Застосування похідної та диференціалу

Застосування похідної

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

                      (1)

де функція  при  задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:       

Геометрична інтерпретація:

Диференціал  є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація)

Нехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст Df(x) для  і  і порівняємо їх.

 

Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

 

Правило 2. Дано .

Тоді

 

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

  за правилом 3 маємо:

 

 

Правило 4. Якщо , , то

 

Правило 5. Якщо функція  має обернену , то

.

 

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

 

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

 Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

.                                (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

,                             (2)

або

.                  (3)

Вираз  є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

 

Формула для знаходження диференціала

справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

 

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то фор­мули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.

 

Таблиця диференціалів

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал  і т. д. до диференціала n-го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

                             (1)

Зауваження. Формули (1) при  будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .

 Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:

.

Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = j(t), то dx вже залежить від t, і dx = j¢(t)dt, тому при x = j(t) дістаємо:

                     (2)

 

Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.

 

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ
ПРО ДИФЕРЕНЦІЙОВНІ ФУНКЦІЇ
(«Французькі» теореми)

Теорема Ферма

Теорема Ферма. Нехай функція y = f(x) визначена на проміжку (a, b) і в деякій точці С цього проміжку (a, b) набуває найбільшого або найменшого значення. Якщо в точці х = С існує похідна, то f¢(С) = 0.

Доведення. Припустимо, що в точці СÎ(a, b) набуває найбільшого значення:

Обчислимо в точці С ліву та праву похідну:

Границі зліва та справа рівні між собою, тому

.

Геометрична інтерпретація теореми Ферма. Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де функція набуває найбільшого та найменшого значень, дотичні є горизонтальними

Зауваження. Якщо найбільше значення досягається на кін­цях відрізка [a, b], то похідна в цій точці не повинна перетворюватися на нуль. У цій точці не повинно бути горизонтальної дотичної

 

 

Теорема Ролля

Теорема Ролля. Нехай задано функцію f(x), неперервну на відрізку [a, b] і диференційовну на інтервалі (а, b). Тоді якщо f(a) = f(b), то всередині відрізка [a, b] знайдеться точка x (а < x < b), така що

                                                 f¢(x) = 0.

Доведення. За умовою теореми функція f(x) на відрізку [a, b] неперервна, тому вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значення. Нехай m — найменше, а М — найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b]. Маємо два відношення: m = М або m ¹ М.

Розглянемо кожний із цих випадків окремо.

1. Нехай m = M. Якщо m = M, то функція f(x) стала, а отже, для будь-якої точки інтервалу (а, b) її похідна дорівнює нулю.

Таким чином, доведено, що існують точки x, такі що

.

2. Нехай m ¹ M. Тоді функція f(х) набуває найбільшого значення М або найменшого значення m у точці x усередині інтервалу
(а, b). У цій точці за теоремою Ферма похідна перетворюється на 0.

.

Отже, доведено, що коли виконуються умови теореми Ролля, на інтервалі (а, b) існує хоча б одна точка x, в якій похідна дорівнює нулю. 

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю (на рис.17 таких точок три).

У точках x₁, x₂, x₃ дотична завжди горизонтальна, оскільки .

Формулювання теореми Ролля в разі, коли f(a) = f(b) = 0:

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a, b], що визначається її коренями, і диференційовна усередині такого відрізка, то обов’язково між коренями функції знайдеться хоча б один корінь її похідної.

Зауваження. Якщо порушується хоча б одна з умов теореми Ролля, то може не бути точки, в якій похідна функції дорівнює нулю.

Функція f(х) визначена на відрізку [a, b] і в одній із внутрішніх його точок х₁ порушується умова диференційовності функції.

 

Тому на інтервалі немає точки, в якій похідна перетворюється на нуль.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію f(х), неперервну на відрізку [a, b] і диференційовну на інтервалі (а і b). Тоді знайдеться точка x
(а < x < b), така що похідна f¢(x) функції в цій точці f¢(x) дорівнюватиме відношенню :

 .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля, тобто неперервна усередині відрізка [a, b] і F(a) = F(b). Подамо функцію F(x) у вигляді

,

де l — деяка (поки що невідома) стала.

Усі умови теореми Ролля виконуватимуться, якщо взяти l таке, що

,

або

.

Звідси

.

Отже,

.

