогою яких реалізується даний емпіричний стан системи при заданій енергії, об’ємі та кількості частинок.

 

Термодинамічні потенціали. Термодинамічний стан будь-якої системи повністю визначається її термодинамічними потенціалами. Для кожного повного набору незалежних термодинамічних параметрів існує певний термодинамічний потенціал, за допомогою якого можуть бути обчислені будь-які макроскопічні характеристики системи. Наведемо визначення і основні властивості чотирьох термодинамічних потенціалів – внутрішньої енергії, ентальпії, вільної енергії Гіббса І вільної енергії Гельмгольця.

Внутрішня енергія U. Перші два закони (начала) термо­динаміки дають спільно такий вираз для зміни внутрішньої енергії відкритої однокомпонентної системи:

dU = TdS-PdV+ µdN,                       (3)

З цього співвідношення випливає, що внутрішня енергія є природним термодинамічним потенціалом при обранні в якості набору незалежних змінних ентропії S, об’єму V і кількості часток N. Диференціювання внутрішньої енергії дає такі параметри, як температура Т, тиск Р і хімічний потенціал µ, що є спряженими в термодинамічному сенсі обраному набору незалежних змінних:

T=U’v,N;  P = -U’_S,N;  µ=U’_S,V.

Очевидно, що зміна внутрішньої енергії при адіабатичному процесі (S = const) визначається роботою діючих на систему зовнішніх сил, тоді як в умовах постійності об’єму V ця зміна визначається теплотою, що передається системі.

Ентальпія (тепловміст) Н. Ентальпія пов’язана з внутрішньою енергією таким співвідношенням:

H=U + PV,

а її повний диференціал

dH = TdS + VdP + µdN.                                      (4)

З цього виразу стає зрозуміло, що ентальпія, як термодинамічний потенціал, має бути використана для набору незалежних змінних S, Р, N. Для iзобаричного процесу зміна ентальпії визначається теплотою, що поглинає (віддає) система. Диференціювання ентальпії дає такі параметри:

T = H’_P,N ; V=H’_S,N ; µ=H’_S,P.

Вільна енергія Гіббса G. Вільна енергія Гіббса пов’язана такими співвідношеннями з внутрішньою енергією і ентальпією:

G=H-TS = U + PV-TS,

а її повний диференціал

dG = – SdT + VdP + µdN.      (5)

Видно, що вільній енергії Гіббса відповідає набір незалежних змінних Т, Р, N. Спряжені в термодинамічному значенні параметри виходять як такі похідні від вільної енергії Гіббса:

S = -G’p_P,N , V= G’_T,N, µ= G’_T,P.

 

Останнє співвідношення показує, що хімічний потенціал µ є вільна енергія Гіббса в розрахунку на один моль при сталих температурі та тиску. У зв’язку з проведеним у попередньому п’ятому розділі розглядом мембранних електричних потенціалів клітин зауважимо, що в присутності електричного поля та із врахуванням розчиненої речовини хімічний потенціал (в цьому випадку його називають електрохімічним потенціалом) має такий вигляд:

µ = µ₀+ kTlnС + zeφ (в розрахунку на одну молекулу);

µ = µ₀+ RTlnС + zFφ (в розрахунку на один моль),

де z – валентність; е – елементарний заряд; F – число Фарадея; µ₀– хімічний потенціал розчинника; С – концентрація розчиненої речовини (наприклад, певного іона); φ – потенціал електричного поля.

Вільна енергія Гельмгольця F. Для цього термодинамічного потенціалу маємо

F=U-TS = H-PV-TS.

Відповідно

dF = -SdT + PdV+ µdN                             (6)

Звідси випливає, що для вільної енергії Гельмгольця природним набором незалежних змінних є Т, V, N.

Необхідно відзначити також, що в природних умовах значно легше реалізувати вимогу постійності температури Т, ніж ентропії S. Тому два останніх термодинамічних потенціали – вільні енергії Гіббса G І Гельмгольця F – знаходять більш широке застосування для опису медико-біологічних систем, оскільки для них ізотермічно-ізобарні або ізотермічно-ізохорні умови є найбільш природними. З наближенням до положення рівноваги вільні енергії Гіббса G і Гельмгольця F набувають своїх мінімальних значень.

 

ОСНОВИ ТЕРМОДИНАМІКИ НЕЗВОРОТНИХ ПРОЦЕСІВ

Дослідження біофізичних процесів, що відбуваються в реальних системах, методами рівноважної термодинаміки часто є неадекватним наближенням. У загальному випадку фізичні і біофізичні об’єкти не знаходяться в положенні рівноваги. В них з кінцевою швидкістю протікають незворотні процеси, які прагнуть повернути систему в стан рівноваги. Добре відомими прикладами можуть бути процеси теплопровідності з характерним часом встановлення рівноваги або, як Його ще називають, часом релаксації τ ≈L²/χ (L – лінійний розмір сис­теми, χ =λ/ρС_р – коефіцієнт температуропровідності, λ – кое­фіцієнт теплопровідності, ρ – густина, С_р – ізобарна тепло­ємність); процеси дифузії з часом релаксації τ ≈L²/D (D – кое­фіцієнт дифузії); процеси внутрішнього тертя з часом релаксації τ ≈L²/ν (ν = η/ρ – кінематична в’язкість, η – динамічна в’язкість) та iн.

Термодинаміка незворотних процесів, що є феноменоло­гічною основою для вивчення незворотних процесів у різних системах, в тому числі і біофізичних, спирається на такі положення та поняття: лінійний закон, принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів, закони збереження, виробництво ентропії, спряження потоків, стаціонарний стан, теорема Пригожина та ін.

 Лінійний закон

Лінійний закон становить узагальнення відомих емпіричних фактів, що формулюються у вигляді таких законів:

а) закона Фіка, що пов’язує потік частинок J_n , тобто кількість частинок, які за одиницю часу перетинають одиницю площі в перпендикулярному напрямку, і різницю (градієнт) концентрації ∆c за допомогою співвідношення J_n = – D∆c, де D – коефіцієнт дифузії;

б) закон Фур’є, що пов’язує потік тепла J_Q і різницю (градієнт) температури ∆Т за допомогою співвідношення J_Q = – λ ∆Т, де λ – коефіцієнт теплопровідності;

в) закон Ома, що пов’язує потік заряду (густину електричного струму) J_φ і градієнт потенціалу електричного поля ∆φ за допомогою співвідношення J_φ = -σ∆φ, де σ – коефіцієнт електропровідності.

Нагадаємо, що градієнт ∆A певної скалярної величини А є вектор, який за модулем дорівнює максимальному значенню похідної dA/dx, а за напрямком співпадає з напрямком зростання величини А.

Процеси переносу, в яких градієнт даної властивості викликає потік цієї ж фізичної властивості, називаються прямими процесами переносу. Очевидно, що перераховані вище приклади відносяться саме до такого класу процесів переносу. Окрім прямих, існують непрямі (перехресні) процеси переносу, в яких градієнт однієї фізичної властивості викликає потік іншої фізичної властивості.

Розглянемо приклад так званих термодифузійних явищ. Нехай у деякому середовищі спостерігаються два градієнти: концентрації с і температури Т. Тоді в такому середовищі виникають потоки частинок і тепла, причому

Процес виникнення потоку частинок під дією градієнта температури називається ефектом Соре (другий доданок у рівнянні для J_n). Зворотний процес, пов’язаний з виникненням потоку тепла під дією градієнта концентрації, називається ефектом Дюфура. Ще одним прикладом непрямого процесу переносу є термоелектропровідність – виникнення потоку електричного заряду під дією градієнта температури.

Для узагальнення наведених вище емпіричних законів розглянемо:

а) термодинамічні сили

що пов’язані з градієнтами різних фізичних величин (концентра­ції, температури, потенціалу електричного поля, швидкості тощо);

б) потоки

кількості частинок, тепла, електричного заряду, імпульсу тощо.

Лінійний закон термодинаміки незворотних процесів стверджує: кожний потік становить лілійну функцію від термодинамічних сил, тобто:

                                (7)

де L_ik – так звані кінетичні коефіцієнти; N – загальн  кількість термодинамічних сил в системі. Зауважимо, що лінійний закон справедливий при порівняно невеликих відхиленнях системи від положення рівноваги, коли градієнти фізичних властивостей (термодинамічні сили) є малими. При великих відхиленнях від положення рівноваги необхідно враховувати старші по Х_k доданки – квадратичні, кубічні тощо. Природно, що така теорія ускладнюється. Тут розглядається лише лінійний варіант термодинамічної теорії незворотних процесів.