Таким чином, функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля і тому на інтервалі (а, b) знайдеться деяка точка x, така що :

.

Звідси

  

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. На інтервалі (a, b) знайдеться хоча б одна точка x, в якій дотична є паралельною хорді АВ, що сполучає кінці дуги функції f(x) на відрізку [a, b]

 

Теорема Коші

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку [a, b] задано дві функції f(x) і j(x). Якщо ці функції неперервні на відрізку [a, b] і диференційовні на інтервалі (a, b), причому  не перетворюється на нуль, то на інтервалі (a, b) існує точка x (а < x < b), така що

                          (1)

Зауваження. Ця теорема не отримується безпосередньо застосуванням теореми Лагранжа до знаменника і чисельника лівої частини рівності (1).

Якщо безпосередньо застосуємо її до чисельника і знаменника формули (1), дістанемо:

де у загальному випадку

У формулі (1) j(b) ¹ j(a), а отже, .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля. Нехай, наприклад, F(x) подається у вигляді:

де l — не визначена поки що стала.

За властивостями функцій f(x) і j(x), зазначеними в умові теореми Коші, функція F(x) за побудовою буде неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b).

Залишається вимагати, щоб виконувалася умова F(a) = F(b).

Визначимо сталу l за цією умовою:

.

Оскільки , дістанемо

Тоді допоміжна функція

задовольняє всі умови теореми Ролля на відрізку [a, b].

Отже, усередині цього відрізка існує точка x (а < x < b), така що :

або

 

Геометрична інтерпретація

Нехай рівняння

є рівнянням кривої, де на функції  і  накладено умови теореми Коші    

Тоді  є кутовим коефіцієнтом хорди, що сполучає точки  і  кривої, а кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (1) у точці  є відношення . Отже, теорема Коші стверджує існування точки x, в якій дотична до кривої (1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

Чи задовольняє функція  умови теореми Ферма на відрізку [1; 2]?

 Функція f(x) не задовольняє умову теореми Ферма, оскільки вона монотонно зростає на відрізку [1; 2], набуваючи найбільшого значення при х = 2 і найменшого при х = 1. Отже, не можна стверджувати, що . Справді,  і .

Довести, що рівняння

має лише один дійсний корінь.

 Існування хоча б одного дійсного кореня випливає з того, що многочлен  має непарний степінь. Єдиність кореня доведемо від супротивного.

Припустимо, що існують два корені рівняння . Тоді на відрізку  функція f(x) задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна, перетворюється на нуль на кінцях відрізка і в кожній точці має похідну.

Отже, у деякій точці ξ  виконується рівність . Але . Здобута суперечність доводить, що задане рівняння має лише один дійсний корінь.

Довести нерівність

,

де .

До функції  на відрізку  застосуємо формулу Лагранжа:

.

Тоді

,

оскільки

.

Зокрема, покладаючи , дістаємо:

.

Перевірити, що функції  і  задовольняють умови теореми Коші на відрізку [1; 4] і знайти відповідне значення ξ.

 Задані функції f(x) і g(x) неперервні всюди, а отже, і на відрізку
[1; 4]; їх похідні  і  є скінченними. Окрім того,  не перетворюється на нуль при жодному дійсному х.

Таким чином, можемо застосувати формулу Коші:

 тобто .

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: . Проте лише  є внутрішньою точкою відрізка [1; 4].

Узагальнення теореми
про скінченний приріст.
Формула Тейлора

Нехай функція f(x) має п похідних у точці х₀.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х0.

Теорема. Нехай функція f(x) має в e-околі точки х0  (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х0, для якої справджується рівність:

де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х₀.

Доведення. Визначимо функцію r(x) формулою . Оскільки , маємо . Визначимо ще одну функцію:

.

Для цієї функції також виконується рівність . Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r(x) і j(x):

,                   (2)

де х₁ — деяка точка, розміщена між точками х₀ і х. Маємо , оскільки

.

Крім того, .

Звідси . Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:

,                  (3)

де точка х₂ розміщена між х₀ і х₁.

Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:

,

де кожна точка х_k+1 розміщена між х₀ і х_k (k = 1, …, n)                                               

Узявши с = х_{n + 1} і врахувавши, що f(x) = T(x) + r(x), дістанемо рівність (1).

Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) — залишковим членом у формі Лагранжа.

Беручи у формулі (1) х₀ = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.