Відзначимо ще один, здавалося б очевидний факт, що носить назву принципу Кюрі: лінійний закон повинен зв’язувати потоки і термодинамічні сили однієї і тієї самої скалярної, векторної (в загальному випадку – тензорної) розмірності. Іншими словами, в кожне рівняння лінійного закону повинні входити або скалярні величини, такі як тиск (ці величини називаються ще тензорами нульового рангу) або векторні величини, такі як градієнти концентрації, температури, потенціалу електричного поля, а також потоки частинок, тепла, електричного заряду (ці величини називаються ще тензорами першого рангу) або так звані тензори другого рангу, якими є потік імпульсу та градієнт швидкості. Принцип Кюрі дає змогу встановити достатньо нетривіальні факти, згідно з якими, наприклад, потік частинок, що є векторною величиною, не може викликатися просторовими похідними від швидкості, тобто тензорними величинами 2-го рангу та ін.

Принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів і виробництво ентропії

Формулювання принципу симетрії кінетичних коефіцієн­тів (теорема Онсагера) при певному виборі термодинамічних сил і потоків матриця кінетичних коефіцієнтів є симет­ричною, тобто кінетичні коефіцієнти в перехресних явищах є рівними.

Принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів записується за допомогою такої простої математичної формули:

                                               (8)

Не зупиняючись детально на доведенні теореми Онсагера, конкретизуємо слова “при певному виборі сил і потоків”. Для цього розглянемо спочатку ентропію нерівноважного стану, вважаючи, що система знаходиться все ж таки досить близько від своєї рівноваги.

Позначимо через <Р_k>₀ = Р_k0 значення параметрів (напри­клад, густини частинок, енергії тощо), від яких залежить ентропія у положенні рівноваги, а через α_k= P_k – <P_k>_о відхилення параметрів від своїх рівноважних значень. Розкладемо ентропію нерівноважного стану в такий ряд по відхиленнях так:

 

Враховуючи близькість системи до рівноважного стану, подальшими членами ряду будемо нехтувати. Оскільки похідні від ентропії по параметрах Р_k розраховуються в положенні рівноваги, то через екстремальність ентропії в рівновазі маємо

 

Звідси для відхилення ентропії від свого максимального значення отримуємо такий вираз, що містить квадрати відхилень α_i, параметрів від положення рівноваги:

                        (9)

де через позначені другі похідні від ентропії S по параметрах α_i, що обчислені в стані рівноваги.

Потоки J_i і термодинамічні сили X_i; обираються в такому вигляді:

                                  (10)

Тоді, враховуючи вираз для ∆S з формули (8) і симетрію коефіцієнтів g_ik = g_ki, для величин термодинамічних сил X_i отримуємо

Обґрунтуванням для вибору сил і потоків у відповідності з формулами (10) є проста симетрична форма для величини

                                         (11)

яка відіграє важливу роль у термодинаміці незворотних процесів. Ця величина називається швидкістю виникнення ентропії, або виробництвoм ентропії. Зауважимо, що поки ми не розрізняли ентропію (виробництво ентропії”) для всієї системи та для одиниці об’єму. Очевидно, так можна зробити для просторово однорідних систем. У цьому випадку фізичний зміст величини σ полягає в тому, що вона визначає зміну ентропії всього об’єму системи за одиницю часу. Для просторово неоднорідних систем (наприклад, цитоплазми поблизу мембран або біологічних рідин у зовнішньому полі) треба вводити уявлення про об’ємну густину виробництва ентропії, яка характеризує зміну ентропії за одиницю часу в одиниці об’єму середовища.

Обчислимо виробництво ентропії з врахуванням спів­відношень (9) та (11)

З урахуванням зробленого в (10) вибору сил і потоків виробництво ентропії становить суму доданків, кожний з яких є добутком (i-того потоку на i-ту термодинамічну силу:

                              (12)

Таким чином, наслідком теореми Онсагера є той факт, що з N² кінетичних коефіцієнтів є незалежними лише N(N +1)/2. Зауважимо також, що співвідношення L_ki =L_ik виконується у разі, коли параметри α_i, є парними функціями швидкостей (енергія, концентрація тощо). Нехай існують параметри (позначимо їх через β_i), які є непарними функціями швидкостей (наприклад, імпульс). Тоді принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів (теорему Онсагера) для систем, що знаходяться в магнітному полі або обертаються, слід узагальнити таким чином:

де В – індукція магнітного поля; ω– кутова швидкість.

 

Спряження потоків у біологічних системах

Для багатьох життєво важливих процесів, що проходять у відкритих біологічних системах, характерним є явище, яке називається спряженням потоків. Розглянемо суть цього явища, використовуючи основні положення термодинаміки незворотних процесів для відкритих біологічних систем, в яких крім дисипативних процесів дифузії, теплопровідності, в’язкості відбуваються також і хімічні (біохімічні) реакції.

Спочатку зупинимося коротко на описанні хімічних реакцій, що використовується в термодинаміці незворотних процесів. Для відкритих багатокомпонентних систем термодинамічні потенціали містять, як зазначалося в розділі 6.1, доданок, де сума береться по кількості компонентів i=1,…,n. У хімічно (біохімічно) реагуючих системах виявляється корисним введення деякого внутрішнього параметра (узагальненої координати) який називається степенем повноти, або числом обертів (пробігів) реакції. Зміна цього параметра є інтегральною характеристикою реакції, пов’язаної зі зміною кількості молей dN_i реагуючих компонентів таким співвідношенням:

                         (13)

де ν_i; – стехіометричні коефіцієнти реакції, тобто числові коефіцієнти пеpед хімічними символами речовин у рівнянні реакції. Очевидно, що зміна кількості молей всіх речовин в хімічно реагуючій системі повністю визначається зміною числа молей одного певного компоненту N_i , що й дає можливість ввести величину ξ. Зауважимо, що рівняння, яке позв’язує ξ, Т i Р (або V), є рівнянням стану системи з хімічними (біохімічними) реакціями. Тоді маємо

                           (14)

де величинаназивається спорідненістю або афінністю хімічної (біохімічної) реакції. Ця величина була введена у хімічну термодинаміку де Донде і характеризує близькість системи до хімічної рівноваги. Так, для ізобарично- ізотермічної системи маємо:

а)       у рівновазі А = 0 і відповідно зміна вільної енергії Гіббса ∆G = 0;

б)      при ∆G < 0, А > 0 – реакція можлива;

в)       при ∆G > 0, А < 0 – реакція виявляється неможливою.

Хімічні (біохімічні) реакції, поряд з розглянутими раніше незворотними процесами дифузії, теплопровідності, в’язкості, також дають внесок у виробництво ентропії. Як було показано в попередньому параграфі, виробництво ентропії визначається добутком потоків J_i і термодинамічних сил Х_і, що їх викликають, тобто σ= Σ J_i Х_і. Для хімічно реагуючої системи вибір потоку J_хім і термодинамічної сили Х_хім визначається такими співвідно­шеннями:

Відповідно виробництво ентропії у такій системі отримує додатковий внесок, а саме:

(6-15)

де– швидкість хімічної реакції.

Тепер перейдемо безпосередньо до поняття спряження потоків. Нехай у досліджуваній системі відбуваються одночасно дві реакції, котрі є єдиними джерелами незворотності. Тоді виробництво ентропії у відповідності з формулою (6.15) має вигляд

і є додатною величиною в силу 2-го закону термодинаміки. Ця нерівність спостерігається не тільки в тому випадку, коли кожний з доданків є додатним, але й тоді, коли один з них (скажімо, перший) – від’ємний, а другий — додатний і більший першого за модулем, тобто

У цьому випадку прийнято називати першу реакцію спряженою, а другу – спрягаючою. Очевидно, що одна перша реакція була б неможливою в ізольованій системі, оскільки для неї спорідненість А₁ є від’ємна величина і виробництво ентропії в результаті цієї реакції також від’ємне. Однак ця реакція стає можливою через наявність іншої реакції, для якої виробництво ентропії є величина додатна.

Саме така ситуація і називається спряженням потоків, або спряженням незворотних процесів. Точніше кажучи, спряженням потоків (процесів) називається таке співвідно­шення між потоками (процесами), при якому додатне виробництво ентропії від одного потоку (процесу) компенсує зменшення ентропії від другого потоку (процесу), яке було 6 неможливе в ізольованій системі.

 

Приклад 1. Фосфорилювання глюкози відбувається в результаті такої реакції:

Глюкоза → Ф глюкозо-6-фосфат + Н₂0 ,

де Ф – іон фосфорної кислоти. Цей процес сам по собі виявляється неможливим, так як у результаті цієї реакції відбувається збільшення вільної енергії Гіббса на величину ∆G = 13,4 кДж/моль (див. кінець параграфа 6.1). Проте процес фосфорилювання стає можливим при його спряженні з іншим процесом – гідролізом АТФ, що іде за такою реакцією:

АТФ + Н20 → АДФ +Ф.

Під час останньої реакції вільна енергія Гіббса зменшується на величину ∆G = – 30,5 кДж/моль. Перша реакція (фосфорилю­вання глюкози) є спряженою, друга (гідроліз АТФ) – спрягаючою. Результуюча реакція (брутго-реакція) записується у вигляді

АТФ + глюкоза → глюкозо-6-фосфат + АДФ.

Для такої результуючої реакції зміна вільної енергії Гіббса є від’ємною величиною: ∆G=-17,1 кДж/моль. Таким чином, спорідненість такої реакції є величиною додатною (А > 0), що робить її можливою.

 

Приклад 2. У ізольованій системі при наявності одного сорту частинок процес дифузії йде в напрямку від місць, де концентрація речовин більша, в місця, де вона менша. При наявності хоча б двох сортів частинок, а в загальному випадку – у багатокомпонентній системі, потік частинок будь-якого компо­ненту може рухатися в напрямку зростання концентрації.

 

Приклад 3. Своєрідне поєднання процесів, котрі розглянуто в перших двох прикладах, відбувається при активному транспорті речовини через біологічні мембрани, молекулярні механізми якого були описані в п’ятому розділі. В результаті активного транспорту речовина (наприклад, іони натрію та калію) переноситься в напрямку збільшення концентрації. Такий спряжений процес виявляється можливим завдяки спрягаючій реакції – реакції гідролізу АТФ.

 

Стаціонарний стан відкритих систем і теорема Пригожина щодо мінімуму виробництва ентропії

 

Розглянемо поняття стаціонарного стану, котре відіграє важ­ливу роль в термодинамічному описанні відкритих систем.

Повна зміна ентропії dS у відкритій системі може бути представлена як сума двох доданків

dS = dS_i, + dS_e     (16)

що описують в загальному вигляді такі процеси:

1) процеси зміни ентропії всередині системи (dS_i);

2)процеси зміни ентропії через взаємодію відкритої системи з навколишнім середовищем (dS_e).

Коли б всередині досліджуваної системи відбувалися лише зворотні процеси, то зміна ентропії була б відсутня (dS_i = 0). Оскільки всередині реальної системи протікають незворотні дисипативні процеси, в результаті яких наробляється ентропія, то dS_i > 0. Щодо знака величини dS_e то він може бути довільним і залежить від того, відбувається поступлення ентропії в систему або відтік ентропії з неї, пов’язаний з потоками частинок, тепла та іншими процесами переносу через поверхню, що обмежує виділений об’єм досліджуваної системи.

Стаціонарним називається такий стан системи, при якому ентропія всієї відкритої системи S зберігається, тобто повна зміна ентропії дорівнює нулю (dS=0).

Із умови постійності ентропії (dS = 0) і рівняння (16) безпосередньо випливає, що dS_e = -dS_i. Тоді в силу позитивності зміни ентропії dS_i за рахунок дисипативних процесів, що відбуваються всередині системи, зміна ентропії dS_e через взаємодію відкритої системи з довкіллям повинна бути від’ємною (dS_e < 0) і достеменно рівною за модулем зміні ентропії dS_i всередині системи. Подібна реалізація умови стаціонарності відкритої системи стає можливою, якщо ентропія, що наробляється всередині системи, повністю переходить в навколишнє середовище. Іншими словами, можна стверджувати, що відкриті системи у стаціонарному стані живляться негентропією (від’ємною ентропією) N=-S.

Пригожин довів, що стаціонарному стані виробництво ентропії мінімальне (σ = σ_мін). Це твердження має назву “теорема Пригожина”. Розглянемо міркування, що спонукають до встановлення цієї теореми.

З формул для виробництва ентропії σ = dS / dt = Σ J_iХ_i та лінійного закону J_i=Σ L_ikX_k маємо:

(17)

Для спрощення обмежимося випадком двох термодинаміч­них сил і відповідно двох потоків. Тоді, беручи до уваги принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів (L_ik = L_ki), можна записати такий вираз для виробництва ентропії:

Обчислимо часткові похідні від виробництва ентропії сг за термодинамічними силами Х₁ і Х₂, а саме:

Отже, коли в стаціонарному стані відкритої системи потоки У₁ = 0 і У₂ = 0, то виробництво ентропії приймає екстремальне значення. В силу додатної визначеності квадратичної форми σ=ƒ(X₁, Х₂) і пов’язаної з цим позитивності других похідних

цей екстремум є мінімум (див. розділ 1 в першому томі), тобто виробництво ентропії у стаціонарному стані приймає мінімально можливе значення.

Принцип мінімуму виробництва ентропії у стаціонарному стані відкритої системи має надзвичайно важливе значення. Він дає кількісний критерій, що допомагає визначити напрямок розвитку (еволюції) відкритої системи будь-якої складності, а саме: якщо у відкритій системі відбуваються незворотні процеси поблизу термодинамічної рівноваги, то по зменшенню виробництва ентропії у такій системі можна передбачити ЇЇ перехід у стаціонарний стан. Іншими словами, критерієм наближення системи до стаціонарного стану є від’ємність похідної від виробництва ентропії за часом, тобто виконання нерівності

                              (18)

Теорема Пригожина пояснює також принципову стійкість стаціонарних станів відкритих систем. Справді, якщо відкрита система самодовольно виходить з свого стаціонарного стану через флуктуації, то в ній відбувається збільшення швидкості виробництва ентропії (∂σ∕∂t > 0). Тоді через теорему Пригожина необхідним наслідком подібної зміни стану системи мають бути такі процеси всередині системи, при яких вона знову повернеться до свого початкового стаціонарного стану. Принцип мінімуму виробництва ентропії (теорема Пригожина) відіграє таку саму роль для відкритих систем, як принцип Ле Шательє-Брауна, що пояснює стійкість рівноважних систем: будь-який зовнішній вплив, який виводить систему з положення рівноваги, викликає в ній таю процеси, які прагнуть послабити результат цих зовнішніх впливів.

 

ВІДКРИТІ МЕДИКО-БІОЛОПЧНІ СИСТЕМИ, ЩО ЗНАХОДЯТЬСЯ ДАЛЕКО ВІД РІВНОВАГИ (ЕЛЕМЕНТИ СИНЕРГЕТИКИ)

 

Визначним досягненням у розвитку науки за останні роки стало розуміння фундаментальних основ і принципів самоорганізації у відкритих системах різної природи (фізичних, хімічних, біологічних та ін.) поодаль від їх положення рівноваги. Зараз вже можна говорити про створення міждисциплінарної області науки – синергетики, котра вивчає загальні принципи самоорганізації і утворення просторових, часових і просторово- часових структур у відкритих нерівноважних системах. Сам факт утворення нових структур (упорядкування) в процесі еволюції знаходиться в уявному протиріччі з другим началом термодинаміки, з суті якого випливає, що з плином часу обов’язково відбувається зникнення структур (розупорядкування) з одночасним підвищенням сумарної ентропії всієї системи. Насправді цього протиріччя, що виникло ще при співставленні другого начала термодинаміки і еволюційного принципу Дарвіна, не існує. Утворення структур відбувається у відкритій підсистемі, котра завжди становить частину певної більшої системи. Якщо ця остання є замкненою системою, то дисипативні процеси, що у ній відбуваються, спонукають до зростання ентропії усієї системи, але це не обов’язково викликає зростання ентропії кожної її частини.

Поява наприкінці 80-х років XX століття нового міждис­циплінарного наукового напряму, який отримав назву “синергетика”, створила надійні засади для посилення інтеграційних тенденцій в науці та освіті. Як вже зазначалося, синергетика вивчає загальні принципи самоорганізації та утворення впорядкованих структур у відкритих нерівноважних системах різної природи.

 

Термін “самоорганізація” визначає процеси (явища), які пов’язані із зміною структури і забезпеченням узгодженої поведінки системи завдяки наявності внутрішніх зв’язків і контактів із зовнішнім середовищем. Здатністю до самоорга­нізації і утворення впорядкованих структур володіють системи живої та неживої природи, а також штучні системи.

Якщо до виникнення синергетики природничі та інші науки могли обходитися під час використання системного підходу до своїх об’єктів дослідження без врахування колективних ефектів, які спонукають до утворення стійких структур в часі та просторі, нині послідовне вивчення цих проблем стало можливим на підставі синергетичних методів. Особливо важливим і гострим постає питання щодо впорядкованості і самоорганізації під час дослідження енергетичних, екологічних, соціальних, політичних, медико-біологічних та інших глобальних проблем.

 

Існує досить велика кількість прикладів виникнення впорядкованих структур у системах різної природи:

у фізиці – це фазові переходи типу надпровідність і надплинність, конвективна нестійкість, страти у газовому розряді, пентагональні структури у плазмі токамаків, когерентне випромінювання лазерів, солітони;

в астрофізиці – це червона пляма Юпітера, полярні сяйва;

у хімії – періодична окислювально-відновна реакція Белоусова-Жаботинського;

у біології – періодичні процеси при гліколізі і фотосинтезі, морфогенетичні процеси у сімействі колективних амеб, коливальна динаміка чисельності популяцій;

у медицині – утворення ревербераторів (спіральних хвиль) у міокарді, спіральні хвилі і гексагональні структури у сітківці ока при депресії Леао;

в обчислювальній техніці – паралельні обчислення і надійність роботи ЕОМ, розпізнання образів;

у соціології і політології – формування суспільної думки, стійкість політичних систем;

в екології – поширення епідемій (пачдемій) і забруднення, а також велика кількість інших процесів.

Просте перерахування цих прикладів показує, що синерге­тика тісно пов’язана з різними галузями науки і техніки. Це не означає, що вона використовує цілковито різнорідні поняття. Одним з головних аспектів світоглядного значення синергетики, ціннішим досягненням синергетичного підходу якраз і є те, що в ній вдається обгрунтувати нові “перші принципи”, що лежать в основі процесів самоорганізації і впорядкування або, більш загально кажучи, функціонування відкритих складних систем.

Одна з основних причин процесів самоорганізації та впорядкування формулюється у вигляді принципу, який можна було б назвати “принципом узагальненого дарвінізму”, а саме: просторові, часові та просторово-часові структури в органічному та неорганічному світі виникають як прояв колективних коливань через флуктуації, їх взаємодію і відбір тих з них, які мають найбільший час затухання (релаксації). Такі найтриваліші живучі процеси характеризуються змінними, які у синергетиці називаються параметрами порядку або керуючими модами (коливаннями). Саме вони визначають еволюцію системи, котра первісно мала дуже багато степенів свободи. В результаті колективної взаємодії різних мод у такій системі може виділитися лише кілька параметрів порядку. У цьому полягає зміст принципу підлеглості, котрий відіграє дуже важливу роль у синергетичних процесах.

Впорядковані структури, які утворюються у відкритих системах, далеких від рівноваги, поділяються на просторові, часові і просторово-часові (табл. 1).

    До просторових структур відносяться гексагональні комірки Бенара, згадані вище спіральні структури, що в певний момент часу можна спостерігати в реакції Бєлоусова-Жаботинського (БЖ), в колонії соціальних амеб (плазмодії міксоміцети), в міокарді, на сітківці ока при депресії Лєао тощо.

 

Таблиця 1. Типи впорядкованих структур та їх параметри

 

Часові структури спостерігаються в екологічних суспільствах (типовим прикладом є періодична з часом зміна чисельності популяцій в моделі “хижак-жертва”, що буде розглянута пізніше), часові осциляції при гліколізі І фотосинтезі тощо.

Просторово-часові структури мають місце при спостереженні реакції Бєлоусова-Жаботинського протягом досить тривалого часу (десятки хвилин), в динамічних процесах розповсюдження ревербераторів в міокарді, при поширенні нервового імпульсу в аксоні тощо.

Розглянемо деякі приклади впорядкування та самоорганізації систем різної природи, про які згадувалося вище, докладніше. Особливу увагу при цьому ми будемо звертати на схожість, певну подібність цих явищ. Ця схожість поведінки різноманітних систем (наприклад, дивний перебіг періодичної хімічної реакції Бєлоусова-Жаботинського, утворення спіральних структур в колонії соціальних амеб, поява ревербераторів у міокарді тощо) дає підстави говорити про так званий “ізоморфізм”, тобто подібність, явищ утворення впорядкованих структур у зовсім різних за своєю природою відкритих системах.

Періодична хімічна реакція Бєлоусова-Жаботинського.

Рис. 1. Спіральні хвилі в реакції утворення  Бєлоусова-Жаботинського (фотографія А.Т. Вінфрі)

 

У 1951 році радянський хімік Б.П. Бєлоусов відкрив нову реакцію, суть якої зводилася до того, що протягом кількох годин з пері­одом приблизно 4 хвилини змінювався колір хімічно реагуючих компонентів – від червоного до синього і навпаки, тобто ця реакція була періодичною. Лише через вісім років Б.П. Бєлоусову вдалося надрукувати повідомлення про своє відкриття у реферативному журналі “Сборник рефератов по радиационной медицине” за 1958 г. Далі теоретичні аспекти цієї реакції розроблялися A.M. Жаботинським, а потім A.M. Заїкіним. Було з’ясовано, що хімічна реакція Бєлоусова є окисновідновною, автокаталітичною реакцією, в якій беруть участь Іони церія змінної валентності. Саме зміна валентності Іонів церія від 3 до 4 (і навпаки) викликає зміну кольору реакції. У 1970 p. А.М. Заїкін і A.M. Жаботинський створили зручні умови для експериментального спостереження періодичної хімічної реакції, відкритої Б.П. Бєлоусовим, коли вилили розчин, в якому відбу­валася ця реакція, тонким шаром в чашку ПетрІ. В такій системі, яка потім отримала назву хімічного реактора Заїкина- Жаботинського, ними спостері­галися спіральні автохвилі хімічної активності – дуже ефектні природні структурні утворення (рис.1). Якщо спіральні хвилі в чашці Петр, що вивчалася A.M. Заїкіним, були двовимірні, то американський біофізик А. Уінфрі зміг спостерігати згодом тривимірні автохвилі хімічної активності. Детальний хімічний механізм періодичної реакції Бєлоусова був остаточно описаний (після перших робіт A.M. Жаботинського і А.М. Заїкіна) венгерським вченим Є. Керошем та американцями Р. Філдом і Р. Нойєсом. Останні розробили для цього спеціальну кінетичну модель, яка отримала назву “орегонатор” (за назвою американського штату Орегон, де мешкали автори цієї моделі). Інша кінетична модель “брюсселятор”, що мала також за мету пояснення перебігу періодичної автокаталітичної хімічної реакції Бєлоусова- Жаботинського, була створена І.Р. Пригожиним та Г. Ніколісом (назва моделі пов’язана, очевидно, зі столицею Бельгії, де у Вільному Університеті Брюсселя працював лауреат Нобелівської премії LP. Пригожин).

 

Спіральні структури в колонії соціальних амеб. Ще один дивний приклад самоорганізації можна спостерігати у біологічному суспільстві, а саме – в колонії соціальних амеб (грибів-слизовиків Dictyostelium discoideum). Соціальними ці амеби називаються тому, що їм притаманна властивість до об’єднання (агрегації) у відповідні просторові структури, які мають спіральну форму. Виявляється, що коли амеби мають вдосталь їжі, вони існують як окремі і розвиваються індивідуально. Зовсім інша ситуація відбувається, коли їжа за­кінчується. Тоді голодні амеби починають спонтанно та в Імпульсному режимі виділяти спеціальну хімічну речови­ну – цАМФ (циклічний аденозинмонофосфат), який відіграє роль морфогена, тобто сприяє формоутворенню. Просторовий розподіл цього морфогена, точніше кажучи, – градієнт концентрації цАМФ, є просторовою міткою, яка дає можливість всім іншим амебам збиратися (агрегувати) у спіральні або концентричні структури. Таким чином, механізм хімічної сигналізації виявився надзвичайно важливим у процесі формоутворення – морфогенезу. Принциповим є той факт, що структури в колонії соціальних амеб (рис. 2) виявляються подібними до автохвиль хімічної активності в реакції Бєло- усова-Жаботинського не лише за зовнішніми ознаками, а й тому що ці спіральні утворення виникають у відкритих системах, які є активними за своєю природою, (іншими словами, збудливими через існуючий в них запас енергії).

Рис. 2. Спіральні структури в колонії соціальних амеб (фотографія Г. Гереша і Б. Хесса)

 

Спіральні структури (ревербератори) в міокарді Вперше спіральні структури в міокарді були відкриті у 1946 році мексиканським кардіохірургом А. Розенблютом та математиком Н. Вінером, який по праву вважається “батьком” кібернетики. У той рік А. Розенблют запросив свого друга Н. Вінера відпочити з ним, тоді ж він і розповів Н. Вінеру про небезпечну серцеву хворобу – фібриляцію, яка дуже часто призводить до миттєвої зупинки серця. І вони разом створили модель, яка показала, що при порушенні механічної однорідності серцевого м’язу – міокарду (така неоднорідність спостерігається біля витоку вени з серця) з’являється спіральна хвиля електричного збудження міо- кардіальних клітин. Ця спіральна хвиля отримала назву “ревербератор” (рис. 3). В подальшому вдалося довести, що ревербератори виникають не лише там, де порушується механічна неоднорідність, але і в точках, де з’являється неоднорідність по деякому прихованому параметру активного середовища, яким є міокард, – періоду рефрактерності (див. нижче). Саме ці точки стають джерелами появи спіральних хвиль (ревербераторів).

Рис. 3. Спіральна хвиля в серцевому м’язі кролика (з роботи М Алессі, Ф. Бонке, Ф. Шопмана; цифрами позначені моменти часу в мілісекундах)

 

Прямим наслідком розмноження ревербераторів у міокарді є тахікардія (зміна нормального ритму роботи серця, а саме – збільшення частоти серцевих скорочень), а потім і фібриляція (хаотична пульсація серця). Розуміючи механізми появи ревербераторів, можна вести свідомий пошук ліків та інших немедикаментозних методів запобігання фібриляції. Треба під­креслити, що хімічний реактор, де відбувається періодична реакція Бєлоусова-Жаботинського, є тим активним аналоговим середовищем, в якому були зроблені успішні експерименти в цьому напрямі.

Сучасні підходи до основних синергетичних проблем самоорганізації та впорядкування використовують потужні та добре апробовані методи, на які спираються а) теорія фазових перетворень; б) теорія нелінійних коливань і автохвиль; в) кінетичні моделі типу “брюсселятора” і “орегонатора”) теорія катастроф та деякі інші підходи. Нижче ми зупинимося детальніше на цих питаннях.

Розпочнемо з аналізу сучасного стану і досягнень теорії фазових переходів, яка складає (поряд з іншими методами) наукову і методичну основу синергетики. В критичних точках, які визначають процеси самоорганізації і впорядкування, слід приділяти особливу увагу флуктуаційним ефектам. В останні 2-3 десятиліття досягнуто великих успіхів у з’ясуванні ролі флуктуацій – відхилень різних термодинамічних параметрів (густини, концентрації, температури, тиску тощо) від своїх середніх значень. Це стало можливим завдяки розвитку універсальних методів фізики фазовюс переходів і критичних явищ, заснованих на ідеях теорій масштабної інваріантності (скейлінгу) і ренормалізаційної групи, які були розвинуті в роботах О.З. Паташинського, B.JI. Покровського, М. Фішера, JI. Каданова, К. Вільсона та інших вчених.

 

Вихідним при побудові статистичної теорії фазових переходів є поняття параметра порядку та поля, спряженого йому в термодинамічному сенсі (табл. 2). Іншою принципово важливою характеристикою систем, в яких відбуваються фазові переходи, є радіус кореляції, який визначає ту відстань, на якій флуктуації параметра порядку, тобто їх відхилення від середніх значень, впливають одна на одну (корелюють між собою). З наближенням до точки фазового переходу величина радіуса кореляції сильно зростає. Таким чином, різним системам поблизу їх фазових переходів стає притаманною колективна взаємодія флуктуацій на великих відстанях та на значних часових інтервалах. Більш того, в поведінці цих систем з’являється універсальність, тобто їх властивості (рівняння стану, різні рівноважні та кінетичні характеристики) описуються однаковими законами, які називають масштабно-інваріантними або скейлінговими. Цей результат є дуже сильним і принциповим через те, що дослідивши детально критичну поведінку однієї системи (наприклад, рідини поблизу її критичної точки), можна перенести отримані результати на систему іншої природи (наприклад, магнетик, надпровідник, хімічно реагуючу систему тощо) за допомогою своєрідного “словника” (частина цього словника міститься у табл. 2), який пов’язує між собою відповідні величини систем різної природи.

 

Таблиця 2. Параметри порядку та спряжені поля для різних систем

 

Залежність рівноважних та кінетичних властивостей від температури, зовнішнього поля та інших змінних поблизу точок фазових переходів характеризується степеневими законами, де показники степенів мають назву критичних індексів. Величини критичних індексів залежать від просторової розмірності системи, розмірності (числа компонентів) параметра порядку, а також від радіуса потенціалу взаємодії. Системи, що мають однакові значення цих характеристик (наприклад, є триви­мірними, Із скалярним параметром порядку і короткосяжним радіусом міжмолекулярної взаємодії-), потрапляють в один і той самий “клас універсальності”. Це означає, що такі системи, як однокомпонентна рідина чи бінарна рідка суміш, магнетик в так званому наближенні Ізінга, хімічно реагуюча система, система “медіатор-рецептор” у синаптичній щілині тощо, описуються поблизу своїх критичних точок однаковими степеневими скейлінговими законами.

Потрібно розрізняти рівноважні та нерівноважні фазові переходи. Для рівноважних фазових переходів, про які йшлося вище, притаманна поступова зміна таких параметрів, як тиск, температура, хімічні потенціали компонентів розчину тощо (ці параметри називають Інколи “польовими”), а також стрибко­подібна зміна таких параметрів, як об’єм, ентропія, концентрації компонентів розчину тощо (ці параметри називають інколи “густинними”). У разі нерівноважних фазових переходів відбува­ються різкі зміни в поведінці параметрів системи, які спричиняють появу впорядкованих структур. Ці процеси впорядкування і самоорганізації певною мірою нагадують рівноважні фазові переходи, де відбувається стрибкоподібна зміна “густинних” параметрів. Проте суттєвою особливістю нерівноважних фазових переходів (на відміну від рівноважних) є те, що вони відбуваються у відкритих системах, в яких через взаємодію з навколишнім середовищем спостерігається від’ємна зміна (тобто зменшення) ентропії. Звичайно, нерівноважні фазові переходи (їх називають ще кінетичними фазовими переходами) є набагато різноманітнішими, ніж рівноважні (термодинамічні) фазові переходи.

Розглянемо загальні властивості відкритих систем, в яких існують різноманітні процеси впорядкування. На відміну від рівноважних утворень, які можуть бути описані та досліджені відомими методами термодинаміки та статистичної фізики, в нерівноважних системах реалізуються так звані дисипативні структури (цей термін вперше був введений І.Р. Пригожиним). Прикладом звичайних рівноваж­них структур є рідина чи кристал, які існують в залежності від температури, тиску та інших зовнішніх параметрів. Дисипа­тивні структури утворюються завдяки потокам енергії, імпуль­су, маси через границі системи. Типовим прикладом дисипа­тивної структури є так звані

комірки Бенара, які виникають в реальній в’язкій рідині при наявності в ній різниці температури.

Рис. 4   Гексагональні комірки Бенара

 

Коли рідина підігрівається знизу (існує потік тепла через нижню границю в такій відкритій системі), то раптово при де­якому співвідношенні між товщиною шару рідини, різницею (градієнтом) температури, в’язкістю та іншими параметрами в раніше однорідній рідині виникають шестигранні утворення – комірки Бенара (рис. 4). Такий процес є проявом взаємодії флуктуацій (відхилень параметрів системи від середніх значень). Роль взаємодії флуктуацій зростає і стає вирішальною поблизу критичних (біфуркаційних) точок. Ця взаємодія може стати настільки сильною, що існуюча раніше структура (в нашому випадку – однорідна рідина) руйнується. В ній з’являються більш впорядковані структури, які й називаються дисипативними.

Рис. 5. Гексагональні структури, що виникли на поверхні солоного озера Юмі в Болівії (фото К. Хірояма з “Дейлі Юміурі”)

 

Дуже схожий до комірок Бенара вигляд мають гексагональні структури, що спостерігаються на висушеній поверхні солоного озера Юмі в Болівії (рис. 5). Можливо, це також є проявом синергетичних процесів, що виникають при конвекційній нестійкості нерівноважної відкритої системи. Значна схожість цих гексагональних структур дивує і є безумовним викликом людському розуму, як І поширеність спіральних структур у зовсім різних за своєю природою системах.

Інший тип впорядкування відкритої системи – це автохвилі та авто коливання, що були розглянуті вище на прикладі хімічної реакції Бєлоусова-Жаботинського чи ревербераторів у міокарді. Відомими прикладами автохвиль і автоколивань є також хвиля поширення потенціалу дії (зміни електричного потенціалу) вздовж нервового волокна (аксона), хвиля горіння, автоколивання при гліколізі та фотосинтезі тощо.

 

Загальні риси всіх цих процесів полягають у наявності наступних спільних особливостей середовищ, де вони відбува­ються:

1.                 Середовища, в яких поширюються автохвилі або автоколиваиия, є активними. У звичайних пасивних середо­вищах, де спостерігаються пружні, теплові або електромагнітні хвилі, енергія хвилі передається від джерела у віддалені точки з послабленням. На відміну від пасивних середовищ, в активних Йдуть процеси накопичення енергії та її вивільнення при відповідному механізмі збудження.

2 Активні середовища мають три різні стани свого функціонування:

-стан спокою, який реалізується у відсутності зовнішніх впливів;

-стан збудження, який виникає при наявності зовнішніх впливів;

-стан рефрактерності, який виникає після зникнення збудження і протягом якого система повертається в стан спокою (якщо система перебуває у стані рефрактерності, вона не може бути переведена у стан збудження доти, доки вона не перейде у стан спокою).

3. Цікава властивість автохвильових процесів, в тому числі й ревербераторів в серцевому м’язі, пов’язана з так званим ефектом синхронізації. Суть цього ефекту полягає в тому, що коли в активному середовищі діють кілька джерел коливань І хвиль з різними частотами, то найстійкішими є коливання і хвилі з максимальною частотою. Іншими словами, всі коливання з меншими частотами подавляються коливаннями з більшими частотами.

4. Властивості автохвиль в активних середовищах і хвиль у пасивних середовищах досить сильно відрізняться (табл. 3). У цій таблиці, в останньому стовпчику, містяться відомості і про ще один тип впорядкованих структур – солітони (поодинокі хвилі).

 

Таблиця 3. Порівняння властивостей автохвиль в активних середовищах, хвиль у пасивних середовищах і солітонів

 

Вперше солітон був відкритий С. Расселом у 1834 році досить випадково, як часто й робляться великі відкриття. С.Рассел вивчав в той час рух барж різних форм, що мали різні швидкості, з метою надати рекомендації щодо будівництва барж у зв’язку з переходом від кінської тяги до парової. Саме проводячи ці спостереження, він відкрив солітон, про що так написав у своєму звіті “Доповідь про хвилі”: “Я слідкував за рухом баржі, яку швидко тягнула вздовж вузького каналу пара коней, коли баржа раптово зупинилася; але маса води, яку баржа привела в рух, не зупинилася. Замість цього вона зібралася біля носа судна в стані божевільного руху, потім раптово залишила його позаду і покотилася вперед з дуже великою швидкістю, прийнявши форму великого одинокого підвищення, тобто водяного пагорба, який продовжував свій шлях вздовж каналу, не змінюючи своєї форми та не знижуючи швидкості”. Нині солітони відкриті у багатьох середовищах – в магнетиках, надпровідниках, живих системах, атмосферах Землі та планет. Досить ймовірно, що солітони мали важливе значення для процесу еволюції Всесвіту. Хромодинаміка, сучасна теорія елементарних частинок, передбачає появу (поки що не відкритих експериментально) солітонів, які можуть нести магнітний заряд. Таким чином, справедливим є твердження, що наука про солітони інтенсивно розвивається в останні роки.

Зрозуміло, що методи синергетики повинні добре працювати у випадках, коли йдеться саме про кооперативну поведінку систем різної природи з утворенням впорядкованих структур. Нижче ми розглянемо приклади застосування синергетичних методів до деяких соціальних і політичних процесів.

Насамперед постає питання: чи можливо взагалі сподіватися на успіх при застосуванні подібних методів до об’єктів, які складаються з великої сукупності індивідуумів? Справді, поведінка окремого індивіда в складних ситуаціях, як правило, непередбачена, вона визначається дуже великою кількістю часто випадкових факторів. Тому зрозуміло, що скоріш за все неможливо створити детерміновану математичну модель такої поведінки окремої людини. Разом з тим, очевидно, можна сподіватися на досить точне передбачення середньостатистичної поведінки окремого представника даної соціальної групи. Саме в цьому випадку, тобто на рівні статистичних закономірностей, стають корисними математичні методи, що спираються на досягнення сучасної синергетики.

Спочатку зупинимося на застосуванні методів синергетики до соціології, зокрема на процесі формування громадської думки. Розглянемо приклад, який пов’язаний з цим процесом і відомий як експеримент С. Еша. Нехай людині показують кілька пред­метів різної довжини (рис. 6).

Питання, на яке треба дати відповідь, таке: “Як співвідно­сяться між собою довжини першого і останнього відрізків?” Як виявляється і це цілком зрозуміло, відповідь залежить від того, чи відомі людині результати попереднього опиту­вання. Так, наприклад, якщо в результаті попереднього опитування 60% опитуваних відповіли, що останній відрізок довший за перший, то людина з більшою ймовірністю підтвердить цей висновок.

                                           

Рис. 6 Експеремент С. Еша (з книги Хакена  “синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах”)

 

Насправді, обидва відрізки мають однакові довжини.

Рис. 7. Ефект гістерезису (з книги Г. Хакена “Синергетика”)

 

 Іншим цікавим прикладом подібної зміни точки зору є особливості процесу зорового сприйняття, що називаються ефектом гістерезису (рис. 7) та ефектом порушеної симетрії (рис. 8). В першому випадку зорове сприйняття об’єкта зале­жить від напрямку, в якому розглядається цей рисунок, тоді як в другому результат залежить від того, на чому фокусується увага – на центральній білій частині рисунка, де чітко видно вазу, або на бокових чорних частинах, де видно два обличчя.

Універсальні методи термодинаміки та синергетики можуть бути успішно застосовані і до вивчення політичних процесів, зокрема проблеми стійкості політичних систем.

 

Рис. 8. Ефект порушеної симетрії (з книги Г. Хакена “Синергетика”).

 

 Цікаві результати в цьому напрямку були отримані визначним українським фізиком і політичним діячем І.Р. Юхновським. Як вже вказувалося раніше, мірою впорядкованості будь-якої системи, в тому числі і політичної, є притаманна їй ентропія S (або негентропія N). Чим менша величина ентропії S (або чим вище значення негеитропії N, оскільки негентропія дорівнює ентропії з протилежним знаком: N = – S), тим більш впорядкованою є система. Таким чином, переходу від менш досконалої до більш досконалої політичної системи відповідає зменшення ентропії або збільшення негентропії.

Стійкість будь-якої політичної системи визначається режимом її функціонування. І. Р. Юхновський пропонує розглянути такі два граничних режими функціонування політичних ситем:

1. Політична система є відкритою в термодинамічному розумінні цього терміну. Це означає, що система вільно обмінюється з навколишнім середовищем всім, чим можна обмінюватись – насамперед енергією, ентропією (негентропією) та інформацією.

Тут слід зауважити, що: а) ентропія й інформація визна­чаються однаковим чином; б) ентропія та інформація не можуть бути зведені до енергії.

Щоб краще зрозуміти останнє твердження, досить пригадати відомий приклад з киданням двох монет з однакової висоти. Нехай обидві монети однакові за інформацією, що в них міститься: на них, з одного боку, викарбований один і той самий герб, а на другому боці – однакова цифра. Проте вони мають зовсім різні маси. Тоді, коли ми їх одночасно кидаємо з однакової висоти, виділяється, звичайно, зовсім різна енергія, оскільки маси монет є різними (нагадаємо, що ця енергія дорівнює добутку маси на прискорення вільного падіння і на висоту). Що стосується інформації, яка отримується під час кидання цих монет, то вона є абсолютно однаковою і дорівнює 1 біту,оскільки реалізується один варіант з двох можливих (герб або цифра), тобто 0 або1.

2.Політична система існує в режимі, ізольованому від зовнішнього середовища. Звичайно, не існує абсолютно ізольованих політичних і соціальних систем. Але є приклади, коли реальні системи існували в стані, який можна вважати досить наближеним до ізольованого стану (наприклад, колишній СРСР). Фізично стан подібної ізоляції відповідає адіабатичній ситуації, коли не відбувається теплообміну системи з навколишнім середовищем. Тоді, як випливає з першого закону термодинаміки (див. формулу (1)), будь-яка робота виконується за рахунок внутрішньої енергії системи. Це обов’язково призводить до зростання ентропії (чи зменшення негентропії), тобто до зменшення впорядкованого стану системи і, врешті-решт, до її деградації. Загальні перші принципи природи і суспільства, зокрема другий закон термодинаміки, дають змогу підтвердити цей важливий висновок щодо функціонування політичної системи, яка є ізольованою, а саме: абсолютно детермінований шлях до розпаду (тобто такий процес, який відбувається з ймовірністю, що дорівнює одиниці) с характерною рисою еволюції всіх ізольованих систем будь-якої природи.

Ще один дуже цікавий напрям досліджень, який має принципове значення для різних галузей знань і описує стрибкоподібні зміни поведінки систем різноманітної природи – це сучасна теорія катастроф. Розглянемо її основні принципи та ідеї.

 

У 1972 році в Нью-Йорку вийшла з друку давно анонсована до цього книга французького математика-тополога Р. Тома “Структурна стійкість і морфогенез”. Вже сама назва цієї книги вказувала на її достатньо універсальний характер. Дійсно, Р. Том поставив перед собою задачу створення такого варіанта математичної теорії динамічних (еволюціонуючих) систем, який був би придатним для біології та інших галузей науки, досить далеких від математики і який в цьому сенсі не є настільки точним, як фізика, хімія і ряд інших наук. Основна ідея Р. Тома полягала в тому, щоб застосувати теорію динамічних систем з класифікацією особливих точок за А. Пуанкаре для аналізу як структурно-стійких станів, нечутливих до малих збурень (змін параметрів системи), так і різких (розривних) змін станів системи при плавній зміні параметрів, які називаються катастрофами.

По своїй суті знаходження особливих точок за методом А. Пуанкаре зводиться до відшукання стаціонарних, тобто тих, що не залежать від часу, розв’язків системи диференціальних рівнянь для параметрів порядку, які визначають поведінку досліджуваного об’єкта. Особливі точки знаходяться згідно з розв’язком відповідної системи диференціальних рівнянь стосовно так званих збурень по відношенню до стаціонарних розв’язків. Залежно від знака дійсної (Re) та уявної частини (Im) коренів λ  характеристичного рівняння особливі точки поділя­ються на стійкі та нестійкі вузли і фокуси, сідла та центри або граничні цикли (табл. 4).

Рис. 9 ілюструє можливі види особливих точок для динамічних систем з двома параметрами порядку згідно з класифікацією А. Пуанкаре. Як бачимо з відповідних фазових портретів системи, для стійкого вузла характерний рух точки, що зображує динамічну еволюцію системи, до стаціонарного стану (особливої точки) як по першому, так І по другому параметру порядку. У разі нестійкого вузла система віддаляється від особливої точки по обох параметрах порядку. Якщо корені характеристичного рівняння мають різні знаки, тобто особлива точка – сідло, то така особлива точка є теж нестійкою, але лише по одному з параметрів порядку.

 

Таблиця 4. Типи особливих точок (,класифікація Пуанкаре)

 

Якщо для стійкого і нестійкого вузлів та сідла характерна неперіодична поведінка, то для всіх інших особливих точок притаманна періодична (коливальна) поведінка динамічної системи. Для стійкого фокуса фазовий портрет зображується у вигляді спіралі, що накручується на особливу точку – це відповідає затухаючим коливанням в часі для обох параметрів порядку систем. Для нестійкого фокуса спостерігається зворотна ситуація – спіраль розкручується, що відповідає коливанням параметрів порядку, амплітуда яких зростає з часом. І нарешті, в останньому випадку центра {граничного циклу) в системі відбуваються незатухаючі коливання (автоколивання) параметрів порядку.

 

Рис. 9. Фазові портрети можливих видів особливих точок

 

Зауважимо, що стійкі та нестійкі вузли та фокуси, а також сідла характеризують “грубі” системи, тоді як граничний цикл (центр) – “негрубі”. Поняття “груба” і “негруба” системи були вперше введені завдяки дослідженням нелінійних динамічних систем, які були виконані визначним математиком О.О. Андроновим та його учнями. Під “грубою” системою мається на увазі така система, яка знаходиться поблизу свого рівноважного стану і яка не може бути виведена зі стану рівноваги при зміні параметрів. Очевидно, що “негруба” система легко виводиться за рахунок незначної зміни параметрів зі свого стану рівноваги, який є нестійким. Зрозуміло, що чисто математичне (точніше сказати – топологічне) поняття “грубості” і “негрубості” має надзвичайно широке застосування в психології, економіці, політиці та інших областях під час вивчення стійкості цих систем.

Повертаючись до теорії катастроф Р. Тома, можна сказати, що вона становить сучасний розвиток теорії стійкості динамічних систем А. М. Ляпунова (поняття стійкості взагалі є дуже важливою характеристикою динамічної системи) і теорії особли­востей X. Уітні, які узагальнюють собою відомі в класичному математичному аналізі дослідження на екстремум. Недарма створення теорії катастроф порівнювалося в 70-х роках – роках її виникнення – з переворотом в математиці, пов’язаним зі створенням І. Ньютоном і Г.-В. Лейбніцем диференціального і інтегрального числень.

Дослідження з нелінійної динаміки мали дуже великий вплив на формування основних ідей і принципів теорії катастроф. Так, значним результатом цих досліджень став суттєвий розвиток уявлень про біфуркації (термін “біфуркація” буквально означає “роздвоєння”), тобто про якісні перебудови динамічних систем.

Нові важливі результати в теорії біфуркацій належать визначному російському математику В. І. Арнольду, який незалежно від Р. Тома довів деякі принципові теореми в теорії катастроф. Р. Том, який вважається автором теорії катастроф, від­дає пріоритет у винаході терміну “теорія катастроф” англійсь­кому математику – топологу К. Зіману. Саме К. Зіману присвятили свою прекрасну монографію “Теорія катастроф та її застосування” Т. Посгон і І. Стюарт, написавши в передмові: “Кристоферу Зіману, біля ніг якого ми сидимо, на плечах якого ми стоїмо”. Дивним є той факт, що математик К. Зіман придумав так звану “машину катастроф” – досить простий пристрій, який легко може бути виготовлений і який дає змогу дуже наочно спостерігати різкі зміни поведінки машини при незначній варіації параметрів. Опис “машини катастроф” можна знайти у чудовій, невеличкій за об’ємом книзі В. І. Арнольда “Теорія катастроф”, в якій подається, з одного боку, науково-популярне, а з іншого – дуже глибоке і витончене викладення основних принципів теорії катастроф.

Представляють інтерес висловлені В. І. Арнольдом загальні міркування з погляду теорії катастроф щодо тенденцій (“принципів”) переходу до “кращого стану” системи довільної природи (фізичної, хімічної, біологічної, соціальної, політичної тощо).

1. “Принцип тендітності гарного (стійкого)”-, система, що знаходиться на границі стійкості, з більшою ймовірністю переходить в нестійкий стан. Це пов’язано з досить зрозумілим з інтуїтивного погляду правилом: “гарні” (зокрема, стійкі) системи повинні задовольняти кільком (інколи багатьом) вимогам, тоді як “погані” можуть мати хоча б один недолік, тобто між “гарними” і “поганими” системами в цьому сенсі відсутня симетрія.

2. “Принцип погіршення на шляху до кращого”, в процесі послідовної еволюції системи до кращого стійкого стану з поганого нестійкого відбувається погіршення, до того ж на початковій стадії процесу переходу до кращого стану швидкість погіршення зростає. Максимум протидії на шляху до кращого реалізується до досягнення найгіршого стану. Далі в цьому самому поганому стані протидія зменшується і може повністю зникнути, коли система знаходиться вже достатньо близько до кращого стану.

3. «Принцип стрибкоподібного покращання»-, якщо система стрибком, а не в процесі поступової еволюції’, проскакує найгірший стан і опиняється поблизу гарного, то далі вона самодовільно рухається в бік цього гарного стану.

4.”Принцип еволюції до катастрофи“: нехтування основними законами природи і суспільства, які спираються на ефекти зворотного зв’язку (в суспільному житті та політиці – це, насамперед, відсутність особистої відповідальності за прийняті рішення), веде до катастрофи.

Таким чином, підводячи підсумок короткого огляду сучасних синергетичних процесів у природничих та суспільних науках, можна сказати, що значення синергетики для освіти і науки пов’язане з інтеграцією знань з різних дисциплін, посиленням міжпредметних зв’язків, використанням цього нового міждисциплінарного напряму для глибокого розуміння єдності законів природи і суспільства, а отже, розвитку особистості як кінцевої мети всієї освітянської діяльності.

 

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ У СКЛАДНИХ МЕДИКО-БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМАХ

 

Звернемося спочатку до якісного аналізу динамічної системи, що описується двома нелінійними диференціальними рівняннями довільного вигляду

                                   (19)

Дослідимо стійкість стаціонарного стану такої системи, за­стосовуючи метод малих збурень і лінеаризації диференціальних рівнянь. Для цієї мети представимо розв’язок у вигляді такої суми стаціонарних значень змінних x₀, y₀ і малих збурень ζ , n:

Лінеаризуючи систему диференціальних рівнянь, тобто залишаючи лише ті доданки, що містять перші степені малих збурень ζ , n, отримаємо

                          (20)

де коефіцієнти a, b, с, d пов’язані з похідними а = P’x(x₀, y₀); b = Р’у (x₀, y₀); с = Q’x(х₀, у₀); d = Q’y (х₀, у₀).

Важливе значення в якісному аналізі поведінки динамічних систем відіграє часова еволюція послідовних станів досліджуваної системи у вигляді траєкторії руху зображуваної точки у фазовому просторі x, у. Така траєкторія називається фазовим портретом, або фазовою кривою системи. Залежно від вигляду фазового портрета динамічні системи поділяються, як вже вказувалося раніше, на грубі та негрубі. “Грубі” системи – це системи, характер траєкторії яких у фазовому просторі зберігається при малих змінах похідних a, b, с, d. “Негрубі” системи – це такі, траєкторії яких відчувають достатньо різкі якісні зміни при малих варіаціях параметрів a, b, с, d.

Будемо шукати загальний розв’язок досліджуваної динаміч­ної системи поблизу її стаціонарного стану у вигляді

Тоді

звідки маємо

λА = аА + bВ, λВ = сА + dB.

Ненульовий розв’язок цієї алгебраїчної системи рівнянь щодо коефіцієнтів А і В спостерігається лише за умови, що головний визначник рівний нулю, тобто

або

 

Звідси для коренів цього рівняння, яке називається характеристичним, маємо

Якщо корені не є кратними, то розв’язок системи може бути подано у такому вигляді:

Нехай корені λ₁, λ₂– дійсні. Тоді особливі точки у відповідності з класифікацією Пуанкаре (див. табл. 4) являють собою вузли або сідла, а саме:

а)       λ₁ < О, λ₂ < 0 – стійкий вузол;

б)      λ₁ > 0, λ₂ > 0 – нестійкий вузол;

в)       λ₁ > 0, λ₂ < 0 або λ₁ < 0, λ₂ > 0 – особлива нестійка точка, яка називається “сідлом”;

г)       якщо λ₁, λ₂ – комплексно-спряжені величини, тоді у систе­мі відбуваються коливання; особлива точка – фокус, причому якщо Reλ_1,2 < 0 – стійкий фокус, якщо Reλ_1,2 > 0 – нестійкий фокус.

д)      якщо Reλ = 0, то у системі відбуваються незатухаючі коливання; особлива точка – центр або граничний цикл. Зауважимо, що стійкий і нестійкий вузли, стійкий І нестійкий фокуси, а також сідла характеризують “грубі” системи, тоді як граничний цикл (центр) – “негрубі”.

Як вже зазначалося, поблизу критичних (біфуркаційних) точок малі зміни зовнішніх параметрів можуть спонукати до якісних перебудов (біфуркацій) фазових портретів досліджуваних систем.

 

Розглянемо найбільш типові біфуркації:

1.Біфуркація з одного вузла (фокуса) в два вузли (фокуса).

   За певних умов розв’язки, що відповідають стійкому вузлу (фокусу), можуть стати нестійкими і відбувається перехід у два нових стійких вузли. При відмінній від нуля уявній частині коренів характеристичного рівняння вузли перетворюються, очевидно, в фокуси.

2.Біфуркація Хопфа із фокуса в граничний цикл. Для цього випадку, вивченого вперше Хопфом, корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими числами

    При Reλ → 0 корені наближаються до уявної вісі. У результаті первинно стійкий фокус перетворюється у граничний цикл, тобто у системі виникають періодичні в часі коливання.

3.Біфуркації граничного циклу. При подальшій зміні керуючих параметрів можуть відбутися нові перебудови фазових траєкторій системи, при яких можливі такі біфуркації:а) старий граничний цикл переходить в новий один або більше граничних циклів у одній  і тій самій площині; б) старий двовимірний граничний цикл переходить у тривимірний граничний цикл, до того ж у випадку незамкнутих траєкторій виникає рух зображуючої точки по поверхні тора; в) старий граничний цикл з періодом Т1 переходить у новий, рухаючись по якому система повертається у початковий стан за час Т2 = 2T1, (біфуркація подвоєння періоду).

4.Дивні аттрактори. При зміні керуючих параметрів фазова траєкторія, що являє собою рух по тору, може стати нестійкою і хаотичною. У цьому випадку, який отримав назву дивного аттрактора, траєкторії руху зображуючої точки у фазовій площині стають недетермінованими (рис. 7.10). Якщо для простих аттракторів (стійких особливих точок і граничних циклів) усі фазові траєкторії стягуються у близьке ото­чення цих точок або гранич­ного циклу, то для дивного аттрактора усі фазові траєк­торії розбігаються і хаотично перемішуються ,залишаються в області тяжіння дивного

аттрактора .

 

Рис. 10. Фазовий портрет перемішуються, залишаючись в області тяжіння дивного

 

Зручним методом аналізу стійкості фазових траєкторій є дослідження так званих показників Ляпунова. Не вдаючись у достатньо тонкі і складні математичні деталі, показники Ляпунова можна визначити як узагальнення показника степені у виразі для експоненціального в часі розв’язку δx(t), який характеризує диференціальне рівняння першого порядку довільного вигляду, а саме:

    Кількість показників Ляпунова не повинна перевищувати розмірність простору, в якому задана шукана величина δx(t). Тоді виявляється можливим сформулювати такі критерії для простих і дивних аттракторів у термінах показників Ляпунова (розглянемо для визначення тривимірний випадок):

       а)         якщо всі три показники Ляпунова від’ємні, то аттрактор – стійкий фокус;

      б) якщо два показники від’ємні, а третій рівний нулю, то аттрактор – граничний цикл;

      в) якщо один показник від’ємний, а два інші дорівнюють нулю, то аттрактор – стійкий тор;

      г) якщо один з показників Ляпунова виявляється додатнім, то стає можливим хаотичний рух зображуючої точки. Так, при λ1> 0, λ2=0, λ3< 0 виникає дивний (хаотичний) аттрактор, до того ж фазові сусідні траєкторії швидко розходяться при незначній зміні початкових умов. Одним з перших прикладів дивного аттрактора стала гідродинамічна (метеорологічна) модель Лоренца, розв’язки якої виявили хаотичне розбігання фазових траєкторій в силу ефектів турбулентності і неточності завдання початкових умов. Зауважимо, що при  λ1> О,   λ2=  λ3= 0 або при  λ1> 0,  λ2 > 0, λ3= 0 фазові портрети системи є відповідно нестійкий тор або нестійкий граничний цикл, які не є аттракторами.

Для встановлення універсальних закономірностей в самоорганізованих системах, які мають різні геометричні розмі­ри, розуміння ролі їх спонтанного ускладнення, наявності в них просторово корельованих областей широко залучаються методи кінетичних моделей, які були покладені в основу сучасної теорії дисипативних структур (І. Р. Пригожин, Г. Ніколіс, П. Гленсдорф та ін.).

В якості конкретного прикладу кінетичної моделі розглянемо відому модель “хижак-жертва”, яку запропонували А. Лотка і В. Вольтера. Система нелінійних диференціальних рівнянь цієї моделі має такий вигляд:

                              (21)

Перше рівняння описує динаміку чисельності першого типу тварин – “жертв” (наприклад, зайців), які живляться рослинами. Перший доданок у правій частині цього рівняння описує природне розмноження жертв, тоді як другий – їх зменшення від зустрічей з “хижаками” (наприклад, рисями). Друге рівняння характеризує динаміку зміни чисельності хижаків: перший доданок у правій частині задає збільшення хижаків, які живляться жертвами, а другий – природне зменшення жертв при відсутності цієї їжі.

   Проведемо аналіз моделі “хижак-жертва”. Стаціонарний розв’язок моделі визначається з такої системи рівнянь:

                   (22)

Лінеаризація рівнянь системи (21) поблизу стаціонарного розв’язку дає

(23)

Шукаючи розв’язок цієї системи у вигляді

                     (24)

   отримуємо таке характеристичне рівняння:

 або

звідки отримуємо шукані корені

                                        (25)

       Таким чином, відповідно до класифікації особливих точок по А. Пуанкаре отримана особлива точка в моделі “хижак-жертва” є центр (або граничний цикл). Фазові криві становлять замкнуті траєкторії.

        Оскільки для малих збурень ζ(t) і  ζ(t) виконуються співвідношення вигляду

            (26)

то цей результат відображає те, що ми спостерігаємо в реальних умовах, тобто експериментально, а саме: періодичну зміну чисельності популяцій хижаків і жертв (рис. 11).

 

Рис. 11. Періодична зміна чисельності популяції в екологічній системі “хижак (рисі) – жертва (зайці)” за даними мисливської компанії “Хадсон- Бей” (з книги Г. Хакена “Синергетика”)

   

Недолік розглянутої вище моделі Лотка-Вольтерра – її “негрубість“. Іншими словами, випадкові зміни чисельності одного з видів змінюють амплітуди коливань кожного виду. В реальності такого не спостерігається. Покращання моделі Лотка-Вольтерра пов’язане з врахуванням самообмежень в зростанні чисельності обох популяцій, що описується введенням останніх (третіх) доданків у рівняння такої моделі:

           (27)

        Дослідження особливих точок для такої покращаної моделі показує, що коли при γ₁₁ = γ₂₂ = 0 особлива точка становить центр або граничний цикл (негруба система), то при γ₁₁ ≠0 , γ₂₂  ≠0  особлива точка є вже стійкий фокус або стійкий вузол, тобто система стає грубою.

   

Ще одним популярним прикладом кінетичних моделей процесів самоорганізації, як вже відзначалося, є модель “брюсселятора” (Пригожин, Ніколіс, Лефевр), яка описує хімічний автокаталітичний процес. Близька до “брюсселятора” кінетична модель “орегонатора” була запропонована і досліджена філдом і Ноейсом. Зокрема, модель “орегонатора” описує автохвильові процеси, які виникають  в періодичній окисно-відновній реакції Бєлоусова – Жаботинського .